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11.2整式的乘法
【题型1】利用单项式乘单项式的法则进行计算 3
【题型2】有关单项式乘法的混合运算 3
【题型3】利用运算法则求未知字母的值 3
【题型4】单项式乘单项式的实际应用问题 4
【题型5】利用单项式乘多项式法则进行计算 5
【题型6】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 5
【题型7】利用运算法则求未知字母的值 6
【题型8】单项式乘多项式的实际应用问题 6
【题型9】利用多项式乘多项式法则进行计算 8
【题型10】与多项式乘多项式有关的混合运算 8
【题型11】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 9
【题型12】利用多项式乘多项式求待定字母的值 9
【题型13】多项式乘多项式的实际应用问题 10
【知识点1】单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1.（2025春 东昌府区期末）下列计算正确的是（　　） A．（-2a3）3=6a6B．2a3+a3=3a5C．a6÷a3=a2D．（-2a）2 a3=4a5
【知识点2】单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 1.（2025 厦门模拟）下列运算中，正确的是（　　） A．a（-a）=-a2B．a（a+1）=a2+1C．2a-a=1D．a2+a=3a
2.（2025 湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3=2x5B．x2 x3=x6C．（x2）3=x5D．x（x+1）=x2+x
【知识点3】多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 1.（2025春 雁塔区校级期末）如果（3x-m） （x+1）的乘积中不含x一次项，则m为（　　） A．-3B．3C．D．
2.（2024秋 周村区期末）已知（x+a）（x+b）=x2+mx-6，若a,b都是整数，则m的值不可能是（　　） A．1B．-1C．-5D．-7
【题型1】利用单项式乘单项式的法则进行计算
【典型例题】计算﹣3(a+b) [﹣2(a+b)2]，结果等于(　　)
A.﹣6(a+b)3 B.﹣6(a3+b3) C.6(a+b)3 D.6(a3+b3)
【举一反三1】计算：3x2y (﹣4xy4)的结果是(　　)
A.7x2y4 B.﹣7x3y5 C.12x2y4 D.﹣12x3y5
【举一反三2】计算：　 ．
【举一反三3】化简：﹣2x2y3 (x2y)．
【题型2】有关单项式乘法的混合运算
【典型例题】(﹣2x3y4)3 (﹣x2yc)2等于(　　)
A.﹣8x13y14c2 B.8x13y14c2 C.﹣8x36y24c2 D.8x36y24c2
【举一反三1】计算的结果是(　　)
A.﹣3a3b6 B.﹣3a2b6 C.3a3b5 D.3a3b6
【举一反三2】计算(﹣2x)3 2x的结果是(　　)
A.12x4 B.﹣12x4 C.﹣16x4 D.16x4
【举一反三3】计算：(﹣2x3y)2 xy2＝ ．
【举一反三4】计算：．
【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3．
【题型3】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若单项式和的积为，则x的值为( )
A.12 B.8 C.4 D.3
【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为　 　．
【举一反三3】若(am+1bn+2) (a2n﹣1b2m)＝a5b9，则m+n的值为　 　．
【举一反三4】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值．
【举一反三5】若﹣2x3m+1y2n与4xn﹣6y﹣3﹣m的积与﹣4x4y是同类项，求m、n．
【题型4】单项式乘单项式的实际应用问题
【典型例题】长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为(　　)
A.9x3y2 B.18x3y2 C.18x2y D.6xy2
【举一反三1】一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做 次运算．(用科学记数法表示)
【举一反三3】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)

【举一反三4】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？

【题型5】利用单项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x(﹣2x2+3x﹣1)＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写(　　)
A.9x2 B.﹣9x2 C.9x D.﹣9x
【举一反三1】计算a(a﹣1)的结果为(　　)
A.a2﹣a B.a2﹣2 C.a2﹣1 D.a2﹣3
【举一反三2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy(4y﹣2x﹣1)＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写(　　)
A.3xy B.﹣3xy C.﹣1 D.1
【举一反三3】计算：　 ．
【举一反三4】计算m2﹣m(m﹣1)的结果是 ．
【举一反三5】计算：a(a+2b)﹣2ab．
【题型6】利用单项式乘多项式进行化简求值问题
【典型例题】若a2﹣2a﹣2＝3，则3a(a﹣2)的值为(　　)
A.3 B.5 C.9 D.15
【举一反三1】如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x(x+2)+3的值是(　　)
A.﹣5 B.5 C.3 D.﹣3
【举一反三2】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　)
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【举一反三3】若5m＝6，6n＝5，则2m(3m﹣n)﹣m(2n+6m)+3的值为　 　．
【举一反三4】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
【举一反三5】已知有理数a、b、c满足|a﹣b﹣3|+(b+1)2+|c﹣1|＝0，求(﹣3ab) (a2c﹣6b2c)的值．
【题型7】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】已知﹣x(3x2﹣2ax﹣1)﹣2x3+3x2+1中不含x2项，则a的值为(　　)
A.﹣3 B. C.﹣2 D.
