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(共41张PPT)
第三章 函数
第12节 二次函数的实际应用
考点 考频 出题形式 命题角度
二次函数的实际应用 10年6考 解答 从实物图中抽象出抛物线形状,利用二次函数图象与性质解决问题;在实际问题中提取出二次函数表达式,解决问题.
贵阳10年考情分析
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人教版:九上第二十二章　 北师版:九下第二章　
湘教版:九下第1章
过知识
1.［人教九上P51探究3变式］如图，有一座拱桥，拱桥桥洞上沿是抛物线
形状，在正常水位时水面的宽为，如果水位上升 达到警戒水位
时，水面的宽是.如果水位以 的速度上涨，那么达到警戒
水位后，再过___,水位达到拱桥桥洞最高点 .
（第1题）
. .
（第2题）
2.[课标素材，人教九上P49探究1变式]某小区计划建一
个矩形花圃，花圃的一边利用长为 米的墙，另三边
用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的
矩形，并在边上留有一扇1米宽的门．设
边的长为米，矩形花圃的面积为米 ．
（1）写出与 之间的函数关系式：_______________;
（不要求写出自变量 的取值范围）
（2）若，则 的最大值为_____．
750
. .
3.［人教九上P50探究2变式］景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会
上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元/个售出时，能卖出600个艺
术瓷盘.经预测,这种艺术瓷盘每涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术
瓷盘每个涨价元为整数 ，请完成下列问题：
（1）用含 的代数式表示：
①每个艺术瓷盘的实际利润是_________元；
②实际的销售量是____________个.
. .
（2）为了赚得10 000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，每个艺术瓷盘
的售价应定为多少元？
根据题意得，
，
解得， .
当时，实际售价为 （元/个），
当时，实际售价为 （元/个），
要兼顾顾客的利益， 每个艺术瓷盘的售价应定为50元.
（3）当每个艺术瓷盘的售价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大
利润是多少？
设每个艺术瓷盘的售价为元，商家获利 元，则
.
，
当时， 有最大值，最大值为12 250.
答：当每个艺术瓷盘的售价为65元时，商家可获得最大利润，最大利润是
12 250元.
过考点
考点 二次函数的实际应用（10年6考）
1.[2024贵州24题12分]某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市
场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量（单位：盒）与销售单价
（单位：元）是一次函数关系,下表是与 的几组对应值.
… 12 14 16 18 20 …
… 56 52 48 44 40 …
（1）求与 的函数表达式.
设 ,
将， 代入，
得
解得
.
（2）当糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大,最大利润是多少
设日销售利润为 元．
.
, 二次函数图象开口向下， 当时， 有最大值，为450.
答：当糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元.
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 元的礼
品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元,求 的值.
依题意得， .
最大利润为392元， 当 时，取得最大值392，
，
整理得, ，
解得， .
当时， ，
此时每盒糖果的利润 （元），
不符合题意，舍去，
.
2.[2023贵州24题12分]如图（1）,是一座抛物线形拱桥,小星学习二次函数
后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分[如图
（2）所示],抛物线的顶点在处,对称轴与水平线垂直,,点 在
抛物线上,且点到对称轴的距离,点在抛物线上,点 到对称轴的距
离是1.
图（1）
图（2）
备用图
（1）求抛物线的表达式.
抛物线的对称轴与 轴重合，
设抛物线的表达式为 .
， ，
， .
将，代入 ，
得解得
抛物线的表达式为 .
（2）如图（2）,为更加稳固,小星想在上找一点,加装拉杆, ,同时
使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点 的位置并求出坐标.
作点关于轴的对称点 ，
则 .
连接与轴相交于点,连接 ,
此时点 满足使拉杆的长度之和最短，
点 的位置如图所示.
抛物线的表达式为，点 到抛物线对称轴
的距离是1，
当时，， .
设直线的表达式为 ，
将， 代入，
得解得
直线的表达式为 .
当时， ，
点的坐标为 .
（3）为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为
,当时,函数的值总大于等于9.求
的取值范围.
中， ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 .
当时，函数 的值总大于等于9，
当时， ，
即 ，
解得 .
当时， ，
即 ，
解得 .
，的取值范围为 .
1年新题针对练
1-1.[2025南阳模拟改编]某特产超市打算销售小包红枣，进价为20元/件，
经过市场调查发现，该产品的日销售量（件）与当天的售价 （元/件）
满足如图所示的一次函数关系.
. .
（1）求与 之间的函数关系式.
设与之间的函数关系式为 .
由题意可得
解得
与之间的函数关系式为 .
（2）求销售该产品每天获得的利润 （元）的最大值.
.
，
当时，有最大值，最大值为 ，
销售该产品每天获得的利润 （元）的最大值为4 000.
（3）春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为为整数 元
/件.该超市每天的销量与当天的售价的关系不变，该超市为了不亏本，至
少需按25元/件销售，而物价部门规定，售价不得超过41元/件.在实际销售
过程中，发现每天获得的利润随的增大而增大，求 的最小值.
,
，
抛物线开口向下.
抛物线的对称轴为直线 ，在实际销售过程中，每天获得的利
润随的增大而增大，且 ，
,
解得 ，
的最小值为22.
2-1.[2025遵义汇川区一模]高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动.如图，
是小美在某高尔夫俱乐部中的一次击球.已知击球点到坡脚 的距离
米，，洞口距离坡脚的距离 米，小美
从 点打出一球，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最
大高度8米时，球移动的水平距离为20米.
