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(共19张PPT)
第四章 三角形
第13节 线段、角、相交线与平行线
考点 考频 出题形式 命题角度
相交线 10年2考 选择 区别对顶角及求邻补角的度数.
平行线的判定及性质 10年3考 选择 利用平行线的性质,或结合对顶角、平角等求角度.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
2022年版课标变化:
①理解两点间距离的意义,能度量和表达(新增)两点间的距离.
②理解角平分线的概念.(新增)
③掌握基本事实:在同一平面内(新增),过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
· · · ·
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教材版本导航:
人教版:七上第四章、七下第五章、八上第十二章
北师版:七上第四章、七下第二章、八上第七章
湘教版:七上第4章、七下第4章、八下第1章
直线、
线段
两个基
本事实
直线的基本事实:经过① 点有且只有一条直线
线段的基本事实:两点之间,② 最短
线段的中点:如图(1),若AC=③ =
④ AB,则点C是线段AB的中点
线段的和差计算:如图(2),若点 B是线段 AC 上一点,则⑤ =AC-BC,BC=AC-AB,AC=AB+BC
两
线段
BC
　
AB
角及其
性质
度、分、秒的换算：1°=60',1'=60",度、分、秒之间是 60 进制
余、
补角
余角:如果两个角的和为 90°,那么这两个角互为余角
性质:同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等
补角:如果两个角的和为180°,那么这两个角互为补角
角平
分线
定义:如图(3),已知OC是∠AOB 的平分线,则∠AOC=
∠⑥ =⑦ ∠AOB
性质:如图(3),若OC平分∠AOB,PM⊥OB于点M,PN⊥
OA于点N,则PM=PN
逆定理:如图(3),若PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N,
PM=PN,则点P在∠AOB的⑧ 上
【课标新增】理解角平分线的概念
【技巧】遇角平分线向角的两边作垂线是一种常见的辅助线作法
BOC
　
平分线
命题
如果两个角是同位角
那么这两个角相等
假
是
假
相交线
对顶角 ∠1与∠3,∠2与∠4, ∠5与∠7，∠ 与∠8 性质： .
邻补角 ∠1与∠ , ∠5与∠6, ∠5与∠8等 三线八角 同位角 ∠1与∠5,∠2与∠6,∠ 与∠7,∠4与∠8 内错角 ∠2与∠8,∠3与 . 同旁内角 ∠3与 ,∠2与∠5 对顶角、邻补角与三线八角
6
对顶角相等
2或4
3
5
8
相交线
垂线
(1)在同一平面内,过一点有且只有 条直线与已知直线垂直
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短
(3)如图(4),点P到直线AB的距离为线段
的长度
一
垂线段
PD
相交线
线段垂直平分线
性质:如图(5),直线l是线段AB的垂直平分线,点P在直线l上,则PA= .
推论:如图(5),如果PA=PB,那么点P在线段 AB的 上
【注意】
直线l是线段AB
的垂直平分线
PB
垂直平分线
平行线
平行公理:经过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行
推论:如果直线a//b,c//b,那么直线a c
同位角相等
【技巧】遇拐
点作平行线
平行线的判
定与性质
两直线 .
内错角 .
两直线平行 .
同旁内角 .
两直线平行 .
【拓展】在同一平面内，对于直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c则a//b;两条平行线间的距离处处相等
判定
性质
判定
性质
判定
性质
一
∥
平行
相等
互补
图形
结论 ∠A+∠C+∠AEC=360° ∠A+∠C=∠AEC ∠A－∠C=∠AEC
过知识
随堂巩固练
1. 已知线段,，点,在直线上，于点 ，交直线
于点 .
（1）[平行线的判定]如图（1）， ，要使 ,在不添加
任何辅助线和字母的情况下，添加的条件可以是______________________
_______________.（写出一个即可）
（答案不唯一）
（2）[余、补角]在（1）的条件下，的余角是___________________,
的补角是_______.（填写所有的角）
（3）[角平分线]如图（2），的平分线交于点,若 ,
,则点到直线 的距离是___.