【举一反三1】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是(　　)
A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2
【举一反三2】已知(﹣x)(2x2﹣ax﹣1)﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是(　　)
A.3 B.2 C.﹣3 D.﹣2
【举一反三3】若要使(x2+ax+5) (﹣6x3)+6x4的展开式中不含x4的项，则常数a的值为　 　．
【举一反三4】若3x(x﹣1)＝mx2+nx，则m﹣n＝　 　．
【举一反三5】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值．
【题型8】单项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】若三角形的底边为2n，对应的高为2n﹣1，则此三角形的面积为(　　)
A.2n2﹣2n B.2n2﹣n C.4n2﹣2n D.4n2﹣n
【举一反三2】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为(　　)
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【举一反三3】小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有A、B、C三种地砖可供选择，请问需要A砖　 　块，B砖　 　块，C砖　 　块．
【举一反三4】一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；
(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【举一反三5】(1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
(2)如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度)
【题型9】利用多项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是(　　)
A.(x+3)(x﹣4) B.(x+2)(x﹣6) C.(x﹣3)(x+4) D.(x+6)(x﹣2)
【举一反三1】已知多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A B的次数是(　　)
A.24次多项式 B.不高于11次的多项式 C.11次多项式 D.无法确定
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】计算： ．
【举一反三4】计算：(x+2y)(2x2+3x﹣4)．
【题型10】与多项式乘多项式有关的混合运算
【典型例题】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是(　　)
A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2
【举一反三1】化简代数式结果是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：( )
A. B. C. D.
【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝　 ．
【举一反三4】计算：(x+3)(x﹣1)﹣x(x﹣2)+1．
【题型11】与多项式乘多项式有关的化简求值问题
【典型例题】已知9x＝25y＝15，那么代数式(x﹣1)(y﹣1)+xy+3的值是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三1】已知x﹣y＝7，xy＝5，则(x+1)(y﹣1)的值为(　　)
A.1 B.3 C.﹣1 D.﹣3
【举一反三2】若，则的值为 ．
【举一反三3】化简，其中.
【举一反三4】已知，求的值．
【题型12】利用多项式乘多项式求待定字母的值
【典型例题】若(2x+m)(x﹣3)的展开式中不含x项，则实数m的值为(　　)
A.﹣6 B.0 C.3 D.6
【举一反三1】若(x﹣2)(x+3)＝x2+ax﹣b，则a+b的值为(　　)
A.﹣7 B.﹣5 C.5 D.7
【举一反三2】若(x2﹣px+q)(x﹣3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是(　　)
A.p＝3q B.p+3q＝0 C.q+3p＝0 D.q＝3p
【举一反三3】若关于x的多项式(x2+2x+4)(x+k)展开后不含有一次项，则实数k的值为　 　．
【举一反三4】已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积中不含x3项，也不含x项，则3a+b的平方根是　 　．
【举一反三5】在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．
例如：(a+1)(a2﹣a+1)＝a3+1；
(2+y)(4﹣2y+y2)＝8+y3；
