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哈三中 2025—2026 学年度上学期
高二学年期中考试 数学 试卷
考试说明：本试卷分第 I卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考
试时间 120分钟．
第Ⅰ卷 （选择题，共 58分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．直线 y 3x 2的倾斜角为
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．已知直线 l1 :mx 2y 2 0与直线 l2 :5x m 3 y 5 0，若 l1//l2，则m
A． 5 B．2 C．2或 5 D．5
3．有一散点图如图所示，在 5个 x, y 数据中去掉D 3,10 后，下列说法正确的是
A．解释变量 x与响应变量 y的线性相关性变弱 B．方差变大
C．决定系数 R 2 变小 D．残差平方和变小
6
2 2 4．已知 ax 的展开式系数和为729，则a的值为
x
A． 1 B．0 C．1 D． 2
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5．哈尔滨国际马拉松赛项目分为全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松．甲、乙、丙等
5名马拉松爱好者均计划参加哈尔滨国际马拉松赛，若每人只参加一个竞赛项目，且
甲和乙均参加迷你马拉松，这 5名马拉松爱好者的竞赛项目涵盖了三个竞赛项目，则
不同的参赛方案有
A．6种 B．12种 C．24种 D．18种
6．已知随机变量 X的分布列如下：
X 2 0 1 2
1 1
P m n
6 3
若 E(X ) 0，则D(3X 1)
7
A． B．7 C．21 D．22
3
7．在平面直角坐标系 xOy中，P x0 , y0 为第一象限内的动点且在直线 x y 3 0上，则
x0 (x0 1)
2 y20 的最小值为
4
A． B．1 C．2 D．3
5
8．为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，
分别抽取男生和女生各 50名作为样本，设事件 A "了解 deepseek"，B “学生为女
生”，据统计 P(A B)
3
，P(B A)
2
，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中
5 3
随机抽取 30名学生，设其中了解 deepseek的学生的人数为 X ，则当 P X k 取得
*
最大值时的 k k N 值为
A．14 B．13 C．12 D．11
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二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知直线 l1： 4x 3y 2 0， l2： m 2 x m 1 y 5m 1 0（m R），则
A．直线 l2过定点 2,3 B．当m 10时， l1 //l2
C．当m 1时， l1 l2 D．当 l1 //l2时，两直线 l1， l2之间的距离为 2
10．下列说法正确的是
A．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小
B．以模型 y cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z ln y，将其变换后得
到线性方程 z 3x 1，则 c,k的值分别是e,3
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归
直线方程为 y 0.4x a，若其中一个散点坐标为 ( a,5.4)，则 a 9
D．将两个具有相关关系的变量 x，y的一组数据 (x1, y1), (x2 , y2 ), , (xn , yn )调整为
(x1, y1 3), (x2 , y2 3), (xn , yn 3)，决定系数 R 2 不变
11．甲、乙两个口袋各装有 1个红球和 2个白球，这些球除颜色外完全相同，把从甲、
乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复 n次操作后，甲口
袋中恰有 0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件 An， Bn，Cn，则
A．P(B ) 5 B．1 P(AC )
8
1 3 9 243
C． P(A1 | B2 )
2
D． P(A B 55
3 1 2
)
81
第Ⅱ卷 （非选择题，共 92分）
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12．已知圆C : x2 y2 mx 1 0的面积为 π，则m ．
13．已知随机变量 ~ N 3, 2 ( 0)，若P( 1) 0.9，则P(3 5) ．
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14．已知直线 kx y 1 k 0 k R 2 2恒过定点 A，圆C : x 1 y 4上的两点

P x1, y1 , Q x2 , y2 满足 PA AQ R ，则 2x1 y1 6 2x2 y2 6 的
最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题, 共 77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.