（4）[线段垂直平分线]如图（2），若点为的中点，，则点
到点 的距离为___.
,,
3
6
【拓展设问】
（5）如图（2），若连接,,的平分线交于点,点 为
的中点，则与 之间的数量关系是________________.
2. 如图，，，， 四点在同一直线上．
（1）若,则比较线段的大小：___（填“ ”“ ”或“ ”）.
（2）若线段被点，分成了长度比为的三部分，且的中点
和的中点之间的距离是，则的长为____ ．
27
过考点
考点1 相交线（10年2考）
1.[2025贵州2题3分]下列图中能说明 一定成立的是( )
A
A. B. C. D.
2.[2020贵阳4题3分]如图，直线，相交于点 ，如果
，那么 的度数是( )
A
A. B. C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025河源模拟]光线从空气射入玻璃时，光的
传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面
反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了
折射，如图，已知， ，下列结论
正确的是( )
C
A.与是对顶角 B.与 是对顶角
C. D.
2-1.[2025北京西城区三模]如图，直线， 交于点
，射线平分，若 ，则
( )
C
A. B. C. D.
考点2 平行线的判定及性质（10年3考）
3.[2023贵州4题3分]如图,,与相交于点 .
若 ,则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
1年新题针对练
3-1.[2025郑州二模]如图，．若 ，
则 的度数是( )
B
A. B. C. D.(共16张PPT)
第四章 三角形
第16节 相似三角形（含位似）
考点 考频 出题形式 命题角度
相似三角形的 判定与性质 必考 不固定 ①直接考查相似三角形的判定,多与四边形、圆结合;
②间接利用相似三角形的性质进行证明与计算.
贵阳10年考情分析
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人教版:九下第二十七章　　　
北师版:九上第四章　　　
湘教版:九上第3章
比例线段
比例的性质
合比性质：如果 ,那么① (bd≠0)
等比性质：如果=···= b1+b2+···+bn≠0，那么② .
基本性质： (abcd≠0)
黄金分割：如图，AC＞BC,则
简记
　
　
比例线段
比例的性质
推论:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所得的对应线段④ .
基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段③ .
【技巧】如图，直线a∥b∥c，
则,,
成比例
成比例
相似三角形的性质与判定
性质
相似三角形的周长比等于⑧ ,面积比等于⑨ .
相似三角形对应角⑤ ,对应边⑥ .
相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于⑦ .
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
相似三角形的性质与判定
判
定
判定方法 图示
方法1 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似 （当DE∥BC时,△ADE∽△ABC)
方法2 ⑩ 分别对应相等的两个三角形相似
两角
相似三角形的性质与判定
判
定
判定方法 图示
方法3 两边对应成比例且 相等的两个三角形相似
方法4 三边 的两个三角形相似
夹角
对应成比例
【注意】相似三角形中的对应关系,如果只给出两三角形相似,而不是用“∽”表示,那么需要分类讨论
位似图形
的性质
相似
相似比
【拓展】相似多边形应同时满足对应角相等与对应边成比例.如矩形与正方形虽对应角相等但对应边不成比例，所以它们不是相似多边形
过知识
随堂巩固练
1. 如图，，， .
（1）[平行线分线段成比例] 的值为__.
（2）[相似/位似]写出图中的一对相似三角形：
________________，相似比是_____.它们____位
似图形（填“是”或“不是”）.
是
（3）根据已知条件，下列等式错误的是( )
C
A. B. C. D.
（4）[实际应用]利用与水平地面垂直的标杆测量建筑物 的高度，
若标杆，观测者站在点处，观测者的眼睛点、标杆的顶点 和
建筑物的顶点三点共线，，则建筑物的高为_____ .
3.25
2. 如图，在中，，分别是， 边
上一点，连接,, .
（1）[相似三角形的判定]添加一个条件（不添加辅助
线） __________________________，使 .
