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(共28张PPT)
第六章 圆
第21节 与圆有关的概念及性质
考点 考频 出题形式 命题角度
与垂径定理 有关的计算 10年1考 (仅2016年考查) 填空 作辅助线,借助垂径定理和勾股定理求出线段的长,进而求出角的正切值.
与圆周角定理 有关的计算 10年7考 解答 本考点在这7次考试中利用“圆周角是圆心角的一半”“直径所对圆周角是90°”“等弦、等弧、等角之间的关系”“圆内接四边形对角互补”等知识点,求线段长、角度、锐角三角函数值、面积等.
贵阳10年考情分析
考点 考频 出题形式 命题角度
与特殊四边形 结合的计算 10年1考 (仅2023年考查) 解答 利用圆的基本性质,结合三角形有关性质与判定,证明四边形的形状.
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:九上第二十四章　　北师版:九下第三章　　湘教版:九下第2章
2022年版课标变化:
①探索并证明垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.(改动,删*,即为必学)
②知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等.(新增)
与圆有关的概念和性质
圆心角 顶点在①　　　　上的角叫做圆心角,如∠AOC
圆周角 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角,如 ∠②　　 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如弦AC;过圆心的弦叫做③　　　　,如AB(直径是圆内最长的弦) 圆弧 圆的 对称性 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心 圆具有旋转不变性
【提示】不在同一直线上的三点可以确定一个圆
圆心
BAC
直径
垂径定理及其推论
垂径定理:垂直于弦的直径④ 这条弦,并且⑤ 弦所对的两条弧
【课标变化】“探索并证明垂径定理”由选学内容调整为考查内容
垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
结论:如图,① = ;② = ;③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD 是圆O的直径. 只要满足其中的两个,另外三个结论一定成立(当利用③⑤推导其他结论时,要注意 AB不为直径),即知二推三
常用关系:如图,若半径为r,弦心距为 d(圆心到弦的距离),弦长为a,则它们之间的关系是⑥ ,sin∠AOE=
平分
平分
r2=d2+()2
圆心角、弧、弦之间的关系
相等
圆周角定理及其推论
定理
推论1 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是 　　　　; 90°的圆周角所对的弦是 　　　
变形图:
一半
∠BOC
直角(或90°)
直径
圆内接四边形的概念及其性质
概念 四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形
性质 1.圆内接四边形的对角互补,即∠A+∠BCD = 　　　,∠B+∠ 　　=180° 2.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角),即∠DCE=∠ 　　　 180°
D
A
过知识
随堂巩固练
1. 如图，的三个顶点均在 上，
（1）[垂径定理及其推论]连接,，若是 的中点，延
长与交于点，，，则___，
的半径是___，写出一对相等的弧：_ _________.
3
5
（2）[圆周角定理，湘教九下P51动脑筋变式]
若 ，则 ____.
. .
（3）[圆周角定理的推论和圆内接四边形]在（2）的条件下，
①延长，交于点，连接，则____， ____.
②连接,,则 ______.
解题妙招
圆中“知1得4”
由右图可得如下5个结论：
;;;; .
以上5个结论,知道其中任意1个,剩余的4个都可以作为结论使用.
过考点
考点1 与垂径定理有关的计算（10年1考）
1.[2016贵阳14题4分]如图，已知的半径为,弦的长为, 是
延长线上一点，,则 的值是_ __．
提示 tan ∠OPA=

1年新题针对练
1-1.[2025北京大兴区二模]如图，是的直径，弦于点 ，若
，，则 的长为_____.
解析 如图,连接BC,BC=BD=1, AB==
考点2 与圆周角定理有关的计算（10年7考）
2.[2021贵阳23题节选（总12分）如图，在中，
为的直径，为的弦，点是 的中点，过
点作的垂线，交于点，交于点 ，分别
连接， ．
（1）与 的数量关系是____________.
（2）求证： .
证明：如图，连接 .
是的直径，点是 的中点，
，
.
，垂足为 ，
，
，
.
点是 的中点，
， ，
， .
1年新题针对练
2-1.[2025六盘水模拟]如图，四边形内接于， .
（1） ____度.
90
（2）连接，若，，求 的长.
图（1）
如图（1），连接 ，
,
是 的直径，
点在 上，
.
， ，
，
.
（3）当是的中点， ，时，求 的半径.
图（2）
如图（2），延长，交于点，连接 ，
是 的中点，
，
.
，
是等腰直角三角形.
设，则 ，
.
在中， ，
.
设，则 ，
.
， ，
， ，
， ，
图（2）
,
，
解得 ，
的半径为 .
图（2）
考点3 与特殊四边形结合的计算（10年1考）
3.[2023贵州23题12分]如图,已知是等边三角形 的
外接圆,连接并延长交于点,交于点,连接 ,
.
