资源简介

8.1.1 函数的零点
1.了解函数的零点、方程的解与图象与x轴的交点三者之间的联系.
2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.
3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.
一般地，一元二次方程????????????+????????+????=????????≠????的根就是二次函数????=????????????+????????+????????≠????当函数值取零时 的值，即二次函数????=????????????+????????+????????≠????的图象与????轴的交点的 ，也称为二次函数????=????????????+????????+????????≠????的零点．
?
横坐标
自变量x
二次函数的零点：
注意：零点不是点，是个实数.
二次函数
y=ax2+bx+c的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
二次函数
y=ax2+bx+c的零点
有何关系？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
?>????
?=????
?????=????????????+????????+????
(????>????)的图象
????????????+????????+????=????
(????>????)的根
????????，????=?????±?????????
????????=????????=?????????????
没有实数根
????=????????????+????????+????
(????>????)的零点
????????，????=?????±?????????
????????=????????=?????????????
没有零点
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
没有实数根
没有零点
二次函数的零点能推广到一般函数吗？如何求函数零点呢？
1.函数的零点
(1)概念：一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为____的实数x称为函数
y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程根的关系.
0
f(x)＝0
横坐标
说一说1：函数图象如下，则其零点为____________.
说一说2：对于以下函数如何快速判断它们是否存在零点?
（1）????????=?????????????; （2）????????=?????????????;
（3）????????=?????????????????; （4）????????=????????+????;
?
????? , ???? , ????
?
画出函数图象，观察它们的图象与x轴是否有交点.
（1）????????=?????????????; （2）????????=?????????????;
（3）????????=?????????????????; （4）????????=????????+????;
?
????????=?????????????
?
????????=?????????????
?
????????=?????????????????
?
????????=????????+????
?
【答案】（1）（2）（3）存在零点.
试一试：观察两个零点所在区间，以及这个区间内函数图象与????轴的关系，你能用????????的取值刻画这种关系吗？
?
????
?
b
????
?
b
????
?
b
????，????上图象连续不断，且“穿过”????轴，?????????????????
若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且_____________，
则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.
不间断
f(a)f(b)<0
2.函数零点存在定理：
理解定理，判断正误：
(1)f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.
(2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.
(3)若y=f(x)满足f(a)·f(b)>0，则区间(a，b)内必无零点.
(4)f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内只有一个零点.
×
×
×
×
函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的；
2 定理不可逆；
3 至少存在一个零点.
1.(多选)下列图象对应的函数有零点的是（ ）
有两个零点
ACD
没有零点
有一个零点
有四个零点
练一练
例1 证明：函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)上存在零点.
证明： 因为f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=3＜0，
f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1＞0，
且函数f(x)在区间[-2,-1]上的图象是不间断的，
所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点.
例2 求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.
证明：法一　∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，
∴f(x)有两个零点为－2，1.
故f(x)至少有一个零点.
法二　由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，
又∵f(x)的图象在[－3，0]上不间断，
∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点.
故f(x)至少有一个零点.
判断函数f(x)在所给区间上是否有零点的常用方法:
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否不间断，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
方法归纳
2.（1）f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是（ ）
A.(－2，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，2)
解：法一　∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
f(x)在R上的图象不间断，
∴f(x)在(0，1)内有零点.
C
练一练
法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，
∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间.
在同一平面直角坐标系内画出y＝ex和y＝2－x的图象，如图，
由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间为(0，1).
∴f(x)在(0，1)内有零点.
（2）由表格中的数据，可以断定方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间是（ ）
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
3x＋2
2
5
8
11
14
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
解：设f(x)＝ex－3x－2，则f(x)在R上的图象不间断.
由题表知f(0)，f(1)，f(2)均为负值，f(3)，f(4)均为正值，
因此方程ex－3x－2＝0的一个根所在的区间为(2，3).
C
练一练
本节课你学到了哪些知识与方法？
1.函数零点的概念.
2.函数零点与方程的根的关系.
3.函数零点存在性定理.
1.下列各图象表示的函数中没有零点的是(　　)
D
2.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A.方程f(x)＝0一定有一实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
C
解：易判断f(x)在(0，＋∞)上递增，
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，e) D.(e，3)
( )
3.
D
4.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个.
解：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
3
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
故零点有3个.

展开更多......

收起↑