(m+3n)(m2﹣3mn+9n2)＝m3+27n3．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为t3﹣64(t＞4)，底面积为(t+2)2﹣n，装满水时的高度为t﹣4．求n的值．
【题型13】多项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是(　　)
A.a(b﹣x)＝ab﹣ax B.b(a﹣x)＝ab﹣bx C.(a﹣x)(b﹣x)＝ab﹣ax﹣bx D.(a﹣x)(b﹣x)＝ab﹣ax﹣bx+x2
【举一反三1】某公园有一块长为(x+5)米，宽为(x+3)米的长方形草坪，经统一规划后，长增加1米，宽减少1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积(　　)
A.不变 B.减少 C.增大 D.无法确定
【举一反三2】如图，在一个长为3m+n，宽为m+3n的长方形地面上，四个角各有一个边长为n的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为　 ．
【举一反三3】从前，一位农场主把一块长a米、宽b米(b＞5)的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是 米2，相比第一年的租地面积 　 　．(填：变大、变小或没有变化)
【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？
【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b．
(1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示)
(2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生．11.2整式的乘法
【题型1】利用单项式乘单项式的法则进行计算 4
【题型2】有关单项式乘法的混合运算 5
【题型3】利用运算法则求未知字母的值 6
【题型4】单项式乘单项式的实际应用问题 8
【题型5】利用单项式乘多项式法则进行计算 9
【题型6】利用单项式乘多项式进行化简求值问题 11
【题型7】利用运算法则求未知字母的值 13
【题型8】单项式乘多项式的实际应用问题 15
【题型9】利用多项式乘多项式法则进行计算 18
【题型10】与多项式乘多项式有关的混合运算 19
【题型11】与多项式乘多项式有关的化简求值问题 20
【题型12】利用多项式乘多项式求待定字母的值 22
【题型13】多项式乘多项式的实际应用问题 24
【知识点1】单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 1.（2025春 东昌府区期末）下列计算正确的是（　　） A．（-2a3）3=6a6B．2a3+a3=3a5C．a6÷a3=a2D．（-2a）2 a3=4a5
【答案】D 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、（-2a3）3=-8a9，故此选项不符合题意；
B、2a3+a3=3a3，故此选项不符合题意；
C、a6÷a3=a3，故此选项不符合题意；
D、（-2a）2 a3=4a2 a3=4a5，故此选项符合题意；
故选：D． 【知识点2】单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 1.（2025 厦门模拟）下列运算中，正确的是（　　） A．a（-a）=-a2B．a（a+1）=a2+1C．2a-a=1D．a2+a=3a
【答案】A 【分析】选项A根据单项式乘单项式的运算法则判断即可；选项B根据单项式乘多项式的运算法则判断即可；选项C、D根据合并同类项法则判断即可． 【解答】解：A．a（-a）=-a2，故本选项符合题意；
B．a（a+1）=a2+a,故本选项不符合题意；
C．2a-a=a,故本选项不符合题意；
D．a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意．
故选：A． 2.（2025 湖北模拟）下列计算正确的是（　　） A．x2+x3=2x5B．x2 x3=x6C．（x2）3=x5D．x（x+1）=x2+x
【答案】D 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、x2与x3不能合并，故此选项不符合题意；
B、x2 x3=x5，故此选项不符合题意；
C、（x2）3=x6，故此选项不符合题意；
D、x（x+1）=x2+x,故此选项符合题意；
故选：D． 【知识点3】多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 1.（2025春 雁塔区校级期末）如果（3x-m） （x+1）的乘积中不含x一次项，则m为（　　） A．-3B．3C．D．
【答案】B 【分析】先计算再根据已知条件，即可得出答案． 【解答】解：原式=3x2+3x-mx-m
=3x2+（3-m）x-m,
∵（3x-m） （x+1）的乘积中不含x一次项，
∴3-m=0，
∴m=3．
故选：B． 2.（2024秋 周村区期末）已知（x+a）（x+b）=x2+mx-6，若a,b都是整数，则m的值不可能是（　　） A．1B．-1C．-5D．-7