（答案不唯一）
（2）[相似三角形的性质]若 .
①对应边、对应角的关系为_______，____, ____.
②____, ____.
2∶3
4∶9
【拓展设问】
（3）[分类讨论]若与相似，，则 _ ____
或
过考点
考点 相似三角形的判定与性质（必考）
1.[2025贵州9题3分]如图，已知
，，若 ,
则 的长为( )
C
A.1 B.2 C.4 D.8
2.[2023贵州23题节选（总12分）如图,已知 是等边三
角形的外接圆,连接并延长交于点,交 于点
,连接, .
求证: .
证明： 是等边三角形，
， ,
.
又 ，
.
1年新题针对练
1-1.[2025贵阳白云区二模]如图，在 的正方形网格
中，点，在格点处，线段与网格线交于点 ，则
等于( )
A
A. B. C. D.
点拨 如图,构造相似三角形
2-1.[2025遵义红花岗区一模节选]如图，正方形 的
边长为8，是边的中点，点在射线上，过点 作
于点，连接 ．
（1）求证： .
证明： 四边形 是正方形，
， ,
.
, ,
，
.
（2）若点在边上运动，且，求与 的相
似比.
正方形 的边长为8，
正方形的面积 .
， .
，是 的中点， ，
，
，
，与的相似比为 .(共24张PPT)
第四章 三角形
第17节 锐角三角函数及其应用
考点 考频 出题形式 命题角度
计算锐角 三角函数值 10年3考 1次选择、1次填空、1次解答 在三角形、四边形、圆中计算锐角三角函数值.
解直角三角形 的实际应用 10年9考 解答 引入实际生活中常见的物体或事件,抽象出几何模型,计算其距离、高度、深度等.
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:九下第二十八章　　北师版:九下第一章　　湘教版:九上第4章
概念
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c ∠A的正弦:sin A=①　　
∠A的余弦:cos A=②　　 ∠A的正切:tan A=③　　
　
　
　
特殊角的三角函数值

α 30° 45° 60°
sin α ④　　
cos α ⑤　　 ⑥　　
tan α ⑦　　 1 ⑧　　
【规律记忆】30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,分子依次为1,;30°,45°,60°角的余弦值分别是60°,45°,30°角的正弦值
　
　
　
　
解直角三角形的常见关系
三边关系 a2+⑨　　　=c2(勾股定理)
三角关系 ∠A+∠B=∠ACB=90° 边角关系 面积关系 【技巧】解直角三角形的原则:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切
b2
　
ab　
【拓展】知二求三
解直角三角形
的实际应用
俯角、仰角:如图(1),仰角为ㄥ ,俯角为ㄥ .
坡度(坡比)、坡角:如图(2),坡角为ㄥ ,坡度(坡比)i=
tan α= .
方向角:如图(3),点A,B,C关于点0的方向角分别是北偏东 30°、 、北偏西45'(也称西北方向)
【注意】通常需要作辅助线构造直角三角形解题
【注意】通常表达成北(南)偏东(西)xx度，方向角的角度值在0°~90°之间（不包含0°和90°）
1
2
α
南偏东60°
过知识
随堂巩固练
1. 已知在中，，，分别是，， 的对边．
（1）若 ，，，则 ____.
（2）若 ，，，则 _____．
（3）若，且， 均为锐角，则
的形状是____________．
等边三角形
（4）若 ,,则 _ ____.
（5）若，垂足为，，，，则 __.
（6）若 ,是的平分线，，，则
的值为__．
（7）如图，射线放置在的正方形网格中，请你在图中找出格点 ，
并连接,,使为直角三角形，且使的值为 .
如图所示.
2.［人教九下P19第9题变式］如图，水库某段横截面迎水坡 的坡度
，若坡高,则坡面的长为______ .
（第2题）
. .
（第3题）
3.［人教九下P78第2题变式］一配电房示意图如图所
示，它是一个轴对称图形，已知, ,
，则房顶到地面的高度约为____ .
