资源简介

10.2实数
【题型1】无理数的定义 5
【题型2】无理数的估算 5
【题型3】无理数估算的应用 6
【题型4】实数的概念与分类 7
【题型5】实数与数轴 8
【题型6】实数的性质 9
【题型7】利用估算比较实数大小 9
【题型8】利用数轴比较实数的大小 10
【题型9】作差法比较实数的大小 11
【题型10】实数的运算 11
【题型11】根据运算程序计算 11
【题型12】新定义运算 13
【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春 新会区校级月考）在下列实数，，，-3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数： 1.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A．B．C．D．
2.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（　　） A．B．C．D．
【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025 宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2.（2025 市北区校级模拟）-的倒数是（　　） A．B．-C．-D．-2
【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 铁西区校级月考）如图，数轴上点C所表示的数是（　　） A．B．3.7C．3.8D．
【知识点5】实数大小比较 实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 阳新县校级月考）在-1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．-1B．0C．1D．
【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春 岳阳楼区期末）估计在哪两个整数之间（　　） A．1～2B．2～3C．3～4D．4～5
【知识点7】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025春 红桥区期中）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　）
A．B．1C．3D．-1
2.（2025 杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b= ，则a+b的值为（　　） A．2B．4C．6D．8
【题型1】无理数的定义
【典型例题】在0，，0.，，3.1415，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）中，无理数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A.a+b B.ab C. D.
【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________．
【举一反三3】已知实数x、y满足关系式|y2﹣9|＝0．
（1）求x、y的值；
（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．
【题型2】无理数的估算
【典型例题】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】若，且m为整数，则m的值是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则（　　）
A.32 B.46 C.64 D.65
【举一反三3】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________．
【举一反三4】先阅读材料，后解答问题：∵，即，∴在比小的所有整数中，2为其中最大的整数．若规定不超过实数m的最大整数记为[m]，则有．
（1）计算：①_________；②_________；③_________；
（2）若，直接写出符合条件的所有整数解．
【题型3】无理数估算的应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　）
A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0
【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_________．
【举一反三4】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）．
【举一反三5】小明将一个长为10 cm，宽为8 cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．
【举一反三6】如图，有一个面积为400 cm2的正方形．
（1）正方形的边长是多少？
（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．
【题型4】实数的概念与分类
【典型例题】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（　　）
A.4 B.2 C.0 D.﹣2
【举一反三1】下列为正数的是（　　）
A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5）
【举一反三2】已知a，b均属于同一类数，a+b不一定属于该类数，则这类数可以是（　　）
A.正有理数 B.负实数 C.整数 D.无理数
【举一反三3】了解无理数与实数的概念
（1）_________小数叫做无理数；
（2）有理数和_________统称为实数．
【举一反三4】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号）
【举一反三5】把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．
（1）负数集合{ _________…}；
（2）有理数集合{ _________…}；
（3）无理数集合{ _________…}．
【题型5】实数与数轴
【典型例题】与数轴上的点一一对应的是（　　）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（　　）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是_________．
【举一反三3】如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p.
（1）求AB的长；
（2）求p；
（3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数．
【题型6】实数的性质
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3
【举一反三1】的绝对值是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________．
【举一反三3】已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x的值．
【举一反三4】已知|x|，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
【题型7】利用估算比较实数大小
【典型例题】四个实数π，6，，中，最大的无理数是（　　）
A.π B.6 C. D.
【举一反三1】已知，则a与b的大小关系是（　　）
A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定
【举一反三2】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】比较大小：____________．
【举一反三4】阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）____________；
（2）当时，求x的取值范围．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　）
A.a B.b C.c D.d
【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接）
【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示．
（1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：____________；
负数：____________．
【举一反三4】在同一个数轴上分别作出以下各数所对应的点：，0，﹣1.5，；并用“＜”连接各数．
【题型9】作差法比较实数的大小
【典型例题】若M，N，则M，N的大小关系是（　　）
A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较
【举一反三1】5，2，2的大小关系是（　　）
A.225 B.522 C.252 D.522
【举一反三2】比较大小：____________．
【举一反三3】比较实数与的大小．
【题型10】实数的运算
【典型例题】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（　　）
A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A.5 B.1 C.22 D.2
【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝____________．
【举一反三3】计算：．
【题型11】根据运算程序计算
【典型例题】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　）
A.0.5 B.2 C. D.
