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2025北京密云初三（上）期中
数 学
2025.11
考 1.本试卷共 7 页，共 3 道大题，28 道小题，满分 100 分，考试时间 120 分钟.
生 2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号.
须 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作．图．必．须．使．用．2．B．铅．笔．.
知 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回.
一、选择题 （本题共 16 分，每小题 2 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一．个．选项是符合题意的.
1. 二次函数 y=(x-1)2-2 的最小值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
2. 如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸
片通过图形运动构成以下四个图形，这四个图形中是．中．心．对．称．图形的是（ ）
A． B． C． D．
3. 将抛物线 y=x2向下平移 4 个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A．y=x2+4 2 2 2 B．y=x -4 C．y=(x-4) D．y=(x+4)
4. 下列对一元二次方程 x2+2x+1=0 根的情况的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根
m 3
5. 已知反比例函数 y = 的图象在各自的象限内，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（ ）
x
A．m>3 B．m≠3 C．m<3 D．m=3
6. 如图，点 A、B、C、D、O 都在方格纸上，若△COD 是由
△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（ ）
A．45° B．90°
C．120° D．135°
︵ ︵ ︵ ︵
7．已知AB、CD是同圆的两段弧，且AB=2CD，则弦 AB 与 CD 之间的关系为（ ）
A．AB=2CD B．AB<2CD C．AB>2CD D．不能确定
8．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=m(x-3)2+k 与 x 轴交于（a，0），（b，0）两点，其中 a第1页/共11页
物线向上平移，与 x 轴交于（c，0），（d，0）两点，其中 cA．当 m>0 时，a+b=c+d，b-a>d-c B．当 m>0 时，a+b>c+d，b-a=d-c
C．当 m<0 时，a+b=c+d，b-a>d-c D．当 m<0 时，a+b>c+d，b-a二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，点（3，5）关于原点对称的点的坐标是 ．
10.一元二次方程 x(x-3)=0 的根为 ．
11. 已知某住宅小区要种植一个面积为 1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（m）随宽 x（m）的变化而变化，
根据题意列函数表达式为 ．
︵ ︵
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为直径，BC=CD．若∠A=50°，
则∠B= ．
12. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②当 x<0 时，y 随 x 的增大而增
大．
这个二次函数的表达式可以是 ．
13. 若一元二次方程 x2-5x+3=0 的两个根为 x1，x2，则 x1+x2= ，x1x2= ．
2
14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = (x 0) 的图象经过点 A
x
和点 B，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D，连接 OA，OB，则△OAC 与△OBD 的面积
之和为 ．
16. 已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（-1，0），对称轴为 x=1，与 y 轴
的交
点 B 在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：
① 抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0）；
② 点 C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上，且满足 x1y2；
③ 常数项 c 的取值范围是 2≤c≤3；
2
④ 系数 a 的取值范围是 1 a ．
3
上述结论中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题(本题共 68 分，其中 17-22 每题 5 分，23-26 每题 6 分，27、28 题每题 7 分)
17. 解方程：x2-4x+1=0．
18. 已知 m 是方程 x2+2x-5=0 的一个根，求代数式 (m+1)(m-1)+2(m+4) 的值．
19. 已知二次函数 y1=ax2+bx+3 的图象经过点 A（2，-1），B（1，0），与 y 轴交于点 C，与 x 轴另一交点交
于点 D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若一条直线 y2经过 C、D 两点，请利用图象直接写出 y1＞y2时，x 的取值范围．