（1）如图（1），以击球点 为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的解
析式.
当球达到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米，
抛物线的顶点坐标为 .
设抛物线的解析式为 ，
将点代入得， ，
解得 ，
抛物线的解析式为 .
（2）判断小美这一杆能否把高尔夫球从点直接打入球洞 点，请说明理由.
能，理由如下：
，
设， .
在中， ，
即 ，
解得 （负值已舍去），
， ，
，
点的坐标为 .
当时， ，
故小美这一杆能把高尔夫球从点直接打入球洞 点.
（3）如图（2），小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路
线为，求此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度 .
由题意得，点的坐标为，由（2）知点的坐标为 ，
设直线的解析式为 ，
则解得
直线的解析式为 ，
，
故此次挥杆中小球离斜坡的最大竖直高度 为10米.
规范答题
[2025贵州24题12分]用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静
的水面接触，石块会在空中近似地形成一组抛物线的运动路径.如图（1），
小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂,石块在空中飞行的高度 与水
平距离之间的关系如图（2）所示.石块第一次与水面接触于点 ,运动路径
近似为抛物线,且 ,石块在水面上弹起后第二次与水
面接触于点，运动路径近似为抛物线，且 .
（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素
忽略不计）#1
（1）如图（2），当，时，若点的坐标为 ，求抛物线
的表达式.
解：由题意得，抛物线 ，
将点代入抛物线得，，
解得 ,（2分）→得分点1 ：正确代入点，求出 值，得2分
抛物线的表达式为 .（4分）→得分点2：正确写出
抛物线 的表达式，得2分
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽 ，高
的矩形的障碍物,点的坐标为 ,判断此时石块沿抛物
线 运动时是否能越过障碍物 请说明理由.
解法一（二次函数的一般式）：石块不能越过障碍物.
理由：，, ,
将点，代入抛物线 ，
得解得
抛物线的表达式为 .（6分）→得分点3：正确写出
抛物线 的表达式，得2分
,，, .
当时， .（7分）→得分点4：
正确求出时的 值，得1分
，
石块不能越过障碍物.（8分）→得分点5：正确判断结论，得1分
解法二（二次函数的对称性） 石块不能越过障碍物.
理由：,, ，
由对称性知,抛物线的对称轴为直线，解得 .
将代入抛物线，得 ,
解得 ，
抛物线的表达式为 .（6分）→得分点3：正确写出
抛物线 的表达式，得2分
,，, .
当时， .（7分）→得分点4：
正确求出时的 值，得1分
，
石块不能越过障碍物.（8分）→得分点5：正确判断结论，得1分
（3）小星在抛掷石块时，若抛物线的顶点需在一个正方形 区域
内（包括边界），且点在和 之间（包括这两点），其中
，，，，求 的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛
物线 在同一平面内）
第1步：利用正方形的性质求点 的坐标
设抛物线的表达式为 .
在正方形中，,， ,
.（9分）→得分点6：正确求出点 的坐标，得1分
第2步：分析 与抛物线开口大小的关系
根据抛物线的性质可知，当 越大时，抛物线的开口越小.
，
当抛物线的开口越大时， 的值越大,
当抛物线的开口越小时， 的值越小.
由抛物线的顶点在正方形区域内，且与轴的交点在 和
之间（包括这两点）可知，
第3步：分情况代入合适的点求 的临界值
当抛物线的开口最大时，抛物线的顶点为且过点 ，
此时可得，解得 .（10分）→得分点7：正确求出
的一个临界值，得1分
当抛物线的开口最小时，抛物线的顶点为且过点 ，
此时可得，解得 ，
的取值范围是 .（12分）→得分点8：正确求出 的取值
范围，得2分
【注意】第（1）问已知，，直接代入一个点的坐标即可求出 的值，属
于中考试题难度为“7”的部分，但根据阅卷数据显示，很多考生本问失分.
在此提醒考生：当考场遇见长阅读的题目时，一定要冷静做题，必拿分的
题目不要直接放弃导致不得分.(共36张PPT)
第三章 函数
第11节 二次函数的图象及其性质
考点 考频 出题形式 命题角度
二次函数图象与系数a,b,c的关系 10年2考 选择 根据二次函数图象判断系数a,b,c的取值.
二次函数表达式的确定 必考 解答 求二次函数表达式.
二次函数与一元二次方程的关系 10年3考 选择 考查二次函数与一元二次方程的根的关系.
贵阳10年考情分析
考点 考频 出题形式 命题角度
二次函数的交点问题 10年3考 选择 直线与抛物线相交,根据交点个数进行分析与计算.
二次函数的图象与性质 10年7考 1次选择、1次填空、5次解答 考查二次函数的图象、开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标、对称轴、增减性、最值等.
贵阳10年考情分析
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贵阳10年考情分析
2022年版课标变化:
①能用描点法(删除)画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
②知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.(新增)
③会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值(新增),能解决相应的(改动)实际问题.
④知道二次函数和一元二次方程之间的关系.(新增)
⑤*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.(删除)
. . .