【答案】D 【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案． 【解答】解：∵（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab=x2+mx-6，
∴当a=1，b=-6时，m=a+b=-5；
当a=-1，b=6时，m=a+b=5；
当a=2，b=-3时，m=-1；
当a=-2，b=3时，m=1；
当a=3，b=-2时，m=1；
当a=-3，b=2时，m=-1；
故m的值不可能是-7；
故选：D．
【题型1】利用单项式乘单项式的法则进行计算
【典型例题】计算﹣3(a+b) [﹣2(a+b)2]，结果等于(　　)
A.﹣6(a+b)3 B.﹣6(a3+b3) C.6(a+b)3 D.6(a3+b3)
【答案】C
【解析】原式＝6(a+b)3，
故选：C．
【举一反三1】计算：3x2y (﹣4xy4)的结果是(　　)
A.7x2y4 B.﹣7x3y5 C.12x2y4 D.﹣12x3y5
【答案】D
【解析】原式＝﹣12x3y5，
故选：D．
【举一反三2】计算：　 ．
【答案】﹣x3y3
【解析】(﹣3x2y) (xy2)＝﹣x3y3，
故答案为：﹣x3y3．
【举一反三3】化简：﹣2x2y3 (x2y)．
【答案】解：﹣2x2y3 (x2y)．
【题型2】有关单项式乘法的混合运算
【典型例题】(﹣2x3y4)3 (﹣x2yc)2等于(　　)
A.﹣8x13y14c2 B.8x13y14c2 C.﹣8x36y24c2 D.8x36y24c2
【答案】A
【解析】(﹣2x3y4)3 (﹣x2yc)2
＝(﹣8x9y12) x4y2c2
＝﹣8x9+4y12+2c2
＝﹣8x13y14c2．
故选：A．
【举一反三1】计算的结果是(　　)
A.﹣3a3b6 B.﹣3a2b6 C.3a3b5 D.3a3b6
【答案】D
【解析】原式a (9a2b6)＝3a3b6．
故选：D．
【举一反三2】计算(﹣2x)3 2x的结果是(　　)
A.12x4 B.﹣12x4 C.﹣16x4 D.16x4
【答案】C
【解析】(﹣2x)3 2x＝﹣8x3 2x＝﹣16x4．
故选：C．
【举一反三3】计算：(﹣2x3y)2 xy2＝ ．
【答案】x7y4
【解析】(﹣2x3y)2 xy2＝4x6y2 xy2＝x7y4，
故答案为：x7y4．
【举一反三4】计算：．
【答案】解：原式x2y4 8x4y2﹣8x6y6＝2x6y6﹣8x6y6＝﹣6x6y6．
【举一反三5】计算：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3．
【答案】解：﹣(﹣2a)3 (﹣b3)2+(﹣3ab2)3＝8a3b6﹣27a3b6＝﹣19a3b6．
【题型3】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】若单项式和的积为，则x的值为( )
A.12 B.8 C.4 D.3
【答案】C
【解析】∵，
∴，
解得：，
故选：C．
【举一反三1】已知单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，则mn的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】∵(6am+1bn+1) (﹣4a2m﹣1b2n﹣1)＝﹣24a3mb3n，
且单项式6am+1bn+1与﹣4a2m﹣1b2n﹣1的积与7a3b6是同类项，
∴，解得，
∴mn＝12＝1，
故选：A．
【举一反三2】若﹣xmy2和3x3y2m+n的积与2x5y3是同类项，则m+n的值为　 　．
【答案】﹣1
【解析】∵﹣xmy2 (3x3y2m+n)＝﹣3x3+my2m+n+2，且与2x5y3是同类项，
∴，
解得：，
∴m+n＝2+(﹣3)＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【举一反三3】若(am+1bn+2) (a2n﹣1b2m)＝a5b9，则m+n的值为　 　．
【答案】4
【解析】∵(am+1bn+2) (a2n﹣1b2m)＝a5b9，
∴，
解得：，
则m+n＝4．
故答案为：4．
【举一反三4】已知3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，求x的值．
【答案】解：∵3x+1×2x﹣3x×2x+1＝63x+4，
∴3×3x×2x﹣2×3x×2x＝63x+4，
∴3×6x﹣2×6x＝63x+4，
∴6x＝63x+4，
∴x＝3x+4，
∴x＝﹣2．
【举一反三5】若﹣2x3m+1y2n与4xn﹣6y﹣3﹣m的积与﹣4x4y是同类项，求m、n．
【答案】解：∵﹣2x3m+1y2n 4xn﹣6y﹣3﹣m＝﹣8x3m+n﹣5y2n﹣3﹣m，
又∵﹣2x3m+1y2n与4xn﹣6y﹣3﹣m的积与﹣4x4y是同类项，
∴，
解得：m＝2，n＝3．
【题型4】单项式乘单项式的实际应用问题
【典型例题】长方形的长为6x2y，宽为3xy，则它的面积为(　　)
A.9x3y2 B.18x3y2 C.18x2y D.6xy2
【答案】B
【解析】∵长方形的长为6x2y，宽为3xy，
∴长方形的面积＝6x2y 3xy＝18x3y2，
故选：B．
【举一反三1】一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】它的体积为：，
故选：D．
【举一反三2】一种计算机每秒可做4×108次运算，它工作了6×105 s，共可做 次运算．(用科学记数法表示)