15．已知 ABC的顶点 A 1,1 ,C 4,0 ，线段 AB的垂直平分线方程为 2x y 2 0．
(1) 求 ABC外接圆 E的标准方程；
(2) 若直线 l过点 P 2,0 ，且与圆 E相交截得弦长为8，求直线 l的方程．
16．某种产品 2020年到 2024年的年份代码 x与年利润 y（万元）的数据统计如下，
年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年
xi 1 2 3 4 5
yi 6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
(1)求 2020-2024年年份代码 xi 与 yi的样本相关系数（精确到 0.01）；
(2)求回归直线方程并预测该产品 2026年的年利润．
n
xi x yi y
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b i 1 n ，
xi x 2
i 1
a y b x．
n
xi x yi y
r i 1样本相关系数 n n ， 36.4 6．
x x 2 y y 2i i
i 1 i 1
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17．某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件
中抽查 100个零件，检验结果如下表所示：
一等品 非一等品 合计
甲机器 30 15
乙机器 45
合计
(1)完成列联表并依据小概率值 0.05的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一
等品与由哪台机器生产是否有关联；
(2)已知这批零件的内径 X（单位：mm）服从正态分布 N 200,36 ，若该车间又新购一台
机器，安装调试后，试生产了 5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，
198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据3
原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由．
2 n ad bc
2
附：参考公式： ，其中n a b c d．
a b c d a c b d
参考数据：
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
xa 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
若 X～N , 2 ，则 P X 0.6827， P X 2 0.9545，
P X 3 0.9973，0.99734 0.99．
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18．某自来水厂消毒系统原有 4台消毒装置，为确保饮用水微生物安全性，该自来水厂
进行了设备升级，又引进了 2台新型消毒装置. 据已有数据记录，原消毒系统对每个
大肠杆菌的灭活率均为 99.2%，新消毒系统对每个大肠杆菌的灭活率均为 99.8%，现
检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为 500个/升．
（1）若从该厂 6台消毒装置中随机选择 3台进行检测，记ξ为这 3台装置中新型装置
的台数，求ξ的分布列；
（2）经原消毒系统处理后，设一升水中大肠杆菌的个数为 X ，求 X 2的概率（结果
保留 3位小数）及 X的数学期望；
（3）经新消毒系统处理后，试用泊松分布近似计算，一升水中大肠杆菌个数不超出 2
个的概率（结果保留 3位小数）．
附：①泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见的离散型概率分布，是适合于
描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布. 若随机变量ξ的分布列为
P k
k
e ,k 0,1,2, ,（其中 e为自然对数），则称随机变量ξ服从泊松分布．
k !
②设 ~ B n, p ，当 p 0.05且 n 20时，二项分布可近似看成泊松分布．即
k
P k Ckn pk 1 p
n k e ，其中 E ．
k !
1
参考数据：0.992500 0.018，C5000.008 0.992
499 0.073 C2 0.0082 0.992498， 500 0.146，
e 2.72．
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19．组合恒等式是一类含有组合数的恒等式，其结构工整精美，是数学园林中的一组瑰
宝.其证明方法有很多，有构造计数模型法（算两次），构造函数法及数学归纳法等等.
请根据条件解决以下问题：
(1) m m 1 m 1求证：Cn Cn Cn 1 ；
n
(2)设 i n，求证： C j inC j C i n in2 ；
j i
(3) 0求证：Cm 3C
1
m 1 5C
2
m 2 （2n 1)C
n
m n (2m 1)C
m 2 C m 2m n 1 m n 2 ,
m,n N * ．
(提示：证明过程中，可能会用到以下公式：an bn (a b)(an 1 an 2b an 3b2 bn 1)，
a,b R,n N* )．
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哈三中 2025—2026 学年度上学期
高二学年期中考试 数学 答案
单选题
1-8 CADC BCDB
多选题
9AB 10BD 11ABD
填空题
12 2 2 13 0.4 14 1 7 5
解答题
2 2
15（1） (x 1) (y 4) 25
（2） x 2或7x 24y 14 0
16 (1) r 0.98
(2) y 0.59x 6.87 , 2.74 万元
100
17 (1) 2 3.030 3.841 ,无关
33
(2) P(Y 4) 0.013365是小概率事件，需要
18（1）
0 1 2
P 1 3 1
5 5 5
（2）0.237 ， 4
（3）0.919
19 略
高二数学 第 1 页 共 1 页

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