二次函数的图象与性质
抛物线 (a≠0) y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
开口方向 当a①　　　0时,开口向上,并向上无限延伸;当a②　　　0时,开口向下,并向下无限延伸 顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (③　　　) (④　　　　　　) 对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h 直线x=⑤　　 >
<
h,k
-,
-
二次函数的图象与性质
最 值 a>0 当x=0时, ymin=0 当x=0时, ymin=c 当x=h时, ymin=0 当x=⑥　　时, ymin=⑦　　
a<0 当x=0时, ymax=0 当x=0时, ymax=c 当x=h时, ymax=0 当x=h时, ymax=k 当x=⑧ 　　时,
ymax=⑨　　　
h
k
-
　
抛物线 (a≠0) y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
二次函数的图象与性质
增 减 性 a>0 在对称轴左侧,y随x的增大而⑩　　
在对称轴右侧,y随x的增大而 　　 a<0 在对称轴左侧,y随x的增大而 　　 在对称轴右侧,y随x的增大而 　　 减小
增大
增大
减小
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系
a 决定抛物线的开口方向和大小 a>0,抛物线开口向 　　　,a<0,抛物线开口向下;|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大
a,b 共同决定抛物线 　　　的位置 b=0,对称轴为y轴;a,b同号,对称轴在y轴 　　　侧;a,b异号,对称轴在y轴 　　　侧.可简记为“左同右异”
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0,抛物线过原点;c>0,抛物线与y轴交于 　　　半轴; c<0,抛物线与y轴交于 　　　半轴
特殊 关系 当x=1时, y=a+b+c;当x=-1时, y=a-b+c ;当x=2时, y=4a+2b+c;当x=-2时, y=4a-2b+c当对称轴为直线x=1时,则2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,则2a-b=0 【课标新增】知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系
上
对称轴
左
右
正
负
二次函数表达式的确定
名称 表达式(a≠0) 图象 使用条件
一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数) 已知抛物线上任意三点
顶点式 y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数) 已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值+其他任意一点
交点式 y=a(x-x)(x -x(a为常数,x1,x2为图象与x轴交点的横坐标) 已知抛物线与x轴的两个交点+其他任意一点
y=a(x-x1)(x-x2)
【平移规律】上加下减常数项,左加右减自变量
与方程的关系
x
2
不相等
1
相等
没有
与方程的关系
>
<
过知识
随堂巩固练
1.[二次函数的图象与性质]已知二次函数
.
（1）二次函数图象的对称轴为__________，顶点
坐标为________；
直线
（2）[画函数图象]如图，在平面直角坐标系中，通过列表、描点、连线画
出二次函数的图象（描5个点即可）；
列表：
… 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
描点、连线画出函数图象如图.
（3）[结合函数图象分析取值范围]当 时，利用函数图象直接写
出 的取值范围：____________；
（4）当时，利用函数图象直接写出 的取值范围：_____________.
或
（2）[图象与,,的关系]___0,___0,___0, ___0.
（填“ ”“ ”或“ ”）
2. 如图，二次函数 图象的对称轴为直线
．
（1）与 的数量关系是_________.
（3）抛物线与轴有___个交点，___0.（填“ ”“ ”
或“ ”）
2
（4）当时，___0,___0,___0.（填“ ”“ ”或“ ”）
（5）当时,___0,___0.（填“ ”“ ”或“ ”）
（6）的最小值为__________（用含,,的式子表示）.若 为任意实数，
则___.（填“ ”“ ”“ ”或“ ”）
（7）①若，为抛物线上的两点，则___ ；
（填“ ”“ ”或“ ”）
②若，是抛物线上两点，且，则实数 的取值范
围是____________.
（8）[与方程的关系]若该抛物线经过点，则关于 的一元二次方程
的根为_______________.
或
【课标新增】本题中的第(3)问和第(8)问均体现二次函数与一元二次方程之间的关系
解题妙招
巧借距离比较二次函数值的大小
图（1）
图（2）
对于二次函数 .
①当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，
对应的函数值越小，如图（1）；
②当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越小，
对应的函数值越大，如图（2）.
过考点
考点1 二次函数图象与系数,, 的关系（10年2考）
1.[2023贵州10题3分]已知,二次函数
的图象如图所示,则点 所在的象限是( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1年新题针对练
1-1.[2025铜仁碧江区模拟]已知二次函数，且 ，则
二次函数的图象经过( )
D
A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限 D.第一、二、三、四象限
1-2.[2025上海闵行区三模]如果抛物线（其中，， 是
常数，且）在对称轴左侧的部分是下降的，那么___0.（填“ ”或“
”）
考点2 二次函数与一元二次方程的关系（10年3考）
2.[2020贵阳10题3分]已知二次函数的图象经过 与
两点，关于的方程 有两个根，其中一
个根是3，则关于的方程 有两个整数根，
这两个整数根是( )
B
A.或0 B.或2 C.或3 D. 或4
1年新题针对练
2-1.[2025贵阳南明区二模]二次函数 的图象如
图所示，对称轴为直线.若关于 的一元二次方程
（为实数）在 的范围内有解，
则 的取值范围是( )
C
A. B.
C. D.
考点3 二次函数的交点问题（10年3考）
3.[2018 贵阳10题3分]已知二次函数 及
一次函数，将该二次函数在 轴上方的图象
沿轴翻折到 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个
新函数（如图所示），当直线 与新图象有4
个交点时， 的取值范围是( )
D
A. B.
C. D.
1年新题针对练
3-1.[2025黔南州期末]抛物线与 轴的交点情况是( )
C
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能判断
3-2.[2025温州模拟]如图，在平面直角坐标系中，已知
，，， ，二次函数的表达式
为 ，若该函数的图象与四边形
的边有交点，则 的最大值为( )
C
A.4 B.5 C.6 D.7
【关键】 该二次函数图象的对称轴为直线x=m,顶点坐标为(m,0),故当二次函数的图象经过点C(4,4)时,m最大
考点4 二次函数的图象与性质（10年7考）
4.[2024贵州12题3分]如图,二次函数的部分图象与 轴的一
个交点的横坐标是,顶点坐标为 ,则下列说法正确的是( )
D
A.二次函数图象的对称轴是直线
B.二次函数图象与 轴的另一个交点的横坐标是2
C.当时,随 的增大而减小
D.二次函数图象与 轴的交点的纵坐标是3
备用图
5.[2022贵阳24题12分]已知二次函数 ．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含， 的代数式
表示）.