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20. 下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程．
已知：锐角△ABC．
求作：△ABC 的三条高线的交点 P．
作法：
① 分别以点 B、点 C 为圆心，大于 1 BC 的长为半径作弧，两弧交于 D、E 两点（点 D 在直线 BC 上
2
方，点 E 在直线 BC 下方），作直线 DE 交 BC 于点 O；
② 以点 O 为圆心，OB 的长为半径作圆，分别交 AB、AC 于点 M、N；
③ 连接 BN、CM 交于点 P．
所以点 P 就是所求作的锐角△ABC 的三条高线的交点．
根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：由作法①可得：DE⊥BC 且 OB= ，
∵ 以点 O 为圆心，OB 的长为半径作圆，
∴ 点 C 在⊙O 上，
∴ BC 为⊙O 的直径，
∴ ∠BMC=∠BNC=90°（____________________），（填推理的依据）
∴ CM⊥AB，BN⊥AC，
∴ CM、BN 分别为△ABC 的 AB、AC 边上的高线，
∵ 锐角△ABC 的三条高线交于三角形内部一点，
∴ CM、BN 的交点 P 即为△ABC 的三条高线的交点．
1
21．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = x + b 的图象经过点 A（4，3），与
2
k
反比例函数 y = (k 0)图象的一个交点为 B（2，n）．
x
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点 P 在 x 轴上，且 PB=AB，直接写出点 P 的坐标．
22. 目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从 1
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月到 5 月的共享单车投放量如右图所示．求 2 月至 4 月共享单车投放量的月平均增长率．
23. 已知关于 x 的方程 x2-2x+m=0 有两个不相等的实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）任写出一个符合题意的 m 值，并求出此时方程的两个根．
24．已知 A、B、C、D 是⊙O 上的点，BD 为⊙O 直径，过点 D 作 BD 的垂线交 BC 延长
线于点 E．
（1）求证：∠E =∠A；
（2）若 AC∥DE，当 AB=10，AC=12 时，求⊙O 半径的长．
25．阅读理解，解决问题
小芳通过函数图象探究方程 x2+3x-1=0 的实数根时，想到了如下几种方法：
方法 1：方程 x2+3x-1=0 的根可以看作是抛物线 y=x2+3x-1 与直线 y=0（即 x 轴）交点的横坐标；
方法 2：将方程变形成 x2=-3x+1，那么方程 x2+3x-1=0 的根也可以看作是抛物线 y=x2与直线 y=-3x+1 交点
的横坐标；
方法 3：由于 x≠0，将方程变形成 1 ，那么方程 x2x + 3 = +3x-1=0 的根也可以看作是直线 y=x+3 与双曲线
x
1
y = 交点的横坐标.
x
她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程 x3-x-2=0 的实数根进行了探究.
下面是小芳的探究过程，请补充完成：
（1）x=0 方程 x3-x-2=0 的根；（填“是”或“不是”）
（2）方程 x3-x-2=0 的根可以看作是函数 与函数 的图象交
点的横坐标；
（3）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
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（4）观察图象可得：方程 x3-x-2=0 的实数根约为 ．（结果精确到 0.1）
26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx（a≠0）经过点 A（4，4a）．
（1）用含 a 的式子表示 b；
（2）过点 P（t，0）作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 y=ax 于点 N．
① 若 a=2，t=3，求 MN 的长；
② 已知在点 P 从点 O 运动到点 B（a，0）的过程中，MN 的长随 OP 的长的增大而增大，求 a 的取值范
围．
27．在等腰直角△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°．点 P 为直线 AB 上一个动点（点 P 不与点 A、B 重
合），连接 PC．点 D 在直线 BC 上，且 PD=PC．将线段 PC 绕点 P 顺时针旋转 90°后得到线段 PE，连接
BE．
（1）如图 1，当点 P 在线段 AB 上时，求证：∠ACP=∠DPB；
（2）如图 2，当点 P 在 BA 的延长线上，且 AP① 依题意补全图 2；
② 用等式表示线段 BC、BP、BE 之间的数量关系，并证明．
图1 图2
28．如图，点 P（x，y1）与 Q（x，y2）分别是两个函数图象 C1与 C2上的任意一点．当 a≤x≤b 时，有-
1≤y1-y2≤1 成立，则称这两个函数在 a≤x≤b 上是“近距函数”，否则称它们在 a≤x≤b 上是“非近距函
数”.
例如：点 P（x，y1）与 Q（x，y2）分别是两个函数 y=3x+1 与 y=2x-1 图象上的任意一点，当-3≤x≤-1
时，y1-y2 =(3x+1)-(2x-1)=x+2，通过构造函数 y=x+2 并研究它在-3≤x≤-1 上的性质，得到该函数值的范
围是-1≤y≤1，所以-1≤y1-y2≤1 成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1 上是“近距函数”.