【答案】2.4×1014
【解析】4×108×6×105
＝24×1013
＝2.4×1014．
故答案为：2.4×1014．
【举一反三3】将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示)

【答案】解：根据题意，得
．
答：每块大理石的体积为．
【举一反三4】某中学一寝室前有一块长为，宽为x的空地，学校向全校师生征集这块地的绿化设计方案并要求绿地面积不少于，如图是学生小明的设计方案，阴影部分是绿地．试问小明的设计方案是否合乎要求？为什么？

【答案】解：小明的设计方案符合要求．理由如下：
由题意可得：阴影部分的面积为：
．
∵，而
，
故小明的设计方案符合要求．
【题型5】利用单项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x(﹣2x2+3x﹣1)＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写(　　)
A.9x2 B.﹣9x2 C.9x D.﹣9x
【答案】B
【解析】﹣3x(﹣2x2+3x﹣1)＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【举一反三1】计算a(a﹣1)的结果为(　　)
A.a2﹣a B.a2﹣2 C.a2﹣1 D.a2﹣3
【答案】A
【解析】a(a﹣1)＝a2﹣a，
故选：A．
【举一反三2】今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy(4y﹣2x﹣1)＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写(　　)
A.3xy B.﹣3xy C.﹣1 D.1
【答案】A
【解析】∵左边＝﹣3xy(4y﹣2x﹣1)＝﹣12xy2+6x2y+3xy．
右边＝﹣12xy2+6x2y+□，
∴□内上应填写3xy．
故选：A．
【举一反三3】计算：　 ．
【答案】﹣3x3﹣x2+3x
【解析】原式＝﹣3x3﹣x2+3x．
故答案为：﹣3x3﹣x2+3x．
【举一反三4】计算m2﹣m(m﹣1)的结果是 ．
【答案】m
【解析】原式＝m2﹣(m2﹣m)＝m2﹣m2+m＝m，
故答案为：m．
【举一反三5】计算：a(a+2b)﹣2ab．
【答案】解：a(a+2b)﹣2ab＝a2+2ab﹣2ab＝a2．
【题型6】利用单项式乘多项式进行化简求值问题
【典型例题】若a2﹣2a﹣2＝3，则3a(a﹣2)的值为(　　)
A.3 B.5 C.9 D.15
【答案】D
【解析】∵a2﹣2a﹣2＝3，
∴3a(a﹣2)
＝3a2﹣6a
＝3(a2﹣2a﹣2)+6
＝3×3+6
＝9+6
＝15．
故选：D．
【举一反三1】如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x(x+2)+3的值是(　　)
A.﹣5 B.5 C.3 D.﹣3
【答案】B
【解析】∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
∴x(x+2)+3＝x2+2x+3＝2+3＝5．
故选：B．
【举一反三2】当a＝﹣2时，代数式3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)的值是(　　)
A.﹣98 B.﹣62 C.﹣2 D.98
【答案】A
【解析】3a(2a2﹣4a+3)﹣2a2(3a+4)
＝3a×2a2﹣3a×4a+3×3a﹣2a2×3a﹣4×(2a2)
＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2
＝﹣20a2+9a，
当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4+9×(﹣2)＝﹣98．
故选：A．
【举一反三3】若5m＝6，6n＝5，则2m(3m﹣n)﹣m(2n+6m)+3的值为　 　．
【答案】﹣1
【解析】∵5m＝6，6n＝5，
∴(6n)m＝5m＝6，即：6mn＝6，
∴mn＝1，
2m(3m﹣n)﹣m(2n+6m)+3
＝6m2﹣2mn﹣2mn﹣6m2+3
＝3﹣4mn
＝3﹣4
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【举一反三4】张老师让同学们计算“当a＝0.25，b＝﹣0.37时，a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab的值”．小刚说，不用条件就可以求出结果．你认为他说得对吗？
【答案】解：小刚说的对，理由：
a2+a(a+b)﹣2a2﹣ab＝a2+a2+ab﹣2a2﹣ab＝0，
由于结果与a，b的值无关，因此小刚说得对．
【举一反三5】已知有理数a、b、c满足|a﹣b﹣3|+(b+1)2+|c﹣1|＝0，求(﹣3ab) (a2c﹣6b2c)的值．
【答案】解：由|a﹣b﹣3|+(b+1)2+|c﹣1|＝0，
得，解得．
(﹣3ab) (a2c﹣6b2c)＝﹣3a3bc+18ab3c，
当时，原式＝﹣3×23×(﹣1)×1+18×2×(﹣1)3×1＝24﹣36＝﹣12．
【题型7】利用运算法则求未知字母的值
【典型例题】已知﹣x(3x2﹣2ax﹣1)﹣2x3+3x2+1中不含x2项，则a的值为(　　)
A.﹣3 B. C.﹣2 D.