，
二次函数图象的顶点坐标为 .
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与轴交于， 两点，
，且图象过，，，四点，判断，，，
的大小，并说明理由.
由（1）得抛物线对称轴为直线 ，
当 ，抛物线开口向上时，
，
.
当 ，抛物线开口向下时，
，
.
（3）点是二次函数图象上的一个动点，当时， 的取
值范围是 ，求二次函数的表达式．
当，抛物线开口向上，时，随 的增大而增大，
，或， ，
解得
.
当，抛物线开口向下，时，随 的增大而减小，
，或， ，
解得
.
综上所述，二次函数的表达式为或 .
1年新题针对练
4-1.[2025西安模拟改编]已知二次函数的自变量 与函数
值 的几组对应值如表：
… 0 3 4 5 …
… 0 0 10 24 …
下列结论：
①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线 ；③
当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为 .
其中正确的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
. .
5-1.[2025贵阳南明区二模]如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象交轴于，两点，交轴于点，若点 的
坐标为，点 是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限．
（1）求二次函数的表达式.
将点，分别代入 ,
得
解得
二次函数的表达式为 .
（2）连接，过点作轴于点，交线段于点，当点 运动到
什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和 的最大值.
易得直线的表达式为 ，
设点，则点 ，
则
.
当时， ，
即的最大值为4，此时，点的坐标是 .
（3）连接，，若关于轴的对称图形是 ，是否存在点
，使得四边形为菱形？若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说
明理由．
存在，理由如下：
四边形为菱形，则 ，
则点在 的垂直平分线上，
即 ，
解得 .
点 在第一象限内，
当点的坐标是时,四边形 为菱形.(共35张PPT)
第三章 函数
第9节 一次函数
考点 考频 出题形式 命题角度
一次函数的图象与性质 10年3考 2次选择、 1次填空 ①一次函数中k,b的值对函数图象及性质的影响;
②一次函数图象上点的坐标特征.
一次函数表达式的确定 10年4考 解答 待定系数法求函数表达式.
贵阳10年考情分析
考点 考频 出题形式 命题角度
一次函数与方程(组)、不等式的关系 10年3考 2次选择、 1次填空 利用数形结合思想考查一次函数与方程(组)、不等式的关系.
一次函数的应用 10年4考 1次选择、 3次解答 ①分析一次函数图象,判断结论正误;
②从实际问题中找出一次函数模型,解决问题.
贵阳10年考情分析
教材版本导航:人教版:八下第十九章　　　 北师版:八上第四、五章　　　 湘教版:八下第4章
一次函数的图象与性质
概念:形如y =x +b(k,b 是常数,b≠0)的函数,叫做一次函数(特别地,当b=0时,y=kx是正比例函数)
b＞0 b＜0 b=0（正比例函数）
k＞0 经过第① 象限 经过第一、三、四象限 经过第② 象限
增减性：图象从左向右呈③ 趋势,y随x的增大而④ . 一次函数的图象(草图)与性质
一、二、三
一、三
上升
增大
b＞0 b＜0 b=0（正比例函数）
k＜0 经过第一、二、四象限 经过第⑤ 象限 经过第二、四象限
⑥ .
增减性：图象从左向右呈⑦ 趋势,y随x的增大而⑧ . 一次函数的图象(草图)与性质
二、三、四
下降
减小
注意 必过点：y=kx+b经过( ⑨ ,0)和(0, ⑩)两点,y=kx 经过原点(0,0)
图象平移规律:左 右 ,上加下减
一次函数的图象(草图)与性质
-
b
加
减
一次函数表
达式的确定
一次函数的应用
1.含有一次函数图象的实际问题
2.不含一次函数图象的实际问题
①分析函数图象的变化趋势
②找函数图象的拐点或交点
解题关键
①弄清自变量和因变量,求出一次函数的表达式
解题关键
②利用一次函数的性质解
决问题,注意先确定自变量的取值范围
与方程(组)、不等式的关系
与方程(组) 的关系(如图)
a.直线y =kx +b(k≠0)与x轴交点的横坐标的值 一元一次方程 的解
b.直线y=k1x+b1(k1≠0)与直线y=kx+b(k≠0)交点的横、纵坐标的值 二元一次
方程组 的解
kx+b=0
　
与方程(组)、不等式的关系
与不等式的关系
a.不等式 kx+b 0的解集 一次函数y=kx+b的象位于x轴上方的部分对应的自变量x的取值范围
b.不等式kx+b 0的解集 一次函数
y=kx+b的图象位于x轴下方的部分对应的
自变量x的取值范围
>
<
过知识
随堂巩固练
1. 已知一次函数 .