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（1）判断函数 y=3x+2 与 y=2x+1 在-2≤x≤0 上是否为“近距函数”，并说明理由；
（2）若函数 y=x2-x 与 y=x-a 在 0≤x≤2 上是“近距函数”，求 a 的取值范围；
a
（3）若函数 y= 与 y=-2x +4 在 1≤x≤2 上是“近距函数”，直接写出 a 的最大值和最小值.
x
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参考答案
一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 D C B B A D B A
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
1000
9．（-3，-5）； 10．x1=0，x2=3； 11． ； 12．65y ；= x
13. y=-x2（答案不唯一，开口向下，对称轴在 y 轴及 y 轴右侧均可）；
14．5，3； 15．2； 16．①③④．
三、解答题（本题共 68 分．其中 17 ~22 题每题 5 分，23~26 题每题 6 分，27、28 题每题 7 分）
说明：与参考答案不同，但解答正确相应给分．
17. 解：x2-4x+1=0
x2-4x=-1 ………………………………1 分
x2-4x+22=-1+22 ………………………………2 分
(x-2)2=3 ………………………………3 分
x-2= 3
x = 2 + 3 ，x = 2 31 2 ………………………………5 分
18. 解：∵m 是方程 x2+2x-5=0 的一个根
∴m2+2m-5=0
m2+2m=5 ………………………………1 分
原式=m2-1+2m+8 ………………………………3 分
=m2+2m+7 ………………………………4 分
∵m2+2m=5
∴原式=5+7=12 ………………………………5 分
19.（1）解：∵y1=ax2+bx+3 的图象经过点 A（2，-1），B（1，0）
4a + 2b+3 = 1

a +b+3 = 0
∴可得 ………………………………2 分
a = 1

解得 b = 4
∴二次函数的表达式为 y =x21 -4x+3 ………………………………3 分
（2）x<0 或 x>3 ………………………………5 分
20.（1）
………………………………3 分
（2）OC ………………………………4 分
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直径所对的圆周角是直角 ………………………………5 分
1
y = x + b
21.（1）解： 2 经过点 A（4，3）
∴2+b=3
b=1
1
y = x +1
∴ 2 ………………………………1 分
∴点 B 的坐标为（2，2） ………………………………2 分
k
y =
∵ x 的图象经过点 B
∴k=4
4
y =
∴反比例函数的表达式为 x ………………………………3 分
（2）P(1，0)或 P(3，0) ………………………………5 分
22．解：设 2 月至 4 月共享单车投放量的月平均增长率为 x ……………………………1 分
3.2(1+x)2=7.2 ……………………………2 分
(1+x)2=2.25
1+x=±1.5
x1=0.5，x2=-2.5 ……………………………4 分
经检验，x=-2.5 不符题意舍去
∴x=0.5=50%
答：2 月至 4 月共享单车投放量的月平均增长率为 50%. ……………………………5 分
23．（1）解：∵方程 x2-2x+m=0 有两个不相等的实数根
∴△>0
4-4m>0 …………………………………1 分
m<1 …………………………………2 分
（2）解：当 m=0 时 （此问答案不唯一） …………………………………3 分
x2-2x=0
x(x-2)=0 …………………………………4 分
x1=0，x2=2 …………………………………6 分
24. （1）证明：连接 CD
∵BD 为⊙O 直径
∴∠BCD=90
∴∠DBC+∠BDC=90 ………………………1 分
∵BD⊥DE
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∴∠BDE=90
∴∠DBC+∠E=90 …………………………………2 分
∴∠BDC=∠E
∵∠BDC=∠A
∴∠E =∠A …………………………………3 分
（2）解：连接 OA
∵AC∥DE
∴∠BHC=∠BDE=90
∴BD⊥AC
∵BD 为⊙O 直径，AC=12
∴AH=6 ………………………………4 分
在 Rt△AHB 中，AB=10，
∴BH=8 ………………………………5 分
设⊙O 的半径为 x，OH=8-x
∵OH2+AH2=OA2
∴(8-x)2+62=x2
25
x =
4
25
∴⊙O 的半径为 4 ………………………………6 分
25．（1）不是 ………………………………1 分
2
y =
（2）y=x2-1， x （此问答案不唯一） ………………………………3 分
（3）略 ………………………………5 分
（4）x≈1.5 ………………………………6 分
26．（1）解：∵抛物线 y=ax2+bx 经过点 A（4，4a）
∴16a+4b=4a
∴b=-3a ………………………………1 分
（2）①解：若 a=2，则抛物线的表达式为 y=2x2-6x，直线的表达式为 y=2x.
