资源简介

(共18张PPT)
第4章 三角形
4.2 命题与证明
4.2.3 定理、推论
1. 理解定理、推论、逆定理、互逆定理的概念.
2.会对一个证明题进行分析，找到已知与求证之间的联系.
3.掌握几何语言书写证明过程的基本步骤与要求.
判一判：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数;
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
经过证明为真的命题叫作定理.
命题有真命题与假命题之分. 假命题用举反例来说明，真命题是通过证明来说明.
三角形的内角和等于180°
证明了它是真命题
三角形内角和定理
例如：
利用某个定理直接推导出的真命题叫作这个定理的推论.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
利用三角形的内角和定理证明了它是真命题
三角形内角和定理的推论
例如：
简称为“三角形外角定理”
外角还有其他的性质吗
探究：如图，在△ABC 中，已知∠BAC = 80°，∠ABC = 60°，∠BCA = 40°，∠ACE，∠CBD，∠BAF 是△ABC 的三个外角，问：这三个外角的和等于多少度？由此你能猜测出什么结论？
A
B
C
D
F
E
80°
60°
40°
解：因为∠ACE = 180°－40° = 140°，∠CBD = 180°－60° = 120°，
∠BAF = 180°－80° = 100°，
所以∠ACE +∠CBD +∠BAF =
140° + 120° + 100° = 360°.
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
已知：如图，∠BAF，∠CBD 和∠ACE 分别是△ABC 的三个外角.
求证：∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°.
A
B
C
D
F
E
猜测：三角形的三个外角之和等于 360°.
证明：如图：
所以 ∠BAF +∠CBD +∠ACE
= (180°－∠BAC) + (180°－∠ABC) + (180°－∠ACB)
= 540°－(∠BAC +∠ABC +∠ACB)
= 540°－180°
= 360°.
A
B
C
D
F
E
因为∠BAF = 180°－∠BAC，∠CBD = 180°－∠ABC，∠ACE = 180°－∠ACB，
推论：三角形的外角和等于 360°.
判一判：命题“两直线平行，同位角相等”是真命题吗？写出它的逆命题并判断真假.
解：原命题是真命题.
它的逆命题是“同位角相等，两直线平行”
逆命题是真命题.
总结：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就称它为原定理的逆定理，并将这两个定理称为互逆定理.
平行线的性质定理1
平行线的判定定理1
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.
说一说：命题“等角的补角相等”有没有逆定理？
这个逆命题正确，原定理有逆定理．
判断一个定理是否有逆定理
写出这个定理的逆命题
为真命题
为假命题
是原定理的逆定理
原定理没有逆定理
例1 证明：在一个三角形中有两个角相等，则与第三个角相邻的外角平分线平行于第三个角的对边，
分析：对于文字证明题，一般先画出图形，再写出已知、求证，然后进行证明.
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线.
求证：AE//BC.
证明：根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，∠CAD=∠B +∠C.
又∠B =∠C ，
于是∠CAD= 2∠B.
由于AE是∠CAD的平分线，
因此∠CAD=2∠DAE，
即∠B=∠DAE .
所以AE∥BC (同位角相等，两直线平行).
从而2∠B=2∠DAE，
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AE是外角∠CAD的平分线. 求证：AE//BC.
证明与图形有关的命题时的步骤：
第一步
根据题意
先根据命题的条件画出图形，将文字语言转换为符号（图形）语言
第二步
根据条件、结论
结合图形
第三步
定义、基本事实，
已有定理
进行证明
写出已知、求证
反证法是一种
重要方法
要点归纳
1.下列说法正确的是( )
A.真命题的逆命题是真命题 B.每个命题都有逆命题
C.每个定理都有逆定理 D.假命题没有逆命题
B
2.如图，已知直线 ， 都与直线 相交，有下列条件：
； ； ；
．其中，能得出结论 的是
___________．（填序号）
①②③④
3.下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来；如果没有，请举一个反例.
(1) 三角形的内角和等于180°；
(2) 如果a，b互为相反数，那么a + b = 0.
解：(1) 有逆定理，其逆定理为：如果一个多边形的内角和为180°，那么这个多边形为三角形；
(2) 有逆定理，其逆定理为：如果a + b = 0，那么a，b互为相反数.
4. 已知：如图，AB 与 CD 相交于点 E.
求证：∠A +∠C =∠B +∠D.
证明：因为 AB 与 CD 相交于点 E，
所以∠AEC =∠BED (对顶角相等).
又 因为∠A +∠C +∠AEC =∠B +∠D +∠BED = 180°
（三角形内角和定理），
所以∠A +∠C =∠B +∠D.
逆定理
推论
定理
举反例
基本事实
少数
假命题
真命题
证明
真命题
命题

展开更多......

收起↑