【答案】B
【解析】﹣x(3x2﹣2ax﹣1)﹣2x3+3x2+1＝﹣3x3+2ax2﹣x﹣2x3+3x2+1＝﹣5x3+(2a+3)x2﹣x+1，
∵多项式不含x2项，
∴2a+3＝0，
∴，
故选：B．
【举一反三1】若要使x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，则a，b的值分别是(　　)
A.﹣2，﹣2 B.2，2 C.2，﹣2 D.﹣2，2
【答案】C
【解析】∵x(x2+a)+3x﹣2b＝x3+5x+4恒成立，
∴x3+(a+3)x﹣2b＝x3+5x+4，
∴，
解得．
故选：C．
【举一反三2】已知(﹣x)(2x2﹣ax﹣1)﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是(　　)
A.3 B.2 C.﹣3 D.﹣2
【答案】C
【解析】(﹣x)(2x2﹣ax﹣1)﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+(a+3)x2+x，
因为﹣4x3+(a+3)x2+x不含x的二次项，
所以a+3＝0，
所以a＝﹣3．
故选：C．
【举一反三3】若要使(x2+ax+5) (﹣6x3)+6x4的展开式中不含x4的项，则常数a的值为　 　．
【答案】1
【解析】(x2+ax+5) (﹣6x3)+6x4
＝﹣6x5﹣6ax4﹣30x3+6x4
＝﹣6x5+(﹣6a+6)x4﹣30x3，
∵(x2+ax+5) (﹣6x3)+6x4的展开式中不含x4的项，
∴﹣6a+6＝0，
解得：a＝1．
故答案为：1．
【举一反三4】若3x(x﹣1)＝mx2+nx，则m﹣n＝　 　．
【答案】6
【解析】∵3x(x﹣1)＝3x2﹣3x＝mx2+nx，
∴m＝3，n＝﹣3，
∴m﹣n＝3﹣(﹣3)＝6，
故答案为：6．
【举一反三5】已知计算(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)的结果中不含x4和x2的项，求m、n的值．
【答案】解：(5﹣3x+mx2﹣6x3) (﹣2x2)﹣x(﹣3x3+nx﹣1)
＝﹣10x2+6x3﹣2mx4+12x5+3x4﹣nx2+x
＝12x5+(3﹣2m)x4+6x3+(﹣10﹣n)x2+x，
由结果中不含x4和x2项，得到3﹣2m＝0，﹣10﹣n＝0，
解得：m＝1.5，n＝﹣10．
【题型8】单项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】若长方形的一边长为，另一边比它长，则这个长方形的面积是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，长方形的另一边长为：，
所以长方形的面积为：，故A正确．
故选：A．
【举一反三1】若三角形的底边为2n，对应的高为2n﹣1，则此三角形的面积为(　　)
A.2n2﹣2n B.2n2﹣n C.4n2﹣2n D.4n2﹣n
【答案】B
【解析】∵三角形的底边为2n，对应的高为2n﹣1，
∴此三角形的面积为：2n (2n﹣1)＝2n2﹣n．
故选：B．
【举一反三2】若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x﹣4，则长方体的体积为(　　)
A.3x3﹣4x2 B.6x2﹣8x C.6x3﹣8x2 D.6x3﹣8x
【答案】C
【解析】由题意知，V长方体＝(3x﹣4) 2x x＝6x3﹣8x2．
故选：C．
【举一反三3】小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有A、B、C三种地砖可供选择，请问需要A砖　 　块，B砖　 　块，C砖　 　块．
【答案】0；8；2
【解析】A砖的面积为a2，B砖的面积为ab，C砖的面积为b2，
∵(4a+b) 2b＝8ab+2b2，
∴需要B砖8块，C砖2块，拼图如图所示：
故答案为：0，8，2．
【举一反三4】一块长方形硬纸片，长为米、宽为米，在它的四个角上分别剪去一个边长为米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)这个盒子的长为 ，宽为 ，高为 ；
(2)求这个无盖盒子的外表面积．
【答案】解：(1)盒子的长为：(米)；
盒子的宽为：(米)；
盒子的高为：a2(米)．
故答案为：米；米；米．
(2)∵纸片的面积是：(平方米)，
小正方形的面积是：(平方米)，
∴无盖盒子的外表面积是：(平方米)．
∴这个无盖盒子的外表面积为平方米．
【举一反三5】(1)如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？