（结果精确到 ）
6.3
（参考数据：， ，
）
. .
（第4题）
4.［人教九下P77第1题变式］如图，一艘轮船向正东
方向航行，从处测得灯塔在的北偏东 方向
上，向正东方向航行50海里到达 处，此时测得灯塔
在的北偏东 方向上，则 ____；轮船到
灯塔的距离 ______海里．（结果保留根号）
. .
过考点
考点1 计算锐角三角函数值（10年3考）
1.[2018贵阳7题3分]如图，，， 是小正方形的顶点，
且每个小正方形的边长均为1，则 的值为( )
B
A. B.1 C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025咸阳二模]如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 是
的外接圆，点，，在格点上，则 的值为_ ____.
考点2 解直角三角形的实际应用（10年9考）
2.[2024贵州22题10分]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合
光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿 处投
射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点 处时，停止注水．
（直线为法线，为入射光线， 为折射光线）
【测量数据】
如图，点，，，，，，，， 在同
一平面内，测得， ，折
射角 ．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
在中， ， ，
，
.
（2）求，之间的距离（结果精确到 ）．
（参考数据：，， ）
由题意知 ，
由（1）知 ，
.
在中， ， ,
，
．
答：，之间的距离约为 .
1年新题针对练
2-1.[2025毕节二模]如图，为了测量河对岸, 两点
间的距离，数学兴趣小组在河岸东侧选定观测点 ，
测得点,均在点的南偏西 方向上，沿正西方
向行走200米至观测点，测得点在点 的正南方
向，点在点的南偏东 方向上．
（1）求 的度数.
根据题意得,，三点共线, ,
,
.
（2）求，两点间的距离．（参考数据： ，
，， ，
，结果保留两位小数）
由题意得，， ,
.
在中， ,
.
在中， ， ,
.
答：, 两点间的距离约为213.33米.
规范答题
[2025贵州22题10分]某小区在设计时，计划在如图（1）的住宅楼正前方建
一栋文体活动中心.设计示意图如图（2）所示，已知 ，
,该地冬至正午太阳高度角 为 .如果你是建筑设计师，请
结合示意图和已知条件完成下列任务.#1
任务一： 计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离 的长.
解：如图（1），过点作于点 ，（1分）→得分点1：正确作出
辅助线，得1分
四边形 是矩形，
， .（2分）→得分点2：正确求出 的长，得1分
在中， ，
，（5分）→ 得分点3：正确求出
的长，得3分
.
冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长约为 .
（6分）→得分点4：正确求出 的长，得1分
任务二： 为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳
高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿 方向移动一定的距离
（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米.
（参考数据:,， .结果保留小数
点后一位）
如图（2），设活动中心沿方向移动到 ，连接 .
，， ,
在中， ，
（8分）→得分点5：正确列出式子，得2分
解得 ，
检验： 是原分式方程的解.
答：活动中心沿方向移动了 .（10分）
→得分点6：正确求出结果，得2分(共18张PPT)
第四章 三角形
第15节 全等三角形
考点 考频 出题形式 命题角度
全等图形 10年1考(仅2022年考查) 选择 理解全等图形的概念.
全等三角形的 判定与性质 必考 不固定 ①直接考查全等三角形的判定,多与四边形、圆结合;
②间接利用全等三角形的性质解题.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
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人教版:八上第十二章　
北师版:七下第四章、八下第一章　
湘教版:八上第2章、八下第1章
性质
相等
相等
相等
相等
相等
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
判定
类型 判定方法 图示
一般 三角形 ⑥　　　分别对应相等(SSS)
两边及其⑦　　　对应相等(SAS)
三边
夹角
判定
类型 判定方法 图示
一般 三角形 两角及其⑧　　　对应相等(ASA)
两角及其一角所对边对应相等(⑨　　　)
夹边
AAS
判定
类型 判定方法 图示
直角 三角形 一条直角边和⑩ 　　　分别对应相等(HL)
【注意】一般三角形全等的判定方法也适用于直角三角形
斜边
【注意】(1)当判定三角形全等时,最少要有一组边相等的条件,但不要误用“SSA”,两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等
(2)当△1△2时,它们的对应顶点和对应边都是唯一确定的;当用“△1与△2全等”表达时,两个三角形的顶点和边的对应关系不确定,需要分类讨论
过知识
随堂巩固练
1. 已知和,如图（1），点，，， 在一条直线上，
，,,交于点 ．
图（1）
图（2）
（1）当添加_________时，根据“”可判断 .