（1）若该函数是图象经过点的正比例函数，则___, ___.
1
0
（2）[图象与性质]
①若该函数的图象经过第二、三、四象限，则___0， ___0.
②若, ,则该函数图象不经过第____象限.
③若对于一次函数，随的增大而增大，且其图象与 轴交于
负半轴，则___0， ___0.
三
（3）[函数表达式的确定]若点， 在该函数的图象上，则该函
数的表达式为__________.
将该函数的图象向上平移4个单位长度，则平移后的图象对应的函数表达
式为__________.
（4）[与方程（组）、不等式的关系]直线
与直线 在同一平面直角坐标
系中的图象如图（1）所示.
①方程组 的解为_ ________；
②不等式 的解集为________；
③不等式 的解集为________.
【拓展设问】
（5）[求三角形的面积]如图（2）,在平面直角坐标系
中，直线与直线 交于
点，直线，分别与轴交于点，，则点 的坐标
是_______， 的面积是___.
3
解题妙招
读图快速确定不等式解集的方法
如图,直线与直线交于点,直线交 轴于
点 .
2.［北师八上P95第2题变式］已知， 两地相距
,甲骑自行车从地出发前往 地，同时乙步行从
地出发前往地.如图，折线和线段 分别表示
甲、乙两人距离地的路程（单位：）、 与他
们所行时间之间的函数关系，与相交于点 .
（1）点的坐标为_______，点 的实际意义是_______________________
_________________________；
经过，甲、乙两人相
遇，此时两人距离地
（2）线段 对应的函数关系式为_ ___________________；
（3）经过_ _____,甲、乙两人相距 .
或1
. .
过考点
考点1 一次函数的图象与性质（10年3考）
1.[2018贵阳9题3分]一次函数的图象经过点，且的值随 值的
增大而增大，则点 的坐标可以为( )
C
A. B. C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025清镇模拟改编]如图，点在直线上，则 的值为
( )
C
A.2.5 B.3 C.1 D.1.5
. .
考点2 一次函数表达式的确定（10年4考）
2.[2021贵阳20题改编（总10分）一次函数 的图象经过
点 ，则该一次函数的表达式为_ ____________.
. .
1年新题针对练
2-1.[2025无锡滨湖区二模改编]写出一个函数表达式，使它的图象经过点
，且函数值随自变量的增大而减小：__________________________.
（答案不唯一）
. .
考点3 一次函数与方程（组）、不等式的关系（10年3考）
3.[2022贵阳12题3分]在同一平面直角坐标系中，一次函数 与
的图象如图所示.小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数的图象中，的值随着 值的增大而增大；
②方程组的解为
③方程的解为 ；
④当时， .
其中结论正确的个数是( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
1年新题针对练
3-1.[2025福州仓山区模拟]已知一次函数的图象经过点 ，
则关于的一元一次方程 的解是( )
A
A. B. C.或 D.不能确定
3-2.[2025西安碑林区三模]若以二元一次方程 的一组解为坐标的
点恰好在直线上，则点 在( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3-3.如图，一次函数 和一次函数
的图象如图所示，下列说法正确的是
( )
C
A. B.
C. D.当时，
考点4 一次函数的应用（10年4考）
4.[2023贵州12题3分]“五一”假期,小星一家驾车前往黄果树旅游,在行驶过
程中,汽车离黄果树景点的路程与所用时间 之间的函数关系的图
象如图所示,下列说法正确的是( )
D
A.小星家离黄果树景点的路程为
B.小星从家出发第1小时的平均速度为
C.小星从家出发2小时离景点的路程为
D.小星从家到黄果树景点的时间共用了
5.[2021贵阳22题10分,最值问题]为庆祝“中国共产党百年华诞”，某校请广告
公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传
册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：
产品 展板 宣传册 横幅
制作一件产品所需时间/时 1
制作一件产品所获利润/元 20 3 10
（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、
宣传册和横幅的数量.
设制作展板数量为件，横幅数量为件，则宣传册数量为 件，
由题意得
解得
则 .
答：制作展板10件，宣传册50件，横幅10件.
（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产
品总量的最小值.
设制作三种产品总量为件，展板数量为件，则宣传册数量为 件，横
幅数量为 件，
由题意得 ，
解得 .
.
， 是整数，
的最小值为2.
是关于的一次函数，且 ，
随 的增大而增大，
当时，有最小值，则 .
答：制作三种产品总量的最小值为75.
1年新题针对练
4-1. 如图（1）,荔波小七孔位于贵州省荔波县，因响水河上横跨着
一座青石砌成的七孔拱桥而得名.小明和爸爸在该景区游玩时参加了“亲子
健身赛”活动，两人的行程随时间 变化的图象（全程）如图（2）
所示.则下列说法错误的是( )
图（1）
图（2）
A.两人出发后 相遇
B.所在直线的函数表达式为
C.此次“亲子健身赛”的全程是
D.若小明想和爸爸一起到达终点，则需在两人出发 后，将速度调整为
√
5-1.[2025黔东南州二模]某超市准备购进A，B两款书包进行销售，根据调
研得到如下信息：
①购进2个A款书包和2个B款书包共需140元；
②每个A款书包比每个B款书包少10元；
③购进3个A款书包和4个B款书包共需250元.
（1）从以上①②③中任选两个作为已知条件，求A，B两款书包的进货单价；
选择①②作为条件，设A款书包的进货单价为 元，B款书包的进货单价为
元，
根据题意，得
解得
答：A，B两款书包的进货单价分别为30元，40元.