【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　）
A.﹣6 B.6 C. D.
【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A. B. C.2 D.3
【举一反三3】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A. B. C.2 D.3
【举一反三4】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　）
A.﹣6 B.6 C. D.
【题型12】新定义运算
【典型例题】定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（　　）
A.4 B. C.﹣4 D.
【举一反三2】若对于实数x、y定义一种新运算：，则（4 8） 2＝____________．
【举一反三3】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为____________．
【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．
例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．10.2实数
【题型1】无理数的定义 8
【题型2】无理数的估算 9
【题型3】无理数估算的应用 11
【题型4】实数的概念与分类 14
【题型5】实数与数轴 16
【题型6】实数的性质 18
【题型7】利用估算比较实数大小 19
【题型8】利用数轴比较实数的大小 21
【题型9】作差法比较实数的大小 23
【题型10】实数的运算 25
【题型11】根据运算程序计算 25
【题型12】新定义运算 28
【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春 新会区校级月考）在下列实数，，，-3.1415，，1.212212221…（相邻两个1之间一次多一个2）中，无理数的个数为（　　） A．1B．2C．3D．4
【答案】B 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，，
∴无理数有：，1.212212221…，共2个，
故选：B． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数： 1.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（　　） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断． 【解答】解：∵=2，∴是有理数，
，，都不能化去根号，∴是无理数，
∴有理数有．
故选：B． 2.（2025 姜堰区二模）在下列实数中，有理数是（　　） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数． 【解答】解：A、是无限不循环小数，是无理数；
B、是无限不循环小数，是无理数；
C、=2，是有理数；
D、是无限不循环小数，是无理数．
故选：C． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025 宁波模拟）有理数-2025是2025的（　　） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项分析判断如下：
A、∵-2025×2025≠1，
∴-2025不是2025的倒数，故此选项不符合题意；
B、∵-2025与2025互为相反数，
∴-2025是2025的相反数，故此选项符合题意；
C、∵2025的绝对值是2025，
∴-2025不是2025的绝对值故此选项不符合题意；
D、∵2025的平方根是±45，
∴-2025不是2025的平方根，故此选项不符合题意；
故选：B． 2.（2025 市北区校级模拟）-的倒数是（　　） A．B．-C．-D．-2
【答案】B 【分析】直接利用算术平方根化简，再利用倒数的定义得出答案． 【解答】解：∵-=-2，
∴-的倒数是：-．
故选：B． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 铁西区校级月考）如图，数轴上点C所表示的数是（　　） A．B．3.7C．3.8D．
【答案】D 【分析】根据勾股定理求出OB的长，得出，即可得出数轴上点C所表示的数是． 【解答】解：∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°，
∴，
∴，
故D正确．
故选：D． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 阳新县校级月考）在-1，0，1，这四个数中，最小的数是（　　） A．-1B．0C．1D．
【答案】A． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-1＜0＜1＜，
∴最小的数是：-1．
故选：A． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春 岳阳楼区期末）估计在哪两个整数之间（　　） A．1～2B．2～3C．3～4D．4～5
【答案】C 【分析】由于32=9，42=16，由此可得的近似范围，然后分析选项可得答案． 【解答】解：由于32=9，42=16；
可得3＜＜4；
故选：C． 【知识点7】实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1.（2025春 红桥区期中）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　）
A．B．1C．3D．-1
【答案】C 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：若开始输入x的值为-，
∵-＜-1，
∴y=（-）2+1=2+1=3，
故选：C． 2.（2025 杭州开学）a,b为有理数，且满足等式a+b= ，则a+b的值为（　　） A．2B．4C．6D．8
【答案】B 【分析】利用完全平方公式将逐步化简为（+1），代入等式得出a+b=3+，从而得出答案． 【解答】解：∵===+1，
∴=====（+1），
则 =×（+1）=（+1）=3+，
∴a+b=3+，
则a=3，b=1，
∴a+b=4，
故选：B．
【题型1】无理数的定义
【典型例题】在0，，0.，，3.1415，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）中，无理数有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】，0.6060060006…（每两个6之间多一个0）是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，
故选：B．
【举一反三1】已知a是有理数，b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（　　）
A.a+b B.ab C. D.
