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8.2.1 几个函数模型的比较
1.理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义.
2.能对比、归纳出指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异，并解决一些简单问题.
指数爆炸
直线上升
对数增长
生活中，你听说过这些词语吗？它们与我们学过的哪些函数有关？
做一做：
(1) 用计算器或计算机计算下列各值：
1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994
猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?
?
解：（1）1.012＝1.0201， 0.992＝0.9801，
1.013＝1.030301 0.993＝0.970299，
1.014＝1.04060401， 0.994＝0.96059601
1.01365≈37.8， 0.99365≈0.03
?
做一做：
(2) 1.12，1.13，1.14，0.92，0.93，0.94
猜测一下，1.1100大概是多少?0.9100大概是多少?
?
（2） 1.12＝1.21， 0.92＝0.81
1.013＝1.030301， 0.993＝0.970299，
1.014＝1.04060401， 0.994＝0.96059601.
1.1100≈13 781， 0.9100≈2.656×10－5
直观感受数字的冲击！
指数函数 ????＝????????(????＞0且????≠1)随着????的增大
????＞1时
????______，且增大的速度越来越_____，
呈“______”的趋势
0＜????＜1时
????_______，并逐步趋向于______
增大
快
爆炸
减小
0
指数变化
要点归纳
x
y
o
1
x
y
o
1
想一想：我们还学过哪些具有增长趋势的函数呢？它们的增长速率又是怎么样的？
这三种函数模型在0，+∞都是增函数，接下来我们借助具体函数直观比较比较它们的增长速率
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
????＝????????(????＞0)
????＝????????(????＞1)
????＝????????????????????(????＞1)
图象
在(0，+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}函数
图象
在(0，+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
试一试1：以指数函数 ????=2???? 和一次函数????=2????为例作图,探索它们在区间[0,+∞)上的增长差异，并进行描述.
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往后????=2????增长速度越来越快；
????=2???? 增长速度不变
?
增长速度一致
?????0，使????>????0时，????????>????????恒成立
(????>1,????>0)
?
????>4时，2????>2????恒成立
?
指数函数????=???????? (????>1)与一次函数????=???????? (????>0)的增长情况比较：
?
指数函数增长速度最终都会大大超过一次函数。
指数函数呈
爆炸型增长
????=????????????
?
????=????????????????
?
试一试2：以对数函数????=????????????和一次函数????=110????为例,探索它们在区间(0,+∞)上的增长差异，并进行描述.
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????=????????????增长速度越来越慢
????=110????增长速度不变
?
????>10时，110????>lg????恒成立
?
说一说：仔细观看以下视频，总结出一次函数y=kx(k>0)，对数函数y=logax
(a>1)和指数函数y=bx(b>1)之间的增长差异.
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①????=????????(????>0)的图象在(0,+∞)上
匀速上升；
②????=????????????????????(????>1)的图象在(0,+∞)上
增长得越来越慢；
③????=????????(????>1)的图象在(0,+∞)上
增长得越来越快.
?
????=????????(????>0)
?
????=????????(????>????)
?
????=????????????????????(????>????)
?
三种函数模型的比较
知识归纳
1.当????越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是（ ）
????.????=2025???? ????.????=????2025
????.????=????????????2025???? ????.????=2025????
?
????
?
2.若x∈（0,1）,则下列结论正确的是( )
????
?
3.“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）
A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t
C. 幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2
?
????
?
4.若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是
____________________.
解：由指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势，可知当x足够大时，
有ax>xn>logax.
ax＞xn＞logax
5.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y=0.2x，y=log5x，y=1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
?
解：作出三个函数的图象，由图可知，在区间[5,60]上，????=0.2????，????=1.02????的图象都有一部分在直线????=3的上方，只有????=????????????5????的图象始终在????=3
和????=0.2????的下方，这说明只有按模型????=????????????5????
进行奖励才符合学校的要求.
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本节课你学到了哪些函数模型？它们增长趋势有何特点？

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