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(共28张PPT)
表示函数的方法
一
导入
　　
　　把一个函数的对应关系和定义域交代清楚
的办法，就是表示函数的方法．在初中数学中，
我们用数学表达式、函数表或函数图象来表示
函数．这是表示函数的三种主要方法，分别叫
作解析法、列表法和图象法．
　　数学研究的对象是抽象的.抽象的东西看不见摸不着，把它表示出来才便于研究.因此，数学讲究表示.
1
解析法
2
列表法
目 录
CONTENTS
3
图象法
4
数学实验
一 解析法
一
解析法
　　正方形面积S是边长x的函数，用公式S＝x2(x∈(0，＋∞))来表示，既说明了S是x的函数，又说明了如何从x出发求出对应的面积S.
　　这种把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式(也叫作解析表达式或函数关系式)，解析法就是用解析式来表示函数的方法．
　　应用函数模型来解决实际问题时，常常希望写出
函数的解析式来．
　　用解析式表示函数简捷明了，便于计算函数值和推导函数的性质，是最基本最常用的函数表示方法之一.
一
解析法
　　　　某地在山区修建水库大坝，坝高随山势起伏在10m到50m之间变化. 已知坝体的横断面为梯形，上底a为30m，下底b与坝高x之间满足关系式：b＝30＋4x．为估计修建大坝的土方量，需要把横断面面积表示为坝高的函数y=S(x)，试写出该函数的解析式及其定义域，并求出坝高为15m，20m，30m时大坝横断面的面积.
例
1
一
解析法
　　解　由题意可得函数的解析式为
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
该函数的定义域为［10，50］.
　　由函数解析式可求出对应于坝高为15m，20m，30m时大坝横断面的面积分别为S(15)＝900m2， S(20)＝1400m2， S(30)＝2700m2.
一
解析法
　　从以上解析式可以看到，该函数是二次函数，它的图象是我们所熟悉的，必要时用计算机也容易画出它的图象，列出函数表．
　　通常，只要找到了函数的解析式，求函数值、画图象、列表都能迎刃而解．如果用解析式给出一个函数f(x)而不说明定义域，意思是使解析式有意义的x的值的全体就构成定义域. 例如函数　　 　的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，　
　　　的定义域为［0，+∞).
一
解析法
　　　　　确定下列函数的定义域：
　(1)　f(x)=　　　；　　 　(2) g(x)=　　　　　.
　
　解　(1)因为二次根式的分母不能为零，即x≠－2，且需　　≥0，即－2　　　(2)因分母x2+3x+2=(x+1)(x+2)当且仅当x∈{－1，－2}时为0，故g(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，－1)∪(－1，+∞)；也可表示为{x|x≠－1且x≠－2}或R\{－1，－2}.
例
2
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二 列表法
二
列表法
　　商店里有些营业员为了工作的方便，对一些畅销商品，事先列好一张表备用．例如某商品每件价格为1.45元，可以列出下表：
　　其实，这就是最简单的函数列表表示法，这里，自变量是商品的件数，而相应的销售价格就是商品件数的函数．
　　还比如，某水库的存水量Q(×104m3)与水库最深处的水深H(m)的关系如下表所示：
二
列表法
　　从表中可以看到，每一深度H都对应唯一的一个存水量Q，这个表就给出了H与Q间的对应关系，也就是函数关系．
　　用列表法表示函数关系，优点是具体易用，不
懂数学运算的人也能查表做事，缺点是不够全面.例
如，如果你还想知道该水库在水深为22m时的存水
量，那么你所能得到的只是“大约多少多少”了，
因为，在表中你是查不出来的．再者，从表上也很难
看出函数的数学性质．
　　数学用表在生活中是很常见的.例如银行的储蓄利率表，保险公司的汽车折旧保费表，税务部门按不同收入的税率表，等等.
　　你能举出更多的例子吗？
二
列表法
　　不过，因为列表法有着简单明白的优点，对一些特定的自变量值，相应的函数值可以直接从表上查到，因此，人们也常将某些用解析式表示的函数编成表格，如平方表、平方根表以及将要学习的对数表、三角函数表等数学用表，都可以看作是用列表法表示函数．在历史上没有电子计算机的年代，函数表是科学研究和工程技术有关计算活动中不可缺少的工具.
