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无理数指数幂
1
有理数指数幂的基本不等式
2
无理数指数幂的概念
目 录
CONTENTS
一 有理数指数幂的基本不等式
一
有理数指数幂的基本不等式
　　我们知道，对任意的正整数n 和正数a，若a＞1，则an＞1；若a＜1，则
an＜1．那么，对于任意的正有理数　，　 和1之间是否也有类似的关系呢
　　设a＞1，下面证明必有　 ＞1:
　　用反证法. 假设 ≤1.
　　则 =a≤1，与已知a＞1矛盾，故 ＞1．
　　进一步可推知， ＞1．
　　试着证明当正数a<1时，有 <1.
一
有理数指数幂的基本不等式
　　综合起来得到有关有理数指数幂的基本不等式：
　　对任意的正有理数r和正数a ，
　　若a＞1则ar＞1；若a＜1则ar ＜1.
　　根据负指数的意义和倒数的性质可得推论：
　　对任意的负有理数r和正数a ，
　　若a＞1则ar ＜1；若a＜1则ar ＞1.
一
有理数指数幂的基本不等式
　　由此可知:
　　对任意的正数a＞1和两有理数r＞s，有　　　　　 ，即ar ＞ as.
　　对任意的正数a＜1和两有理数r＞s，有 ，即ar ＜ as.
　　这两个不等式，有助于建立和理解无理数指数幂的概念.
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二 无理数指数幂的概念
二
无理数指数幂的概念
　　现在，对于a＞0，当x是任意有理数时，ax 都有了意义.
　　在实际问题中，变量x可以代表厚度或时间，它可以是无理数，正数的无理数指数幂怎么定义呢？
　　例如，要知道　 是什么意思，就是问如何确定它的大小.
　　回顾一下，　的大小是怎样确定的呢？
　　我们知道　 ＝1.414213…，是因为知道它比1大，比2小；比1.4大，比1.5小；比1.41大，比1.42小；比1.414大，比1.415小；比1.4142大，比1.4143小……如果需要，我们能够把 算到任意多位小数，即把它的大小范围估计到任意的精度，要多精确都可以达到，这样就算确定了它.
二
无理数指数幂的概念
　　类似的办法，可以确定实数 .
　　例如设a=10，利用前述的不等式可得下表：
二
无理数指数幂的概念
　　例如，根据　　　　　　　　　，先计算出
　　
　　立刻知道25.95＜ ＜25.96，获得了 的四位有效数字.
　　这样，用a的有理数次幂来逼近其无理数次幂，可以要多精确就有多精确.所以，任意正数a的无理数次幂就有了确定的意义.于是，给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au 都有了定义.
二
无理数指数幂的概念
　　在幂的表达式au 中，a叫作底数，u叫作指数.
　　可以证明，有理数指数幂的前述运算规律，对实数指数幂仍然成立.类似地，仍有一般的幂运算基本不等式：
　　对任意的正数u和正数a，若a＞1则au ＞1；若a＜1则au ＜1.
　　对任意的负数u和正数a，若a＞1则au ＜1；若a＜1则au ＞1.
二
无理数指数幂的概念
　　　　化简下列各式：
　(1)　　　； 　　(2)　
　解　(1)　　　　　　　　　　；
　　　(2)
例
1
二
无理数指数幂的概念
　　　　已知a＞1，h＞0，对任意的实数u，求证：
　(1) 　　　　　　　　　；
　(2)
　证明　(1)因为　　 ， ， 都是正数，且 ，
故 ， 也是正数.
又
　即得
例
2
二
无理数指数幂的概念
　　(2) 由于对正数A和B有(1+A)(1+B)>1+A+B，
　　故(1+h)2>1+2h， (1+h)3>(1+2h)(1+h)>1+3h ，
　　从而
　　 (1+h)10>［(1+h)2(1+h)3］2 >［(1+2h)(1+3h)］2> (1+5h)2 >1+10h，
　　两端10次方得(1+h)100 > (1+10h)10 >1+100h.
二
无理数指数幂的概念
　　1.用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001）：
　　(1) 　　 ； 　　 (2) ； (3) .
　　2.化简下列各式：
　　(1) 　　　　 ； (2)
　　3.已知0练 习
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