【答案】A
【解析】a是有理数，b是无理数，则a+b必定为无理数；
当a＝0时，ab、，均为有理数．
故选：A．
【举一反三2】假设m，n都是无理数，且满足m+n＝3．请写出满足以上条件的一组值m＝_________，n＝_________．
【答案】3+π，﹣π（答案不唯一）
【解析】m，n都是无理数，且满足m+n＝3，
则满足条件的一组值m＝3+π，n＝﹣π．
故答案为：3+π，﹣π（答案不唯一）．
【举一反三3】已知实数x、y满足关系式|y2﹣9|＝0．
（1）求x、y的值；
（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．
【答案】解：（1）由题意，得 解得或；
（2）当x＝2，y＝3时，3是有理数，
当x＝2，y＝﹣3时，是无理数．
【题型2】无理数的估算
【典型例题】已知2的整数部分等于a，则a等于（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】∵16＜17＜25，
∴，
∴，
∴2的整数部分为2，即a＝2．
故选：C．
【举一反三1】若，且m为整数，则m的值是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】∵9＜11＜16，
∴，
∴m＝3．
故选：C．
【举一反三2】设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则（　　）
A.32 B.46 C.64 D.65
【答案】D
【解析】∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），
∴；
；
；
；
，
∴
＝1×2+2×4+3×6+4×8+5
＝2+8+18+32+5
＝65，
故选：D．
【举一反三3】设n为整数，若介于n和n+1连两个整数之间，则n的值为_________．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵介于n和n+1连两个整数之间，
∴n＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】先阅读材料，后解答问题：∵，即，∴在比小的所有整数中，2为其中最大的整数．若规定不超过实数m的最大整数记为[m]，则有．
（1）计算：①_________；②_________；③_________；
（2）若，直接写出符合条件的所有整数解．
【答案】解：（1）①∵，即5，
∴[]＝5，
故答案为：5；
②∵3，
∴﹣4，
∴6，
∴[10]＝6，
故答案为：6；
③∵4，
∴﹣5，
∴[]＝﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）∵，即5，
∴[]＝5，
∴，
∴﹣5＜x＜5，
∴满足﹣5＜x＜5的所有整数解有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．
【题型3】无理数估算的应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】由题意可得t，
∵82＝64，8.52＝72.25，
∴88.5，
即该物体所经过的时间秒数与8接近，
故选：C．
【举一反三1】如图，用面积为16的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（　　）
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】C
【解析】由题意得，大正方形的面积为：16×2＝32，
∴大正方形的边长为，
∵，
∴5.56，
∴大正方形的边长最接近的整数是6，
故选：C．
【举一反三2】若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（　　）
A.5.0＜a＜5.2 B.5.2＜a＜5.5 C.5.5＜a＜5.7 D.5.7＜a＜6.0
【答案】B
【解析】∵边长为a正方形的面积为30，
∴边长a，
∵52＝25，62＝36，而25＜30＜36，
∴56，
∵5.52＝30.25＞30，5.42＝29.16＜30，
∴5.45.5，
故选：B．
【举一反三3】如图，正方形的面积为12，则与该正方形的边长最接近的整数是_________．
【答案】3
【解析】∵正方形的面积为12，
∴正方形的边长为，
∵9＜12＜16，
∴34，
∵9＜12＜12.25，
∴33.5，
∴最接近的整数为3．
故答案为：3．
【举一反三4】有一块面积为79 cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54 cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答：_________（填能或不能）．
【答案】不能
【解析】设长方形的长宽分别为3x，2x，由题意可得：
3x 2x＝54，
解得x＝3或﹣3（舍去），
长为3x＝9，
∵9，
∴不能．