（1）写出图中一个度数为 的角:_________________
____________________________________,图中与
全等的三角形是_______.
（答案不唯
一，，或，用字母表示角亦可）
（2）求证: .
证明： 是等边三角形，
， ,
.
和都是 所对的圆周角，
，
.
（3）连接,,判断四边形 的形状,并说明理由.
四边形 是菱形.
理由如下：
如图，
是等边三角形，
.
和都是 所对的圆周角，
.
, 是等边三角形，
.
同理， 是等边三角形,
,
,
四边形 是菱形.
1年新题针对练
3-1.[2025甘肃中考改编]如图,四边形的顶点,,在 上,
，直径与弦相交于点 .
（1）线段与 的数量关系是_________.
. .
（2）完成以下操作：过点作的垂线交的延长线于点 ,求证：
.
作图如图所示.
证明:如图,连接 ,
可得 .
是 的直径,
,
即 .
,
.
,
.
, ,
,
.
（3）在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，,求 的长.
四边形 是平行四边形, .
, ,
, .
, 是菱形,
,
为等边三角形, ，
在中, .(共39张PPT)
第六章 圆
第22节 与圆有关的位置关系
考点 考频 出题形式 命题角度
与切线有关的 证明与计算 10年6考 1次选择、 5次解答 本考点一般利用切线的性质,结合其他几何图形的性质或判定,求角度、线段长、锐角三角函数值等.
正多边形与圆 10年4考 2次选择、 2次填空 本考点在这4次考试中,有2次结合圆内接三角形、2次结合圆内接正六边形,在此基础上利用圆的基本性质进行求解.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
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人教版:九上第二十四章　　北师版:九下第三章　　湘教版:九下第2章
2022年版课标变化:
①探索并掌握(改动,将“了解”改为“掌握”)点与圆的位置关系.
②探索切线与过切点的半径的关系,会用三角尺过圆上一点画圆的切线.(删除)
③*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线.(新增且加“*”,作为选学内容)
点与圆的位置关系
如图,如果圆的半径是r,点到圆心的距离为d,那么
d=r
d直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
示意图(设圆O的半径为r,圆心到直线的距离为d)
d与r的大小关系 d③　　　　r d④　　　　r d⑤　　　　r
交点的个数 0 ⑥　　　 2
>
=
<
1
切线的性质与判定
切线的判定 1.和圆有⑦　　　　个公共点的直线是圆的切线 2.经过半径的外端并且⑧　　　　于这条半径的直线是圆的切线 3.如果圆心到一条直线的距离等于圆的⑨　　　　,那么这条直线是圆的切线 切线的性质 圆的切线⑩　　　　于经过切点的半径
切线的推论 1.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 2.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心

*切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角(如右图) 一
垂直
半径
垂直
三角形的外接圆和内切圆
概念 作法(外心与内心) 性质 位置 常用角度关系
三角形的 外接圆 经过三角形各顶点的圆 三角形三条边的 　　　的交点,就是三角形的外心 三角形的外心到三角 　　　 的距离相等 外心不一定在三角形内 ∠BOC=
　 ∠A
【注意】直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆的半径R=(其中a,b为直角边长,c为斜边长)
垂直平分线
三个
顶点
2
三角形的外接圆和内切圆
概念 作法(外心与内心) 性质 位置 常用角度关系
三角形的 内切圆 与三角形各边都相切的圆 三角形 　　　 的交点,就是三角形的内心 三角形的内心到三角 形 　　 的距离相等 内心一定在三角形内
【注意】直角三角形的外心为其斜边的中点,其外接圆的半径R=(其中a,b为直角边长,c为斜边长)
三个内角
的平分线
三条边
正多边形与圆的有关计算
设正n边形的边长为a,外接圆半径为R,常用关系如下表
边心距r
正n边形的周长 na 正n边形的面积 正n边形中心角的度数 过知识
随堂巩固练
1. 如图，是的外接圆，与 相切
于点，连接，，, ， ，
请回答下列问题.
（1）［人教九上P97思考变式］与直线 的位置
关系是__________________，____ .
与直线相切
90
（2）[三角形的外接圆性质]点是 __________________线的交点.
三条边的垂直平分
（3）若， 的半径是2，
①[特殊三角形的判定]则的形状是____________，____ .
等边三角形
30
. .
【拓展设问】
②[正多边形边心距的计算]点到 的距离为___.
③[圆中的尺规作图和计算]延长，过点作，垂足为点 ，根据
题意在图中补全图形，则 ____.
1
补全图形如下
解题妙招
切线问题中基础辅助线的作法与口诀#1.5.1
图 示 切线的性质 切线的判定
口 诀 见切线,连半 径,得垂直. 有交点,连半径,证垂直. 无交点,作垂直,证半径.