(2)如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？(计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度)
【答案】解：(1)由题意知，两个卧室以外的部分面积为：
3y y+2y (3x﹣x﹣y)＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy(平方米)．
∴购买地砖所需的费用为：(y2+4xy)a＝ay2+4axy(元)．
(2)客厅贴墙纸的面积为：(2y+6y)h＝8yh，
两个卧室贴墙纸的面积为：(4x+6y)h＝4xh+6yh，
∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh(平方米)，
∴购买墙纸所需的费用为：(14yh+4xh)b＝14yhb+4xhb(元)．
【题型9】利用多项式乘多项式法则进行计算
【典型例题】下列多项式相乘的结果为x2﹣4x﹣12的是(　　)
A.(x+3)(x﹣4) B.(x+2)(x﹣6) C.(x﹣3)(x+4) D.(x+6)(x﹣2)
【答案】B
【解析】A、(x+3)(x﹣4)＝x2﹣x﹣12，不符合题意；
B、(x+2)(x﹣6)＝x2﹣4x﹣12，符合题意；
C、(x﹣3)(x+4)＝x2+x﹣12，不符合题意；
D、(x+6)(x﹣2)＝x2+4x﹣12，不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】已知多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A B的次数是(　　)
A.24次多项式 B.不高于11次的多项式 C.11次多项式 D.无法确定
【答案】C
【解析】设多项式A是8次多项式，多项式B是3次多项式，则A B的次数是11，
故选：C．
【举一反三2】计算： ．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
【举一反三3】计算： ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：．
【举一反三4】计算：(x+2y)(2x2+3x﹣4)．
【答案】解：(x+2y)(2x2+3x﹣4)＝2x3+3x2﹣4x+4x2y+6xy﹣8y．
【题型10】与多项式乘多项式有关的混合运算
【典型例题】化简 (2x+1)(x﹣2)﹣x(2x﹣3)的结果是(　　)
A.﹣2 B.﹣6x﹣2 C.4x2﹣2 D.4x2﹣6x﹣2
【答案】A
【解析】原式＝2x2﹣4x+x﹣2﹣2x2+3x＝﹣2，
故选：A．
【举一反三1】化简代数式结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
故选：A.
【举一反三2】符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，根据阅读材料，化简：( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得：
，
故选：C．
【举一反三3】计算：(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝　 ．
【答案】4x﹣3
【解析】(x﹣1)(x+3)﹣x(x﹣2)＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x＝4x﹣3，
故答案为：4x﹣3．
【举一反三4】计算：(x+3)(x﹣1)﹣x(x﹣2)+1．
【答案】解：(x+3)(x﹣1)﹣x(x﹣2)+1
＝x2+3x﹣x﹣3﹣(x2﹣2x)+1
＝x2+3x﹣x﹣3﹣x2+2x+1
＝4x﹣2．
【题型11】与多项式乘多项式有关的化简求值问题
【典型例题】已知9x＝25y＝15，那么代数式(x﹣1)(y﹣1)+xy+3的值是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】∵9x＝25y＝15，
∴9xy＝15y，25xy＝15x，
∴15x+y＝(9×25)xy＝(3×5)2xy，
∴x+y＝2xy，
(x﹣1)(y﹣1)+xy+3
＝xy﹣(x+y)+1+xy+3
＝2xy﹣(x+y)+4
＝4．
故选：A．
【举一反三1】已知x﹣y＝7，xy＝5，则(x+1)(y﹣1)的值为(　　)
A.1 B.3 C.﹣1 D.﹣3
【答案】D
【解析】∵x﹣y＝7，xy＝5，
∴(x+1)(y﹣1)
＝xy﹣x+y﹣1
＝xy﹣(x﹣y)﹣1
＝5﹣7﹣1
＝﹣3．
故选：D．
【举一反三2】若，则的值为 ．
【答案】10
【解析】∵，
∴，
∴
．
故答案为：10．
【举一反三3】化简，其中.