【举一反三5】小明将一个长为10 cm，宽为8 cm的长方形纸片按与边平行的方向进行裁剪，裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2，小明能否裁剪出这两个正方形？若能，请说明理由并求出这两个正方形的面积；若不能，也说明理由．
【答案】解：不能，理由如下：
设较大的正方形的边长为4x，则较小的正方形的边长为3x，
由于两个正方形的面积和为75 cm2，
所以有16x2+9x2＝75，
解得x，
即大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为3cm，
因为43710，
所以不能裁剪出两个大小不一的正方形，使它们的边长之比为4：3，面积之和为75 cm2．
【举一反三6】如图，有一个面积为400 cm2的正方形．
（1）正方形的边长是多少？
（2）若沿此正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长与宽；若不能，试说明．
【答案】解：（1）∵正方形的面积为400 cm2，
∴正方形的边长是20（cm）；
（2）设长方形纸片的长为5x cm，宽为4x cm，
则5x 4x＝360，
解得：x＝3，
则5x＝1520，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为360 cm2．
【题型4】实数的概念与分类
【典型例题】我们把M＝（1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（x必然存在），互异性（三个数互不相等，如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合B＝{x，xy3，}，若A＝B，则x+y的值是（　　）
A.4 B.2 C.0 D.﹣2
【答案】D
【解析】由题意可得0，
则x＝y，
那么|x|＝xy3＝x4，
则x＝±1，
根据题意可得x＝1不符合题意，舍去，
则x＝y＝﹣1，
则x+y＝﹣1﹣1＝﹣2，
故选：D．
【举一反三1】下列为正数的是（　　）
A.﹣|﹣2| B. C.0 D.﹣（﹣5）
【答案】D
【解析】﹣|﹣2|＝﹣2，是负数；0既不是正数也不是负数；﹣（﹣5）＝5是正数；
故选：D．
【举一反三2】已知a，b均属于同一类数，a+b不一定属于该类数，则这类数可以是（　　）
A.正有理数 B.负实数 C.整数 D.无理数
【答案】D
【解析】由题意得，两个正有理数的和为正有理数；两个负实数的和为负实数；两个整数的和为整数．但是两个无理数的和不一定是无理数，如与的和是0，和是有理数．
∴A、B、C选项均正确，不符合题意．D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】了解无理数与实数的概念
（1）_________小数叫做无理数；
（2）有理数和_________统称为实数．
【答案】无限不循环；无理数
【解析】（1）无限不循环小数叫做无理数；
（2）有理数和无理数统称为实数．
故答案为：无限不循环，无理数．
【举一反三4】在下列数中：①π，②﹣|﹣3|，③，④1.7，⑤，⑥0，⑦1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑧．非负整数有 _________；无理数有 _________.（填写序号）
【答案】⑥⑧；①⑤⑦
【解析】非负整数有⑥⑧；无理数有①⑤⑦；
故答案为：⑥⑧；①⑤⑦．
【举一反三5】把下列各数的序号写入相应的集合中：
①，②，③，④，⑤0，⑥﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．
（1）负数集合{ _________…}；
（2）有理数集合{ _________…}；
（3）无理数集合{ _________…}．
【答案】解：，，
（1）负数集合{①④⑥…}；
（2）有理数集合{①③④⑤…}；
（3）无理数集合{②⑥…}．
故答案为：①④⑥；①③④⑤；②⑥．
【题型5】实数与数轴
【典型例题】与数轴上的点一一对应的是（　　）
A.有理数 B.无理数 C.整数 D.实数
【答案】D
【解析】与数轴上的点一一对应的是实数．
故选：D．
【举一反三1】若将2，，，四个无理数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数有（　　）个．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】2＜1，在0和1之间，不符合题意；
，即23，符合题意；
，即3＞6，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
，即1＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是_________．
【答案】2
【解析】∵以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，
∴AC＝AB．
∵A，B两点表示的数分别为1，，
∴AB1，
∴AC1，
∴则点C表示的数是1﹣（1）＝2．
故答案为：2．
【举一反三3】如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p.