（2）当添加_________________________时，
根据“ ”可判断 （写出一个即可）.
（3）当添加______________________________时，根据“ ”可判断
（写出一个即可）.
（4）若将“”改为“ ”，则当添加_________时，根据“
”可判断 .
（5）若将“”改为“ ”，则当添加____________
_______________时，根据“”可判断 （写出一个即可）.
（或等）
（或等）
（或）
（6）若删除条件“”，在， ，
这三个条件中，选择合适的两个，使 成立，并
完成证明.
选择①②，证明如下：
，
， .
， ，
.
（选择不唯一,注意本问可以选择①②或①③，不能选择 ）
（7）如图（2），请你在右图网格中画出两个与左图 全等的格点三
角形．
如图所示（画出两个即可）.
【拓展设问】
（8）若，的周长为25，, ,
，则______, 的长为____.
11
解题妙招
找全等三角形的方法
1.从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等
的三角形中.
2.从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.
3.从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等.
4.若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形.
过考点
考点1 全等图形（10年1考）
1.[2022贵阳4题3分]如图，将菱形纸片沿着线段
剪成两个全等的图形，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
1年新题针对练
1-1.[2025连云港期中]下列是通过翻折得到的全等图形的是( )
B
A. B. C. D.
考点2 全等三角形的判定与性质（必考）
2.[2021贵阳19题10分]如图，在矩形中，点在上， ，
且，垂足为 ．
（1）求证： .
证明： 四边形 是矩形，
, ，
.
， .
， .
（2）若，，求四边形 的面积．
，
.
在中， ，
， ，
.
1年新题针对练
2-1.[2025遵义一模]如图，已知 ．现按下列要求作图.
步骤一：分别以点，为圆心，大于 的长为半径
画弧，两弧相交于点， .
步骤二：直线分别交，，于点，， ，连接， ．
（1）求证： .
证明： ，
.
由尺规作图步骤可知，为 的垂直平分线，
， .
在和中，
.
（2）判断四边形 的形状，并说明理由．
四边形 是菱形.
理由：由（1）可得，，，
，
，
四边形 的对角线互相垂直且平分，
四边形 是菱形．(共28张PPT)
第四章 三角形
第14节 三角形及其性质（含特殊三角形）
考点 考频 出题形式 命题角度
三角形中的重要线段 10年3考 2次选择、1次解答 识别三角形的中线、高、角平分线,并能进行相关计算.
与等腰三角形有关的证明与计算 10年4考 2次选择、1次填空、1次解答 利用等腰三角形的性质求高或边长;
选择题和解答题中判定等边三角形,并能进行相关计算.
与直角三角形有关的证明与计算 10年4考 2次填空、2次解答 与勾股定理结合判定三角形是直角三角形;
直角三角形中利用勾股定理求线段长.
