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微专题9　角平分线常见问题及辅助线作法
类型1　相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点 过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论 点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,则△QOP为等腰三角形
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.若AB=4,AC=5,则△ADE的周长为( )
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,若EC=1,则OF= .
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:点F在BE的垂直平分线上.
类型2 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
特点 过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段,得到垂线段相等
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,∴PB=PA,∴Rt△AOP≌Rt△BOP
4.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
5.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF= .
6.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(不需证明)
(2)如图③,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
类型3　相遇角平分线的垂线,联想“三线合一”
特点 从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”解题
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
7.如图,已知D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=9,BC=5,则CD的长为( )
A.2 B.4 C. D.5
8.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为 cm2.
9.如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D,过B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=2BE.
类型4　相遇非特殊线段,联想全等(截长补短)
特点 在角的平分线的两边上截长补短,构造全等三角形
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA
10.在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,∠C=2∠B,AB-BE=,则DE= .
11.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,
求证:AB=AC+CD.
12.已知四边形ABDC,AC∥BD,点E在CD上,AE平分∠CAB,BE平分∠DBA.
求证:(1)AB=AC+BD;
(2)AE⊥BE.微专题9　角平分线常见问题及辅助线作法
类型1　相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点 过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论 点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,则△QOP为等腰三角形
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.若AB=4,AC=5,则△ADE的周长为(B)
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,若EC=1,则OF=　2　.
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:点F在BE的垂直平分线上.
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵∠C=36°,∴∠ABC=36°,
∵BD=CD,AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BAD=90°-36°=54°.
(2)∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∵EF∥BC,∴∠FEB=∠CBE,
∴∠FBE=∠FEB,∴FB=FE.
∴点F在BE的垂直平分线上.
类型2 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
特点 过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段,得到垂线段相等
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,∴PB=PA,∴Rt△AOP≌Rt△BOP
4.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(B)
A.24 B.30 C.36 D.42
5.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=　4　.
6.如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(不需证明)
(2)如图③,在△ABC中,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
【解析】如图所示:
(1)FE=FD;
(2)结论成立.证明如下:
如图,过点F作FG⊥AB于G,作FH⊥BC于H,作FK⊥AC于K,
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴FG=FH=FK,在四边形BGFH中,∠GFH=360°-60°-90°×2=120°,
∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,∠B=60°,
∴∠FAC+∠FCA=(180°-60°)=60°,
在△AFC中,∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-60°=120°,
∴∠EFD=∠AFC=120°,
∴∠EFG=∠DFH,
在△EFG和△DFH中,,
∴△EFG≌△DFH(ASA),∴FE=FD.
类型3　相遇角平分线的垂线,联想“三线合一”
特点 从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”解题
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
7.如图,已知D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=9,BC=5,则CD的长为(C)
A.2 B.4 C. D.5
8.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为　2　 cm2.
9.如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D,过B作BE⊥AD,垂足为E,求证:AD=2BE.
【证明】延长BE和AC后相交于点M,如图所示,
∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,
又∵AD是∠CAB的平分线,
∴∠MAE=∠BAE,
又∵BE⊥AD,∴∠AEB=∠AEM=90°,
在△AME和△ABE中,,
∴△AME≌△ABE(ASA),
∴BE=ME,∴BM=2BE,
又∵∠ACB=90°,∴∠ADC+∠DAC=90°,
又∵∠BDE+∠DBE=90°,∠ADC=∠BDE,
∴∠DAC=∠MBC,
在△ACD和△BCM中,,
∴△ACD≌△BCM(ASA),
∴AD=BM,∴AD=2BE.
类型4　相遇非特殊线段,联想全等(截长补短)
特点 在角的平分线的两边上截长补短,构造全等三角形
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA
10.在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,∠C=2∠B,AB-BE=,则DE= 　.
11.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,
求证:AB=AC+CD.
【证明】在AB上取点E,使得AE=AC,
在△AED和△ACD中,,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE,
∴∠B=∠BDE,
∴BE=DE,
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.
12.已知四边形ABDC,AC∥BD,点E在CD上,AE平分∠CAB,BE平分∠DBA.
求证:(1)AB=AC+BD;
(2)AE⊥BE.
【证明】(1)在AB上取一点F,使AF=AC,连接EF.
∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,
∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD.
∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°,
在△ACE和△AFE中,
,
∴△ACE≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE,
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠D,
在△BEF和△BED中,,
∴△BEF≌△BED(AAS),
∴BF=BD,
∵AB=AF+BF,∴AB=AC+BD;
(2)∵△ACE≌△AFE,
∴∠CEA=∠FEA,
∵△BEF≌△BED,
∴∠FEB=∠DEB,
∵∠CEA+∠FEA+∠FEB+∠DEB=180°,∴∠FEA+∠FEB=90°,∴AE⊥BE.

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