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三 图象法
三
图象法
　　医院为了及时了解住院病人的病情，通常每隔一定时间要为病人测一次体温，护士在打好方格的纸上把每次测得的病人体温记成一串点，再把这些点用线段或曲线连接起来，这就形成了每个病人的体温曲线．医生则把这一曲线作为了解病情变化的重要参考．
　　自动测温仪则是根据上述原理，自动完成定时测温、描出曲线的工作．
三
图象法
　　例如，设时间为t(时)，气温为T(℃)，自动测温仪测得某地某日从0时到24时的温度曲线如图3.1-1.在图上，如果要知道某一时刻该地的温度，只要在t轴上找到表示时刻t的点，过该点作出t轴的垂线与气温曲线交于点(t，T)，便得到时刻t对应的一个温度T. 这条气温曲线就给出了时间和气温间的对应规律．
　　你能从图3.31看出下午2—3时当地的气温吗？能看出这24小时内何时气温最低吗？
图3.1-1
三
图象法
　　为了直观地了解函数的性质，常要作出函数的图象．作图通常有列表、描点、连线三个步骤：
　　列表——先找出一些有代表性的自变量值x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)， 用表格的形式表示出来；
　　描点——从表中得到一系列的点(x， f(x))，在坐标平面上描出这些点；
　　连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
　　要作出更精确的图象，常常需要描出更多的点．
三
图象法
　　　　作出函数y＝　 (x∈［0，16］)的图象．
　解　选择方便计算的几个数值，列表如下：
　　根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线，得到图3.1-2.
例
3
图3.1-2
　　你能根据图3.1-2估计出　 ， ， 的近似值吗？
三
图象法
　　函数的三种表示方法，各有长处和不足，在对具体问题的研究中常常将不同的方法结合起来．
　　在数学课程中，我们主要讨论的是解析法和图象法，并且经常把两种方法结合起来进行讨论．有了函数的解析式，用计算机等电子设备作函数图象或列函数表很方便，所以获取函数的解析式和计算方法常常是研究函数的基础性工作.
三
图象法
　　1.学校要印刷一批资料，现要求纸面上、下各留4cm空白，左、右各留3cm空白，中间排版部分要求面积为432cm2.写出纸张面积y(cm2)与中间排版部分宽度x(cm)间的函数解析式y＝S(x)，确定其定义域，再计算出S(8)，S(12)，S(24)的值．
　　2.确定下列函数的定义域：
　　(1) f(x)= 　　　　 ； 　　　 (2) f(x)= ；
　　(3) g(x)= ； 　(4) f(x)= .
练 习
三
图象法
　　3.利用课本中关于水库存水量的列表作出由水深确定存水量的函数图象，并根据图象估计出水深为7m和18m时的存水量．
　　4.画出函数f(x)=－x2+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题：
　　(1)比较f(0)， f(1)， f(3)的大小；
　　(2)若x1　　(3)求函数f(x)的值域.
练 习
三
图象法
表示函数的其他方法
　　汽车司机要知道油箱里有多少油，用把带刻度的尺子放进去一量便知．因为油量是油深的函数，这个函数关系体现在尺子刻度上，这种表示函数的方法称为标尺法．
　　用计算器或计算机能求许多函数值，因为里面有计算函数的程序．程序是根据算法编出来的，科技活动用到的大量函数，现在要用算法或程序来表示，而不是用列表法来表示．
　　函数也可以用描述法来表示．例如，当x为有理数时，让D(x)＝1，否则让D(x)＝0，这就定义了函数D(x)．它叫作狄利克雷函数．
多知道一点
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四 数学实验
四
数学实验
用计算机作函数图象和列函数表
　　函数的图象能够帮助我们了解函数的性质.特别是我们可以使用计算机技术，根据函数解析式和数据作出函数的图象.使用“超级画板”或其他具有类似功能的软件，在计算机上作函数的图象既快捷又准确．
四
数学实验
　　在右键菜单里单击“函数或参数方程曲线”，在出现的对话框里（如图1）输入函数表达式“x^(1/2)”， 参数范围取0到10，点数取101，单击“确定”，函数y＝ 的图象就出现了（如图2）．
图1
图2
四
数学实验
　　用鼠标在曲线附近单击左键，曲线变色，表示计算机知道你选择了它.执行菜单命令“插入|表格”， 屏幕上就出现了对应的函数表．
四
数学实验
　　这时表上的格子不够，可以用鼠标指着表格按右键，在右键菜单中单击“属性”，打开表格的属性设置对话框，在对话框下部把表格的行数改为11，列数改为20，单击“确定”即可．
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