贵阳10年考情分析
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:八上第十一、十三章,八下第十八章　
北师版:七下第四章,八上第七章,八下第一、六章,九上第一章　
湘教版:八上第2章,八下第1章
三角形
等边三角形
直角三角形
三角形
大于
小于
180°
互余
互余
等于
和
大于
三角形中的重要线段
名称 性质 延伸 图示
中线 (AF) 重心:三角形三条中线的交点.它到三角形顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍
(∠1=∠BAE,
∠2=∠EAC)
高线 (AD) AD⊥BC,即∠ADB=∠ADC=90°，S△ABD:S△ACD=BD:CD 垂心:三角形三条高所在直线的交点 【技巧】见中线,可倍长
三角形中的重要线段
名称 性质 延伸 图示
角平分 线(AE) ∠1=∠2= 　 　 S△ABE:S△ACE=AB:AC=BE:CE 内心:三角形三条角平分线的交点.内心到三角形三边的距离相等
(∠1=∠BAE,
∠2=∠EAC)
中位线 (GH) 当在三角形中遇到中点时,常构造三角形的中位线,简称“已知中点找中位线” ∠BAC
BC
特殊三角形的性质与判定
等腰三角形 等边三角形 直角三角形
性 质 1.两腰相等,两底角相等(简称“等边对等角”) 2.是轴对称图形,有 　　　条对称轴 、底边上的中线、　 　 　相互重合(简称“三线合一”) 1.三边相等,三个内角相等,且每一个内角都等于 　　 2.是轴对称图形,有 　　　条对称轴 3.三线合一 1.两锐角之和等于 　 　
2.斜边上的中线等于 　　
3.30°所对的直角边等于 　 　
4.勾股定理:若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则 　　
关键点
1
顶角平分线
底边上的高
60°
3
90°
斜边的一半
斜边的
一半
a2+b2=c2
特殊三角形的性质与判定
等腰三角形 等边三角形 直角三角形
判 定 1.有两条边相等的三角形是等腰三角形 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形 1.三边都相等的三角形是等边三角形 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是 　　　的等腰三角形是等边三角形 1.有一个角为 　　　的三角形是直角三角形
2.勾股定理逆定理:若 　　　　,则以a,b为直角边,c为斜边的三角形是直角三角形
3.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形【注意】选填题可以直接使用，解答题需要证明
【注意】当已知一个角求其他角时,要对该角是顶角还是底角分类讨论;当已知两边时,除了要确定哪条边作为腰或底边,还要考虑三边关系
60°
90°
a2+b2=c2
特殊三角形的性质与判定
等腰三角形 等边三角形 直角三角形
面 积
过知识
随堂巩固练
1. 如图，，，分别是 的中线、
角平分线、高， .
（1）[三边关系]若，则 的长可能是
__________________.（写出一个即可）
9（答案不唯一）
（2）若 ， ，则____ ，____ ，
____ .
（3）[中线]若的周长比的周长大3，则 的长为___.
（4）[中线]若，，则 的面积为___.
（5）[角平分线]若，则___， ___.
70
50
75
9
7
2
2
2. 如图，在中， ，为的中点,连接 .
（1）[斜边上的中线]若，则 ___.
4
（2）若 的两边长分别为3,4，则第三边的
长为_______.
5或
（3）若 ， .
① 的长为___.
②点为上一动点（不与点，重合），当 __________时，
是直角三角形.
4
或
3. 已知为等腰三角形，且 .
（1）[三线合一]为的中点，连接 .
①若 ，则____, ____;
②若,,则 的长为___.
4
（2）若的一个内角为 ，则该三角形的底角的度数为_________
____.
（3）若 的两边长分别为5,6，则该三角形的周长为________.
或
16或17
（4）增加一个条件，使 是等边三角形，这个条件可以是_________
____________________________________________________；若 ，
则该等边三角形的面积为_____.
（答案不唯一， ， 或均可）
过考点
考点1 三角形中的重要线段（10年3考）
1.[2018贵阳2题3分]如图，在 中有四条线段
，，，，其中有一条线段是 的中
线，则该线段是( )
B
A.线段 B.线段 C.线段 D.线段
1年新题针对练
1-1.[2025贵阳花溪区二模]如图，将放置在一条数轴上，， 的
中点，均落在数轴上，且点，在数轴上的位置如图所示，则 的长
为____.