当 t=3 时，则 P(3，0)
将 x=3 代入 y=2x2-6x，可得 y=2×32-6×3=0，即 M(3，0)
将 x=3 代入 y=2x，可得 y=2×3=6，即 N(3，6)
∴MN=6 ………………………………3 分
②解：设点 M(t，y1 )，N(t，y2)
则 y1=at2-3at，y2=at
∴ y1-y =at22 -4at=at(t-4)
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(i) 当 a>0 时，有 0≤t≤a
当 0∴ MN=y2-y 21=-at +4at ………………………………4 分
∵函数 y=-ax2+4ax 的图象开口向下，对称轴为 x=2
当 x≤2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>2 时，y 随 x 的增大而减小
∴02 时不符合题意
∴0(ii)当 a<0 时，有 a≤t≤0.
当 t<0 时，y1-y2<0.
∴ MN=y 22-y1=-at +4at
∵函数 y=-ax2+4ax 的图象开口向上，对称轴为 x=2
当 x<2 时，y 随 x 的增大而减小
∴当 t<0 时，MN 的长随 t 的增大而减小，即 MN 的长随 OP 的长的增大而增大.
∴a<0 符合题意
综上所述，a 的取值范围是 a<0 或 027.（1）证明：在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°
∴∠ACP+∠BCP=45°，∠D+∠DPB=45°
∵PD=PC …………………… 1 分
∴∠D=∠BCP
∴∠ACP=∠DPB ………………………………2 分
（2）①
………………………………3 分
② BC+BE= 2 BP ………………………………4 分
证明：过点 P 作 BP 的垂线交 BC 延长线于点 H
∴∠BPH=90°
∵∠ABC=45°
∴∠H=45°
∴BP=HP ………………………………5 分
∵线段 PC 绕点 P 顺时针旋转 90°得到线段 PE
∴∠EPC=90°，PE=PC
∴∠EPC-∠BPC=∠BPH-∠BPC
即∠EPB=∠CPH
∴△EPB △CPH ………6 分
∴BE=CH
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∵在 Rt△BPH 中，BH= 2 BP ………………………………7 分
∴BC+BE= 2 BP
28.（1）解：是“近距函数”. ………………………………1 分
y1-y2=(3x+2)-(2x+1)=x+1，构造函数 y=x+1
∵y=x+1 在-2≤x≤0 上随着 x 的增大而增大
∴当 x=0 时，函数有最大值为 1
当 x=-2 时，函数有最小值为-1，即-1≤y≤1
∴-1≤y1-y2≤1. ………………………………2 分
即函数 y=3x+2 与 y=2x+1 在-2≤x≤0 上是“近距函数”.
（2）解：y1-y2=(x2-x)-(x-a)=x2-2x+a，构造函数 y=x2-2x+a
∵y=x2-2x+a=(x-1)2+(a-1)
∴顶点坐标为（1，a-1）
又∵抛物线 y=x2-2x+a 开口向上
∴当 x=1 时，函数有最小值 a-1，
当 x=0 或 x=2 时，函数有最大值 a，即 a-1≤y≤a，
∵函数 y=x2-x 与 y=x-a 在 0≤x≤2 上是“近距函数”
∴-1≤y1-y2≤1
a 1,

即 a 1 1. ………………………………4 分
∴0≤a≤1. ………………………………5 分
（3）a 的最大值是 2，a 的最小值 1. ………………………………7 分
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