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8.1.2 用二分法
求方程的近似解
1.通过求具体方程的近似解了解二分法.
2.根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解.
问题1：受台风影响，某地出现了暴雨并伴有大风天气，造成了一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？
设出现故障线路的起点和终点分别为A、B，
A
B
取中点
这种解决问题的方法就是运用了“二分法”的思想.
解：y=lnx+2x-6=0，可以等价变形为lnx= -2x+6，
在同一直角坐标系内作出函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
问题2：结合上节课所学，对于函数f(x)=lnx+2x-6，如何快速判断它是否有零点以及零点所在的区间呢？
数形结合法
在(2，3)内一定有零点
想一想：函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个零点的值究竟是多少？ 是否可以通过“二分法”的思想求出它的近似值呢？
对于一个函数，已知零点所在区间[a，b]，取其中点 c ，计算f(c)，
①如果f(c)=0，那么 c 就是函数的零点；
②如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可由零点存在性定理判断零点是在（a，c)内，还是在（c，b)内，
从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
当零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为零点的近似值。为了方便，常把区间的一个端点作为零点的近似值.
“二分法”的思想：
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2，3)
2.5
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5，3)
2.75
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5，2.75)
2.5
2.5
2.75
2.625
2.5
2.625
……
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5，2.625)
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5，2.5625)
x0∈(2，3)
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
注意：只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
二分法的概念
要点提炼
练1.下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( )
ABC
练2.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
D
练一练
例1 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1).
解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
①观察函数图象和上表，f(1)·f(2)<0，可知零点在(1，2)内，
②取区间(1，2)的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，
∵f(1)·f(1.5)<0，∴x0 ∈(1，1.5)，
③取区间(1，1.5)的中点x2=1.25 ，f(1.25)≈-0.87，
∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴x0∈(1.25，1.5)，
④同理可得x0∈(1.375，1.5)，
⑤同理可得x0∈(1.375，1.437 5)，
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，满足精确度
所以，原方程的近似解可取区间端点值为1.437 5.
例1 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1).
归纳总结
二分法求函数y=f(x)零点近似值的步骤：
(1) 确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a，b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))；
(4) 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
练3. 利用计算器，求方程 sinx=1- x的近似解.（精确到0.1）
解：画出 y=sin x 及 y=1 -x 的图象，
观察图象得，方程 sinx=1- x有唯一解，
记为x，且这个解在区间（0，1）内.

设 f (x)=sinx+x-1
练一练
因为0.5，0.53125精确到0.1的近似值都为0.5，所以原方程的近似解为x1≈0.5 .
根所在区间
区间端点函数值符号
中点值
中点函数值符号
（0，1）
f(0)<0，f(1)>0
0.5
f(0.5)<0
（0.5，1）
f(0.5)<0，f(1)>0
0.75
f(0.75)＞0
（0.5，0.75）
f(0.5)<0，f(0.75)>0
0.625
f(0.625)＞0
（0.5，0.625）
f(0.5)<0，f(0.625)>0
0.5625
f(0.5625)＞0
（0.5，0.5625）
f(0.5)<0，f(0.5625)>0
0.53125
f(0.53125)＞0
（0.5，0.53125）
f(0.5)<0，f(0.53125)>0
回顾本节课，回答下列问题：.知识清单：
(1)二分法的定义.
(2)如何利用二分法求函数的零点、方程的近似解？
当堂检测
1.用二分法求方程ln x-1????=0在[1，2]上的根时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为(　　)
A.(1，1.25) B.(1，1.5) C.(1，2) D.(1.5，2)
2.用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______.
?
D
(1，2)
当堂检测
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:


那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)
A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5
A
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162
f(1.406 25)=-0.054

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