10
（第1-1题）
1-2.[2025日照三模]如图，在中，点，，分别为，， 的
中点，且，则阴影部分的面积为___ ．
1
（第1-2题）
点拨 等底同高
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算（10年4考）
2.[2023贵州7题3分]5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开
幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型
（示意图如图所示）,它的顶角为 ,腰长为 ,则底边上的高是( )
B
A. B. C. D.
1年新题针对练
（第2-1题）
2-1.[2025兰州城关区模拟]如图，在 中，
， ，以点为圆心， 的长为半径画
弧，交于点，连接，则 ____.
2-2.[2025长沙模拟]如图，在中，和的平分线交于点 ，
过点作交于点，交于点，若，则 的
长为___.
8
（第2-2题）
3.[2018贵阳20题10分]如图，在平行四边形中，是 边上的高，
点是的中点，与关于对称，与关于 对称.
考点2 与等腰三角形有关的证明与计算（10年4考）
（1）求证： 是等边三角形.
是 边上的高， .
四边形 是平行四边形，
，，即 .
点是 的中点，
是 的中线，
.
与关于 对称，
， ，
是等边三角形.
（2）若，求 的面积.
如图，记，的交点为 ，
是等边三角形，且与关于 对称，
， .
与关于 对称， .
， ，
， ，
， ，
.
3-1.[2025贵阳云岩区一模]如图，在中，，， 分别是
，的中点，连接，延长至点，使，连接 ．
（1）求证： 是等腰三角形.
1年新题针对练
证明： ，
．
，分别是， 的中点，
为 的中位线，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）已知 ，求 的度数．
， ，
.
， ，
，
．
为 的外角，
，
．
考点3 与直角三角形有关的证明与计算（10年4考）
4.[2020贵阳15题4分]如图，在中，点在边
上，，，垂直于交 的延
长线于点，，，则边 的长为_____.
提示 延长BD至点F,使BD=DF,连接CF.
过点C作CH∥AB交BF于点H(如图)
1年新题针对练
4-1.[2025咸阳一模]如图，在中， ，平分 ，
过点作，垂足为，连接，若，，则 的
面积为_ __.
提示 如图,延长BD交AC于点E,易得=,S△ABD=S△ABE(共26张PPT)
第四章 三角形
第18节 尺规作图
考点 考频 出题形式 命题角度
尺规作图 10年9考 7次选择、 2次解答 3次考查角平分线、2次考查垂直平分线、3次考查作一条线段等于已知线段、1次考查垂线.
网格作图 10年1考(仅2020年考查) 解答 在网格中根据要求作直角三角形,与勾股定理相结合.
贵阳10年考情分析
教材版本导航:
人教版:七上第四章,八上第十二、十三章　北师版:七上第四章,七下第二、四、五章　
湘教版:七上第4章,八上第2章,八下第1章
贵阳10年考情分析
2022年版课标变化:
①能用尺规作图:作一条线段等于已知线段.(删除,移至小学阶段学习)
②能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线.(新增)
③*能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线.(新增且加“*”,作为选学)
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
过直线外一点作这条直线的平行线(已知直线l,点P)【课标新增】 (1)过点P作直线m与直线l交于点O; (2)在直线m上取一点A(OA【注意】本质是通过“SSS”构造全等证角相等
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
作一个角等于已知角(已知∠α) (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB边于点P,Q; (2)作射线O'A',以点①　　为圆心,②　　　的长为半径作弧,交O'A'于点M; (3)以点③　　为圆心,④　　　　的长为半径作弧,交第(2)步中所作的弧于点N; (4)过点N作射线O'B'. ∠A'O'B'即为所求作的角.
O'
OP
M
PQ
【注意】本质是通过“SSS”构造全等证角相等
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
作已知角的平分线(已知∠AOB) (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点M,N; (2)分别以点⑤　　　为圆心,⑥　 　　的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点P; (3)作射线OP. 射线OP即为所求作的角平分线.
