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对函数概念的再认识
导入
　　一切事物都处在相互关联和不断
变化的过程之中．函数是描述变量间
依赖关系的重要数学模型．用集合和
对应的语言更清楚地表达函数概念，
有助于我们正确认识函数、理解函数
和运用函数解决问题.
一
对函数概念的再认识
　　初中课程中，我们已经学习了函数概念.联系着函数概念，还学习了有关的术语，例如自变量、对应、函数值等等.
　　函数对我们来说并不陌生.从学习加减乘除开始，我们实际上就一直在和函数打交道.
　　例如加法，设s=x+3，给定了实数x，则对应的s的值就确定了. s可看成是变量x 的函数；x的取值范围是R，s的取值范围也是R .
一
对函数概念的再认识
　　例如梯形面积公式　　　　　，若梯形两底a和b的值确定了，对应的面积S就可以看成是变量h的函数；h和S的取值范围都是(0，+∞).
　　例如圆周长公式C=2πr，给定了半径r的值，对应的圆周长C的值就确定了.C可看成是变量r的函数；r和C的取值范围都是(0，+∞).
　　函数变量的取值范围，可以根据讨论问题的情形来确定.例如自由落体的路程公式　　　　，给定了下落时间t的值，则对应的下落距离H的值就确定了.H可看成是变量t的函数.t的取值范围是有限区间［0，T］，而T的值则根据具体的物理条件来确定.
一
对函数概念的再认识
　　有时，变量和函数值之间的对应关系并不一定是用同一个算术表达式给出的. 例如，|x|可以看成x的函数，它的定义是“当x≥0时|x|=x，否则|x|=－x”.这个函数自变量x的取值范围是R，那么其函数值的取值范围是什么呢？
　　函数是变量与变量之间的确定性对应关系.确定性是函数概念的灵魂.矩形的周长和面积之间也有关系，周长很短的矩形面积不可能很大.但给定了周长并不能确定面积，所以矩形的面积不是周长的函数.
一
对函数概念的再认识
　　回顾一下，初中数学中的函数概念是这样的：
　　如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
　　这里说的“变量”“一个变化过程”是什么意思呢？我们只能直观地体会其意义.
　　有了集合的概念，就可以将变量的取值范围看成集合，将函数看成两个集合之间的对应关系.
一
对函数概念的再认识
　　一般地，我们有：
　　设A，B是两个非空实数集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么就称这样的对应关系f：A→B为集合A到集合B的一个函数，也记作
y＝f(x) (x∈A)．
　　其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x∈A对应的数y叫作函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫作函数的值域．值域是集合B的子集.
一
对函数概念的再认识
　　观察实际例子并对照定义可看出，一个函数f(x)有三个要素：
　　首先是对应关系，也就是如何从x确定f(x)的约定．
　　其次是定义域，就是自变量x的取值范围．对应关系形式上相同的两个函数，若定义域不同，就算不同的函数．
　　知道了对应关系和定义域，值域也就确定了．对值域的了解表明对函数有了更深入的认识，所以值域也是函数的要素之一．
　　两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)=g(x)时，叫作相等.
　　这里还引进了一个表示对应关系的函数符号f(x)，善于使用这个符号，会使推理和计算更为简便严谨.
一
对函数概念的再认识
　　　　已知定义域为R的函数f(x)=x+1和g(x)=x2，计算下列各式：
　(1) f(2)+g(3)； (2) f(a2)－g(a)；　 (3) f(f(f(0))).
　解　(1) f(2)+g(3)=(2+1)+32=3+9=12 ；
　　　(2) f(a2)－g(a)=(a2+1)－a2=1；
　　　(3)因为f(0)=0+1=1 ，
　　　　 所以f(f(0))=f(1)=1+1=2 ，
从而f(f(f(0)))=f(2)=2+1=3.
例
1
一
对函数概念的再认识
　　　　已知定义域为R的函数f(x)=x2+1.
　(1) 求f(t)， f(－t)的值；
　(2)求f(t)+1的值；
　(3) 求f(t +1)的值.
　解　 (1) f(t)=t2+1， f(－t)=(－t)2+1=t2+1；
　　　 (2)f(t)+1=t2+2；
　　　 (3) f(t+1)=(t+1)2+1=t2+2t+2.
例
2
一
对函数概念的再认识
　　1.已知定义域为R的函数f(x)=x－3和g(x)=x2+1，计算下列各式：
　　(1) f(2)+g(－1)；　　　 (2) f(u2)－2g(u)；
　　(3) g(g(g(1))).
　　2.已知定义域为N的函数f(x)=　x(x+1).
　　(1)求f(n+1)， f(n－1)的值；
　　(2)求f(n+1)－ f(n)的值.
　　3.若f(x)=3x2－Bx+4，且f(－1)=12，求B.
练 习
一
对函数概念的再认识
映射
　　在函数的定义中，把“数集”放宽为一般的集合，就得到映射的概念：
　　映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应f叫作集合A到集合B的映射，记作f：A→B，或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．
　　这里，A叫作映射的定义域，与x∈A对应的y叫x的像，记作f(x)或y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作映射的值域．
　　对照映射的定义，就能看出本章所讲的函数是非空数集到非空数集的映射.
多知道一点
一
对函数概念的再认识
　　下图(1)～(3)中所表示的集合A和集合B间的对应关系中，哪个是从集合A到集合B的映射，哪个不是？
多知道一点
(1)求平方根 (2)求算术平方根 (3)任意指定对应
一
对函数概念的再认识
　　按映射的定义可知：
　　(1)的对应关系是“开平方”，即对于集合A中的每一个非负数x，除了0外，集合B中都对应着两个平方根，例如，和A中元素1相对应的B中元素有两个:1和－1，所以这不是从集合A到集合B的映射．
　　(2)的对应关系是“求算术平方根”，而每个非负实数x都有且只有一个算术平方根，因此，这一对应是从集合A到集合B的映射．
　　(3)的对应关系是任意指定的， 集合A中的任一个数都对应于集合B中唯一确定的一个数，因此，这一对应是从集合A到集合B的映射．
　　映射对我们来说其实并不陌生.加减乘除，都是二元数组集合到数集合的映射；三角形的面积，是三角形集合到数集合的映射；平面上点和坐标的对应，是点集合到二元数组集合的映射；万物都有名字，名字就是事物到字符的映射.
多知道一点
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202X/01/01

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