过考点
考点1 与切线有关的证明与计算（10年6考）
1.[2021贵阳9题3分]如图，与正五边形 的两边
，相切于，两点，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025温州八中模拟]如图，在中，是上一点，以 为直径
的半圆恰好切于点.连接，若 ，则 的度数为
( )
D
A. B. C. D.
2.[2020贵阳23题10分]如图，为 的直径，四边形内接于，
对角线，交于点， 的切线交的延长线于点，切点为 ，
且 ．
（1）求证： .
证明：， ，
，
.
（2）若，，求 的值．
是 的切线，
,
.
是 的直径，
，
，
.
，
.
，
，
， .
， ，
，
.
，
，
，
.
， ，
， ，
，
.
， .
2-1.[2025贵州省一模]如图，内接于 ，
，过点作的切线交 的延长线于
点，连接交于点，连接 ．
（1）求证： .
1年新题针对练
证明：， ，
.
，
．
是 的切线，
，
，
，
.
（2）探究线段，和 之间的数量关系，并说明理由.
.
理由：由（1）知 ， ，
.
，
，
，
．
（3）若，，求 的半径．
如图，过点作于点 .
,
.
,
，
， ,
,
, ,
,
,
的半径为4.
3.[2024贵州23题12分]如图,为半圆 的直径,点
在半圆上,点在的延长线上, 与半圆相切
于点,与的延长线相交于点,与 相交于
点, .
（1）写出图中一个与 相等的角:_____________________________.
（答案不唯一,或）
（2）求证: .
证明：如图，连接 ，
与半圆相切于点 ，
，
.
，
.
,
，
，
，
.
（3）若,,求 的长.
连接, ，
设，则 ，
，
， .
在中, ，
，
或 （不合题意，舍去），
，， .
，
，
， ，
，， ，
．
3-1.[2025遵义红花岗区模拟]如图，为的直径，点在 上，连接
,是的中点，的延长线垂直过点的直线于点 .
（1）求证：是 的切线.
1年新题针对练
证明：如图，连接交于点 ，
是 的中点，
垂直平分， .
，为 的直径，
，
，
.
是的半径，且 ，
是 的切线.
（2）若 ，.求 的长.
如图，为的直径，且 ，
.
， ，
，
.
，
四边形 是矩形，
.
考点2 正多边形与圆（10年4考）
4.[2020贵阳14题4分]如图，是的内接正三角形，点 是圆心，
点，分别在边，上，若，则 的度数是_____度．
120
1年新题针对练
4-1.[2025运城一模]如图，正五边形内接于，过点作 的切
线交的延长线于点.则 的度数为____.
提示 如图,∠F=∠AED∠EDF
规范答题
[2025贵州23题12分]如图，在中，是直角，为 的中点，为
的切线交的延长线于点.连接 ，.
（1）点与的位置关系是____________，线段与线段 的数量关系
是______________.
解：（1）点在上 （4分）→得分点1：正确填空，每空2分
（2）过点作，与的延长线交于点 .根据题意补全图形，判断
的形状，并说明理由.
解：（2）补全图形如图所示， 是等腰三角形.（5分）
→得分点2：补全图形，正
确判断三角形的形状，得1分
理由：如图，连接,是 的切线， ，
.（6分） →得分点3：写出一组互余关系，得1分
.（7分） →得分点4：写出另一组互余关系，得1分
, ,
,（8分） →得分点5：正确得出相等的角，得1分
,
是等腰三角形.（9分） →得分点6：正确得出等腰三角形的结论，
得1分
（3）在（2）的条件下，若的半径为3，，求 的长.
解：（3）第1步：在直角三角形中，利用勾股定理，求， 的值
如图，, ,
,（10分） →得分点7：正确得出 的值，得1分
, .
第2步：证明相似三角形
, ,
,（11分） →得分点8：正确写出相似三角形，得1分
第3步：利用相似三角形的性质求出的长，再转化为 的长
., ,
.（12分） →得分点9：正确计算出 的长，得1分
【注意】第（1）问第一个空答“中心点”“对称”“对称中心”“直径”等都是错
误答案，第二个空答“弧长相等”是错误答案.
第（2）问容易错误证明为等边三角形，或者证明等腰三角形时两个等角
写错，导致失分.(共25张PPT)
第六章 圆
第23节 与圆有关的计算
考点 考频 出题形式 命题角度
弧长的计算 10年3考 1次选择、1次填空、 1次解答 在扇形纸扇中求弧长;利用转化法,求四叶幸运草的周长.
扇形与阴影部 分面积的计算 10年4考 解答 4次都利用和差法计算,其中3次求弓形的面积(S扇形-S等边三角形),1次求弓形一半的面积(S扇形-
S三角形).