M,N
大于MN
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
作线段的垂直平分线(已知线段AB) (1)分别以点A,B为圆心,⑦　　　　　的长为半径作弧,两弧相交于点C和D; (2)作直线CD. 直线CD即为线段AB的垂直平分线.
大于AB
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) 点在 直线 外 (1)在直线l另一侧任取一点M; (2)以点P为圆心,⑧　　　的长为半径作弧,交直线l于点A,B; (3)分别以点⑨　　为圆心,⑩　　　　的长为半径作弧,两弧相交于点N; (4)作直线PN. 直线PN即为所求作的垂线.
PM
A,B
大于AB
【注意】本质是垂径定理的推论，过圆心的直线垂直于弦且平分弦
五种基本尺规作图
基本作图 作图步骤 作图痕迹
过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) 点在 直线 上 (1)以点P为圆心, 　 　　为半径向点P两侧作弧,交直线l于点A,B; (2)分别以点 　　　为圆心, 　　　 的长为半径向直线l两侧作弧,交点分别为M,N; (3)作直线MN. 直线MN即为所求作的垂线.
适当长
(任意长)
A,B
大于AB
【注意】本质是垂径定理的推论，过圆心的直线垂直于弦且平分弦
过知识
随堂巩固练
1. 在中， ．完成下列问题（要求：尺规作图，保留
作图痕迹，不写作法）：
图（1）
图（2）
图（3）
图（4）
（1）在图（1）中的上取点,使 .
如图（1），以点为圆心，长为半径画弧，交于点,连接 ，则点
就是所求作的点.
图（1）
（2）[作垂直平分线]在图（2）中的上取点,使 .
如图（2），作线段的垂直平分线，交于点,连接,则点 就是所求
作的点.
图（2）
（3）[作角平分线]在图（3）中的上取点,使点到, 的距离相等.
如图（3），作的平分线，交于点,则点 即为所求作的点.
图（3）
（4）[作一个角等于已知角]在图（4）中，过点作 .
如图（4），作,则直线 即为所求.
图（4）
2.尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）．
图（1）
图（2）
图（3）
（1）如图（1），在中， ，在边上取点，连接 ，
使 ．
如图（1），点 即为所求.
图（1）
（2）如图（2），是的外接圆，在线段上找一点，连接 ,
使 .
如图（2），点 即为所求.
图（2）
（3）如图（3），在中，作的平分线，交于点 ，作线
段的垂直平分线，分别交于点，于点，垂足为点 ，连接
．在所作图形中，找一对全等三角形，并证明.
图（3）
作图如图（3），
（答案不唯一）.
证明：为 的平分线， .
， .
在和 中，
.
过考点
考点1 尺规作图（10年9考）
1.[2025贵州11题3分]如图，在
中，，， ，
以点为圆心，长为半径作弧，交
于点，连接,则 的长为( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
2.[2023贵州11题3分]如图,在四边形 中,
,, .按下列步骤作图:①以
点为圆心,适当长度为半径画弧,分别交,
于,两点；②分别以点,为圆心,大于 的
A
A.2 B.3 C.4 D.5
长为半径画弧,两弧交于点；③连接并延长交于点.则 的长是
( )
1年新题针对练
1-1.[2025贵州省一模]如图，在轴， 轴上分别截取
，使，再分别以点， 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧交于点.若点 的坐标为
，则 的值为( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
2-1.[2025六盘水模拟]如图，用尺规作射线 平行
，关于弧 的作法描述正确的是( )
C
A.以点为圆心，线段 长为半径
B.以点为圆心，线段 长为半径
C.以点为圆心，线段 长为半径
D.以点为圆心，线段 长为半径
考点2 网格作图（10年1考）
1年新题针对练
3.[2020贵阳16题8分]如图，在 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做
格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数.
如图（1）， 即为所求.
（2）在图（2）中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两
边长是无理数.
如图（2）， 即为所求.
（3）在图（3）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
如图（3）， 即为所求.
（答案不唯一）

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