（1）求AB的长；
（2）求p；
（3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数．
【答案】解：（1）∵表示1和 的对应点分别为A、B，
∴；
（2）∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，
∴，
∵点C在原点左侧，
∴点C所表示的数为：，
；
（3）∵点D在点O的左侧，且DO＝10，
∴点D表示的数为：﹣10，
∴以点D为原点，点C表示的数为：．
【题型6】实数的性质
【典型例题】下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）
A.﹣3与 B.﹣3与 C.3与 D.|﹣3|与3
【答案】A
【解析】A．﹣3与3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
B．﹣3与3，两数相等，故此选项不合题意；
C．3与，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；
D．|﹣3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意；
故选：A．
【举一反三1】的绝对值是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵1.414，
∴1.50．
∴1.5的绝对值是它本身．
故选：A．
【举一反三2】的倒数是____________，|π﹣11|＝____________，3的相反数是______________．
【答案】；11﹣π；
【解析】，4的倒数是，所以的倒数是；
|π﹣11|＝11﹣π；
的相反数是；
故答案为：，11﹣π，．
【举一反三3】已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x的值．
【答案】解：7，
∵a、b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵x的绝对值为．
∴x＝±7，
当x＝7时，原式＝（0+1）×7＝7﹣1＝6，
当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）＝﹣7﹣1＝﹣8，
∴所求代数式的值为6或﹣8．
【举一反三4】已知|x|，y是3的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
【答案】解：由题意得，x＝±，y＝±，
∵|y﹣x|＝x﹣y，
∴x＞y
∴x，y或x，y．
∴x+y或x+y．
【题型7】利用估算比较实数大小
【典型例题】四个实数π，6，，中，最大的无理数是（　　）
A.π B.6 C. D.
【答案】C
【解析】π，6，，中的无理数有：π，，，
∵3＜π＜4，4，2，3，
∴3＜π＜4，4，23，
∴23，
∴四个实数π，6，，中，最大的无理数是．
故选：C．
【举一反三1】已知，则a与b的大小关系是（　　）
A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.无法确定
【答案】A
【解析】a＝﹣5，b＝﹣2，
∵50＞20，
∴，
∴，
∴﹣52，
∴a＜b．
故选：A．
【举一反三2】下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A.是分数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B.是负无理数，故此选项不符合题意；
C.∵π＞3，∴，故此选项不符合题意；
D.∵，即，∴，故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三3】比较大小：____________．
【答案】＞
【解析】∵1.4，
∴1＞1.4+1，
∴1＞2.4，
∴1.2，
∵1.2，
∴．
故答案为：＞．
【举一反三4】阅读下面的材料：
对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）____________；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：﹣2；
（2）根据题意，得，
解得，
∴x的取值范围是．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】已知实数a，b，c，满足|a|＞|b|＞|c|，这三个数在数轴上的位置可能是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵|a|＞|b|＞|c|，
∴表示a，b，c三个实数的点到原点的距离最大的是表示a的点，其次是表示b的点，最近的是表示c的点，
∴这三个数在数轴上的位置可能是：，
故选：A．
【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（　　）
A.a B.b C.c D.d
【答案】D
【解析】根据图示，可得2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，3＜|d|＜4，
所以这四个数中，绝对值最大的是d．
故选：D．
【举一反三2】实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则a，b，﹣c的大小关系是_____________（用“＜”连接）
【答案】b＜﹣c＜a
【解析】由数轴可得b＜0＜c＜a，且|b|＞|c|，
则b＜﹣c＜0＜a，
故答案为：b＜﹣c＜a．
【举一反三3】现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示．