选择①③，②③作为条件的解答过程略.
（2）在（1）的条件下，该超市购进A，B两款书包共200个，且A款书包
的数量不低于B款书包数量的 ，现将A，B两款书包分别以45元/个，60元/
个的价格出售，若购进的这批书包全部售完，当A款书包的购进数量为多
少时，该超市获得的利润最大，并求出最大利润.
设购进A款书包个，这批书包全部售完获得的总利润为 元，则购进B款
书包 个，
可得 ，
即 .
， .
随 的增大而减小，
当时， 有最大值，
.
答：当购进A款书包50个时，该超市获得的利润最大，最大利润为3 750元.(共41张PPT)
第三章 函数
第10节 反比例函数
考点 考频 出题形式 命题角度
反比例函数的图象与性质 10年2考 1次选择、 1次解答 ①反比例函数图象上点的坐标特征;
②k值对反比例函数增减性的影响,并利用增减性比较大小.
反比例函数表达式的确定 10年7考 解答 待定系数法求函数表达式.
反比例函数中|k|的几何意义 10年2考 填空 已知比例系数k求相应三角形或四边形的面积.
贵阳10年考情分析
考点 考频 出题形式 命题角度
反比例函数与一次函数综合 10年8考 2次选择、 6次解答 ①利用数形结合思想求解使不等式成立的自变量的取值范围;
②3次涉及平移知识.
反比例函数与几何综合 10年5考 解答 在反比例函数中考查三角形、四边形的性质,2023年考查矩形.
反比例函数的实际应用 10年1考, 2025年新增 解答 结合《天工开物》考查反比例函数的实际应用.
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:九下第二十六章　　　 北师版:九上第六章　　　 湘教版:九上第1章
反比例函数的图象与性质
概念:形如(k 为常数,k≠0)的函数称为反比例函数(图象上的点的横、纵坐标之积恒为k)
反比例函数的图象(草图)与性质
k的符号 k① 0 k② 0
图象
经过象限 第③ 象限(x,y同号) 第④ 象限(x,y异号)
增减性 在每一象限内,从左往右看,y随x的增大而⑤ . 在每一象限内,从左往右看,y随x的增大而⑥ .
对称性 反比例函数的图象是中心对称图形,对称中心是⑦ . 同时,也是轴对称图形,对称轴分别是直线y=x 和直线y=⑧ . 【易错】注意反比例函数的图象不是连续曲线，而是两支分布在不同象限的曲线
>
<
一、三
二、四
减小
增大
原点
-x
反比例函数中lkl的几何意义
如图,过双曲线(k≠0)上任意一点 P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线 PA , PB,垂足分别为点A,B,则矩形OAPB 的面积(阴影部分)S=|xy|=⑨ .
|k|
反比例函数表达式的确定
反比例函数
的实际应用
常用
公式
过知识
随堂巩固练
1.[反比例函数的实际应用] 物理学中，在压力 不变的情况下，某物体
承受的压强与它的受力面积成反比例函数关系，则表中压强
与的大小关系为___.（填“ ”“”或“ ”）
1 2 3
300
2. 已知反比例函数是常数且 .
（1）若点在该函数图象上，则 的值为____.
（2）[图象与性质]若 .
①该函数图象位于第________象限，且在每个象限内，
随 的增大而______.
二、四
增大
②若点，在该函数图象上，则___.（填“ ”“ ”或“ ”）
③若点,均在该函数图象上，则___.（填“ ”“ ”或“ ”）
④若直线与双曲线交于点，，则点 的坐标为
_________,不等式 的解集为__________________.
或
（3）[的几何意义]点，在反比例函数 的图象上,如图（1）.
若的面积为2，则的值为____,矩形 的面积为___.
4
【拓展设问】
（4）[与一次函数结合]若反比例函数
的图象与一次函数 的图象相交
于点， .
①反比例函数的表达式为______，一次函数的表达式为___________；
②在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象；
一次函数和反比例函数的图象如图所示.
③观察函数图象，直接写出不等式 的解集：________________
__；
或
设一次函数的图象与轴交于点，当时， ，
解得 ，
.
设 ，
当点在点左侧时， .
的面积为9，
，
即 ，
④若点是轴上一个动点，当的面积为9时，求点 的坐标.
解得 ，
.
当点在点右侧时， ，
的面积为9，
，
即 ，
解得 ，
，
点的坐标为或 .
过考点
考点1 反比例函数的图象与性质 （10年2考）
1.[2022贵阳10题3分]如图，在平面直角坐标系中有，，， 四个点，
其中恰有三点在反比例函数 的图象上.根据图中四点的
位置，判断这四个点中不在函数 的图象上的点是( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
1年新题针对练
1-1.[2025黔东南州二模]若点，， 三点都在反比
例函数的图象上，其中，则，， 的大小关系为
( )
D
A. B. C. D.
考点2 反比例函数中 的几何意义（10年2考）
2.[2020贵阳12题4分]如图，点是反比例函数 图象上任意一点，过点
分别作轴、轴的垂线，垂足为，，则四边形 的面积为___．
3
1年新题针对练
2-1.[2025铜仁万山区三模]如图，在平面直角坐标系
中，的直角边与反比例函数
的图象交于点，若点为的中点， 的面积
为6，则 的值为( )
A
A.6 B.3 C.2 D.1
【提示】 如图,S△BCO==3
考点3 反比例函数与一次函数综合（10年8考）
3.[2025贵州12题3分]如图，一次函数 与反比例函数
的图象交于点，过反比例函数图象上点作 轴的垂线,垂足
为点,交的图象于点,点 的横坐标为1.有以下结论:
①线段 的长为8;
②点的坐标为 ;
③当 时，一次函数的值小于反比例函数的值.