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:九上第二十四章　　
北师版:九下第三章　　
湘教版:九下第2章
弧长与扇形面积的计算
弧长公式 ☉O的周长: C=①　　　
面积公式 ☉O的面积: S=③　　　 扇形AOB的面积: S扇形AOB=④　　　
2πR
πR2
【技巧】①计算弧长必须具备两个条件——半径和该弧所对的圆心角的度数.
②当已知弧长或扇形的面积，求半径或圆心角度数时，可将弧长公式、扇形的面积公式当作方程用.
③当已知半径R和弧长l,求扇形的面积时，选用公式.
*圆锥的相关计算
相关计算 图示
1.圆锥的侧面展开图是扇形;圆锥的底面圆周长:C=2πr;圆锥的底面圆面积:S=πr2;圆锥的侧面积:S=πrl; 圆锥的母线长l为扇形的半径; 2.圆锥底面圆的周长2πr为扇形的弧长(用l表示为⑤　　 　); 3.圆锥的高为h,则r2+h2=⑥　　 　; 4.n=⑦　 　 r:底面圆的半径
l:圆锥的母线长
h:圆锥的高
n°:侧面展开扇形
的圆心角
　
l2
　
阴影
部分
面积
的计
算
类型 劣弧对应的弓形 优弧对应的弓形
图形
面积计算 S阴影=S小扇形AOB－⑧ . S阴影=S大扇形AOB＋⑨ .
弓形面积的求法
常用
方法
规则图形：可直接用公式求解
不规则图形：见下页
S△OAB
S△OAB
不
规
则
图
形
(1)分割求和(差)法:把图形适当分割,将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差,如图(1),S阴影=⑩ .
(2)等积转化法:通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(2),点D为的中点,则S阴影= .如图(3),已知扇形 AOB,DO//AB,则S阴影=S△DAB +S弓形AB= + S弓形AB=S扇形AOB.
S扇形BOC+S△COD-S△ODE
S△ACD
S△OAB
不
规
则
图
形
(3)容斥原理法:当阴影部分由几个图形叠加而成时,利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和－(多加部分的面积+空白部分的面积)”求解.如图(4),阴影部分是扇形 ABE和扇形ACD的重叠部分,则S阴影= .
S扇形ABE+S扇形ACD-S△ABC
过知识
随堂巩固练
1. 如图，线段经过上的点 ，延
长交于点，交于点，连接
交于点，连接.若是 的中点，
，， 的半径为4.
（1）写出图中一个与 相等的角：_____________________.
（答案不唯一）
（2）[圆中角度的计算] ____.
（3）[圆中线段长度的计算]线段的长是___，线段 的长是___.
2
8
（4）[弧长的计算，人教九上P113练习第2题变式] ____.
（5）[面积的计算]扇形 的面积是____，图中阴影部分的面积是______
____.
. .
解题妙招
弧长（公式：）与面积（公式： ）的小拓展
拓展1：,,三个量间互相推导:
,,三个量间互相推导:
拓展2:路径长问题
动线扫过的面积
解题妙招
弧长（公式：）与面积（公式： ）的小拓展
过考点
考点1 弧长的计算（10年3考）
1.[2024贵州10题3分]如图,在扇形纸扇中,
若 ,,则 的长为
( )
C
A. B. C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025黔南州模拟改编]如图，在等腰三角形中， ，
，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则 的
长度为_ ___.
. .
考点2 扇形与阴影部分面积的计算（10年4考）
2.[2022贵阳23题12分]如图，为的直径，是的切线， 为切
点，连接垂直平分，垂足为，且交于点，交于点 ，
连接， ．
（1）求证： .
证明：如图，连接 ，
是的切线， 为切点，
，
即 .
， ，
.
， ，
.
，
.
（2）当平分时，求证： .
证明：如图,连接 ，
垂直平分 ，
.
， ，
是等边三角形，
，
.
平分 ，
，
，
.
（3）在（2）的条件下， ，求阴影部分的面积．
由（2）知， ，
.
，即 的半径为2，
.
， ，
是等边三角形，
.
垂直平分， ,
，
.
在中， ，
，
.
1年新题针对练
2-1.[2025贵阳南明区模拟]等分圆是指将一个圆
周均匀分割成多个相同长度的弧段，每个弧段对
应的圆心角相等．小南学习了等分圆后，尝试着
编了一道题：如图，已知 的半径长为2，点
，，，，，将六等分，连接 ，
，，，发现恰好过圆心，过点 作
的垂线，交的延长线于点，连接 ．
（1）____ .
90
（2）在（1）的结论下，求 的长.
如图，连接, ,
被点，，，，， 六等分，
.
, 是等边三角形，
.
的半径长为2, .
,
.
, ,
在中，
,
在 中，
.
（3）求图中阴影部分的面积．
如图，由（2）知， 是一个边长为2的等边三角形，
的高为 ,
.
在中， ,
.
,
.
,
.

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