（1）点A表示数_____________；点B表示数_____________；点D表示数_____________．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接_____________．
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：____________；
负数：____________．
【答案】解：（1）根据A、B、D在数轴上的位置，
可知，点A表示数﹣3.5，点B表示数π，点D表示数；
故答案为：﹣3.5，π，；
（2）如图，
由数轴可知，﹣3.5π＜4；
故答案为：﹣3.5π＜4；
（3）无理数：π；
负数：﹣3.5，．
故答案为：无理数：π；
负数：﹣3.5，．
【举一反三4】在同一个数轴上分别作出以下各数所对应的点：，0，﹣1.5，；并用“＜”连接各数．
【答案】解：作图如下：
根据数轴上左边的数总比右边的数小可知：﹣1.5＜0．
【题型9】作差法比较实数的大小
【典型例题】若M，N，则M，N的大小关系是（　　）
A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.无法比较
【答案】A
【解析】，
∵10＞9，
∴3，
∴3＞0，
∴0，
∴．
∴M＞N．
故选：A．
【举一反三1】5，2，2的大小关系是（　　）
A.225 B.522 C.252 D.522
【答案】D
【解析】∵5＜8，
∴，
∴，
∴22，
∵（5）﹣（2）＝3﹣20，
∴52；
故选：D．
【举一反三2】比较大小：____________．
【答案】<
【解析】 ，
∵5，
∴0，
∴，
故答案为：＜．
【举一反三3】比较实数与的大小．
【答案】解：，
因为94＞81，所以，
所以，
所以，
所以．
【题型10】实数的运算
【典型例题】若实数a满足0＜a＜1，则的化简结果是（　　）
A.2 B.2a C.2a﹣2 D.2﹣2a
【答案】A
【解析】∵0＜a＜1，
∴原式＝a+2﹣a＝2．
故选：A．
【举一反三1】化简的结果是（　　）
A.5 B.1 C.22 D.2
【答案】A
【解析】 ＝23＝5，
故选：A．
【举一反三2】设x、y是有理数，且x，y满足等式，则x﹣y＝____________．
【答案】9或﹣1
【解析】由x2+2yy＝17﹣4，
得到x2+2y＝17，y＝﹣4，
解得：x＝±5，
则x﹣y＝9或﹣1．
故答案为：9或﹣1．
【举一反三3】计算：．
【答案】解：．
【题型11】根据运算程序计算
【典型例题】根据以下程序，当输入x＝2时，输出的y值为（　　）
A.0.5 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】∵x＝2＞1，
∴．
故选：D．
【举一反三1】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　）
A.﹣6 B.6 C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴输入x，y＝﹣时，（）2﹣（﹣）2＝2﹣8＝﹣6．
故选：A．
【举一反三2】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A. B. C.2 D.3
【答案】A
【解析】由所给的程序可知，当输入64时，8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到，
∵是无理数，
∴y．
故选：A．
【举一反三3】按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A. B. C.2 D.3
【答案】A
【解析】由所给的程序可知，当输入64时，8，
∵8是有理数，
∴取其立方根可得到，2，
∵2是有理数，
∴取其算术平方根可得到，
∵是无理数，
∴y．
故选：A．
【举一反三4】按如图所示运算程序，输入x，y＝﹣，则输出结果为（　　）
A.﹣6 B.6 C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴输入x，y＝﹣时，（）2﹣（﹣）2＝2﹣8＝﹣6．
故选：A．
【题型12】新定义运算
【典型例题】定义一种新运算“△”，a△b＝a2﹣ab，则△1的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得△．
故选：C．
【举一反三1】若a※b＝|b|﹣（b），则3※2的值为（　　）
A.4 B. C.﹣4 D.
【答案】D
【解析】由a※b＝|b|﹣（b）可得：
3※2＝|2|﹣（2）＝22＝﹣2．
故选：D．
【举一反三2】若对于实数x、y定义一种新运算：，则（4 8） 2＝____________．
【答案】4
【解析】原式 2＝6 2 ＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“Δ”如下：当x≤y时，xΔy；当x＞y时，xΔy＝y，则[﹣9Δ（﹣3）]×[4Δ（﹣3）]的值为____________．
【答案】﹣9
【解析】∵﹣9＜﹣3，4＞﹣3，
∴原式（﹣3）＝3×（﹣3）＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【举一反三4】计算：定义新运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝a+b2．
例如：7※4＝7+42＝23．
（1）求5※3的值；
（2）求13※（1※）的平方根．
【答案】解：（1）∵a※b＝a+b2，
∴5※3＝5+32＝5+9＝14；
（2）∵a※b＝a+b2，
∴1※＝1+5＝6，
∴13※（1※）＝13※6＝13+62＝13+36＝49．

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