其中结论正确的个数是( )
C
A.0 B.1 C.2 D.3
1年新题针对练
3-1.[2025遵义汇川区四模]如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
与反比例函数的图象交于点 .
（1）求反比例函数的表达式；
将点代入，得 ，
所以点的坐标为 .
将点代入 ，
得 ，
所以反比例函数的表达式为 .
（2）已知点，过点作 轴的垂线，交反比例函数
的图象于点，交直线于点.若，求 的值.
将代入 ，
得 ，
所以点的坐标为 .
将代入 ，
得 ，
所以点的坐标为 .
由 ，
得 ，
解得或 .
又因为 ，
所以 .
考点4 反比例函数与几何综合（10年5考）
4.[2023贵州21题10分]如图，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，
反比例函数的图象分别与,交于点和点，且点
为 的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点 的坐标.
第1步：利用待定系数法求反比例函数表达式
反比例函数的图象分别与,交于点和点 ，
， ，
反比例函数的表达式为 .
第2步：利用中点求出点 的坐标
四边形 是矩形，
, .
是 的中点，
.
第3步：利用,两点纵坐标相同，求出点 的坐标
点在上，且在反比例函数 的图象上，
当时， ，
.
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点 ，
当点在反比例函数图象上,之间的部分时（点可与点, 重合），直
接写出 的取值范围．
.
1年新题针对练
4-1.[2025贵阳乌当区二模]如图，正方形的中心是平面直角坐标系的原点，
正方形的边与坐标轴平行，点 是正方形与反比例函数图象的一个交点，
点是正方形与轴正半轴的交点.已知点 在该反比例函数的图象上.
（1）求这个反比例函数的表达式；
设反比例函数的表达式为 ，
将点 代入反比例函数的表达式，
得 ，
所以反比例函数的表达式为 .
（2）若 ，求图中阴影部分的面积.
因为 ，
所以将代入 ，
解得 ，
所以点的坐标为 .
根据正方形和反比例函数图象的对称性可知，
图中阴影部分的面积等于一个小正方形的面积.
由点 的坐标可知，小正方形的边长为5，
所以阴影部分的面积为 .
考点5 反比例函数的实际应用（10年1考，2025年新增，中考
真题见规范答题）
5.[2025上海普陀区三模]在现代智能仓储系统中，有一
款智能机器狗，为了研究其运动速度 与其载重
能力 的关系，工程师通过实验得到以下部分数据：
… 10 12 15 20 30 …
… 6 5 4 3 2 …
（1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，如，， ，
已经在如图所示的平面直角坐标系中描出了相应的点，请用平滑的曲线顺
次连接这些点；
由题意，连线作图如下.
（2）观察所画的图象，猜测与 之间的函数关系，并求出这个函数关系式；
由题意可设 .
函数图象过点 ，
，
与之间的函数关系式为 .
（3）某次任务要求该机器狗在内将货物运送至 外的分区货
架，求此时机器狗能承载的最大货物重量.
要在内将货物运送至 外的分区货架，
，
,
此时机器狗能承载的最大货物重量为 .
规范答题
[2025贵州18题10分]小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔
的古代汲水工具（如图（1））,有一横杆固定于桔槔上点处，并可绕 点
转动.在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且 .
若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离 时，横杆
始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与
的变化，部分数据如下表:
… 1 1.5 2 2.5 3 …
… 300 200 150 120 …
图（1）
图（2）
（1）表格中 的值是___________________________________________.
100（3分）→得分点1：正确填写的值，得3分
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与 之间的关系,在如
图（2）所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数
的图象.
解：（2）描点、画图如图所示.（6分）→得分点2：正确描点得2分，正确
用双曲线连接，得1分
（3）根据以上数据和图象判断,当的长增大时,拉力 是增大还是减小
请说明理由.
当的长增大时，拉力 减小.（7分）→得分点3：正确写出结论，得1分
理由：由表格数据可知,，故 ，
满足反比例函数关系.（8分）→得分点4：正确判断出反比例函数关系，得
1分
,
在第一象限当的长增大时，拉力 减小.（10分）→得分点5：正确说
明理由，得2分(共20张PPT)
第三章 函数
第8节 平面直角坐标系与函数
考点 考频 出题形式 命题角度
坐标确定位置 10年3考 2次选择, 1次填空 ①在平面直角坐标系中确定点的坐标.
②根据点的坐标确定象限.
图形与坐标 10年1考(仅2021年考查) 填空 与菱形结合,利用菱形的性质求点的坐标.
函数关系的 分析与判断 10年2考 选择 ①分析判断变量之间的关系.
②分析实际问题中的函数图象,得出正确结论.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:七下第七章、八下第十九章　　　
北师版:七下第三章、八上第四章　　　
湘教版:八下第3,4章
2022年版课标变化:
①结合实例(删除),了解函数的概念和三种(删除)表示法,能举出函数的实例.
②理解函数值的意义.(新增)
平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内点的坐标的符号特征
坐标轴上点的坐标特征
象限角平分线上点的坐标特征
点到坐标轴及原点的距离
图形平移中点的坐标特征
对称点的坐标特征
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
位置确定
各象限内点的坐标的符号特征：
坐标轴上点的坐标特征
象限角平分线上点的坐标特征
x轴上的点的③ 坐标为0.
原点的坐标为⑤ .
y轴上的点的④ 坐标为0.
第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑥ 。
第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑦ 。
【拓展】点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离是|AB|=
(-,+)
(+,-)
纵
横
(0,0)
相等
互为相
反数
点到坐标轴及原点的距离
如图，点P(m,n) 到x轴的距离为⑧ .
如图，点P(m,n) 到y轴的距离为⑨ .
如图，点P(m,n) 到原点的距离为⑩ .
|n|或-n
|m|或m
平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征
平行于x轴的直线上的点的 坐标相同
点 P(m,n)关于x轴对称的点的坐标为 .
点 P(m,n)关于原点对称的点的坐标为 .
平行于y轴的直线上的点的 坐标相同
对称点的坐标特征
点 P(m,n)关于y轴对称的点的坐标为 .
【口诀】关谁谁不变，无关便相反，原点对称都相反
(m,-n)
(-m,n)
(-m,-n)
纵
横
图形平移中点的坐标特征
位置确定:在平面内,确定一个物体的位置一般需要 个数据
(1)将图形沿x轴平移：向右平移a(a>0)个单位长度,图形中各点的横坐标 ,纵坐标不变;向左平移a个单位长度,图形中各点的横坐标 ,纵坐标不变
(2)将图形沿y轴平移:向上平移b(b>0)个单位长度,图形中各点的横坐标不变,纵坐标 ;向下平移b个单位长度,图形中各点的横坐标不变,纵坐标 .。
【口诀】左减右加，上加下减
加a
减a
加b
减b
2
函数的概念及图象
概念:某一变化过程中有两个变量x,y,如果对于x的每一个值,y都有 的值与它对应那么称y是x的函数,其中x是 ,y是因变量
自变量的取值范围(见下一页PPT)
唯一
自变量
表达式 实际问题
自变量的取值范围 . . .
要符合实际意义
自变量的取值范围
【举例】
(1)函数中自变量x的取值范围是
(2)函数中自变量x的取值范围是
x≠0
x≥0
x>0
x≥ -
x≠2
函数的概念及图象
函数值:若y是x的函数,且当x=a时,y=b,则 叫做当自变量的值为a时的函数值
函数的三种表示方法:列表法、解析式法、图象法
画函数图象的一般步骤:列表、 、连线
【举例】y=2x+1,当x=1时,y=3
b
描点
过知识
随堂巩固练
1. 在平面直角坐标系中，点的坐标为 .
（1）[象限内点的符号特征]当时，点在第____象限；无论 取何值，
点 不可能在第________象限.
四
一、二
（2）[象限角平分线上点的坐标特征]当时，点在___轴上；若点
在第一、三象限的角平分线上，则____，若点 在第二、四象限的角平
分线上，则 ___.
3
（3）[对称点的坐标特征]当 时：
①作点关于轴的对称点，得到点的坐标为______，再将点 向左平
移2个单位长度，得到的点的坐标是______；
②将点绕原点旋转 得到的点的坐标是_______.
（4）[点到坐标轴的距离]点到轴的距离是___，到 轴的距离是____.
3
（5）当 时：
①点与点 的距离是___，与原点的距离是_____；
②已知轴，且，则点 的坐标为_________________.
4
或
2.[函数图象的分析与判断]小红从家
里出发骑车去舅舅家做客，她骑了一
段时间后，想起要买个礼物送给表弟，
于是又折回到刚经过的一家商店，买
好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是
（1）图象表示了______和______两个变量之间的关系；
（2）小红家到舅舅家的距离是_______米；小红在商店停留了___分钟；
（3）在去舅舅家的途中，小红骑车最快的速度是_____米/分；
（4）小红在出发_ _____分钟时，距离舅舅家300米.
时间
距离
1 500
4
450
4或
小红离家的距离与所用时间的关系示意图.根据图中提供的信息回答下列问题：
过考点
考点1 坐标确定位置（10年3考）
1.[2025贵州5题3分]如图，在平面直角坐标系中有
，，， 四点，根据图中各点的位置判断，哪一
个点在第四象限？( )
D
A.点 B.点 C.点 D.点
1年新题针对练
1-1.[2025西安模拟改编]某校为弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为
主题的校园活动，小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图所示的方格纸
中，若建立平面直角坐标系后，“传”“明”的坐标分别为， ，则
“文”的坐标为______.
. .
考点2 图形与坐标（10年1考）
2.[2021贵阳14题4分]如图，在平面直角坐标系中，菱形 对角线的交
点坐标是，点的坐标是，且，则点 的坐标是______.
1年新题针对练
2-1.[2025肇庆一模改编]七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具.
如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点 与点
关于原点成中心对称，且，则点 的坐标为_______.
. .
考点3 函数关系的分析与判断（10年2考）
3.[2025贵州10题3分]如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注
水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度
( )
B
A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化
1年新题针对练
3-1.[2025南通通州区期中]如图是物理课上测量铁块 的体积的实验，将铁
块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，
水面高度与铁块被提起的时间 之间函数关系的大致图象是( )
B
A. B. C. D.

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