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【举一反三4】已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，即，
∴
．
【题型12】利用多项式乘多项式求待定字母的值
【典型例题】若(2x+m)(x﹣3)的展开式中不含x项，则实数m的值为(　　)
A.﹣6 B.0 C.3 D.6
【答案】D
【解析】∵(2x+m)(x﹣3)＝2x2﹣6x+mx﹣3m＝2x2+(m﹣6)x﹣3m，
又∵展开式中不含x项，
∴m﹣6＝0，
即m＝6，
故选：D．
【举一反三1】若(x﹣2)(x+3)＝x2+ax﹣b，则a+b的值为(　　)
A.﹣7 B.﹣5 C.5 D.7
【答案】D
【解析】(x﹣2)(x+3)＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，
∵(x﹣2)(x+3)＝x2+ax﹣b，
∴a＝1，b＝6，
∴a+b＝1+6＝7，
故选：D．
【举一反三2】若(x2﹣px+q)(x﹣3)展开后不含x的一次项，则p与q的关系是(　　)
A.p＝3q B.p+3q＝0 C.q+3p＝0 D.q＝3p
【答案】C
【解析】(x2﹣px+q)(x﹣3)＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+(﹣p﹣3)x2+(3p+q)x﹣3q，
∵结果不含x的一次项，
∴q+3p＝0．
故选：C．
【举一反三3】若关于x的多项式(x2+2x+4)(x+k)展开后不含有一次项，则实数k的值为　 　．
【答案】﹣2
【解析】 (x2+2x+4)(x+k)
＝x3+2x2+4x+kx2+2kx+4k
＝x3+(2+k)x2+(4+2k)x+4k，
∵展开后不含有一次项，
∴4+2k＝0，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三4】已知ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积中不含x3项，也不含x项，则3a+b的平方根是　 　．
【答案】±3
【解析】(ax2+bx+1)(2x2﹣3x+1)
＝2ax4﹣3ax3+ax2+2bx3﹣3bx2+bx+2x2﹣3x+1
＝2ax4+(﹣3a+2b)x3+(a﹣3b+2)x2+(b﹣3)x+1，
∵ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积中不含x3项，也不含x项，
∴﹣3a+2b＝0且b﹣3＝0，
∴a＝2，b＝3，
∴3a+b＝3×2+3＝9，
∴3a+b的平方根是±3．
故答案为：±3．
【举一反三5】在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的乘法运算及结果都有规律．
例如：(a+1)(a2﹣a+1)＝a3+1；
(2+y)(4﹣2y+y2)＝8+y3；
(m+3n)(m2﹣3mn+9n2)＝m3+27n3．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为t3﹣64(t＞4)，底面积为(t+2)2﹣n，装满水时的高度为t﹣4．求n的值．
【答案】解：(1)由题意得：(a+b)(a2﹣ab+b2)＝a3+b3，
∵左边＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3，
＝ab2﹣ab2+a2b﹣a2b+a3+b3
＝a3+b3，
右边＝a3+b3，
∴(a+b)(a2﹣ab+b2)＝a3+b3；
(2)由题意得：t3﹣64＝[(t+2)2﹣n](t﹣4)＝(t2+4t+4﹣n)(t﹣4)
∴4﹣n＝16，
n＝﹣12．
【题型13】多项式乘多项式的实际应用问题
【典型例题】通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是(　　)
A.a(b﹣x)＝ab﹣ax B.b(a﹣x)＝ab﹣bx C.(a﹣x)(b﹣x)＝ab﹣ax﹣bx D.(a﹣x)(b﹣x)＝ab﹣ax﹣bx+x2
【答案】D
【解析】图1中，阴影部分＝长(a﹣x)宽(a﹣2b)长方形面积，
∴阴影部分的面积＝(a﹣x)(b﹣x)，
图2中，阴影部分＝大长方形面积﹣长a宽x长方形面积﹣长b宽x长方形面积+边长x的正方形面积，
∴阴影部分的面积＝ab﹣ax﹣bx+x2，
∴(a﹣x)(b﹣x)＝ab﹣ax﹣bx+x2．
故选：D．
【举一反三1】某公园有一块长为(x+5)米，宽为(x+3)米的长方形草坪，经统一规划后，长增加1米，宽减少1米，改造后得到一块新的长方形草坪，该草坪面积与原来的相比，面积(　　)
A.不变 B.减少 C.增大 D.无法确定
【答案】B
【解析】(x+5+1)(x+3﹣1)﹣(x+5)(x+3)
＝(x+6)(x+2)﹣(x2+8x+15)
＝x2+8x+12﹣x2﹣8x﹣15
＝﹣3＜0．
故选：B．
【举一反三2】如图，在一个长为3m+n，宽为m+3n的长方形地面上，四个角各有一个边长为n的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为　 ．
【答案】3m2+10mn﹣n2
【解析】(3m+n)(m+3n)﹣4n2
＝3m2+10mn+3n2﹣4n2
＝3m2+10mn﹣n2．
故答案为：3m2+10mn﹣n2．
【举一反三3】从前，一位农场主把一块长a米、宽b米(b＞5)的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加5米，宽减少5米，还是长方形的土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏！”，则第二年张老汉的租地面积是 米2，相比第一年的租地面积 　 　．(填：变大、变小或没有变化)
【答案】(ab﹣5a+5b﹣25)；变小
【解析】第一年张老汉租地面积是：ab平方米，
第二年张老汉租地面积是：(a+5)(b﹣5)＝(ab﹣5a+5b﹣25)平方米；
∵ab﹣(ab﹣5a+5b﹣25)＝5a﹣5b+25＝5(a﹣b)+25，a﹣b＞0，
∴ab＞ab﹣5a+5b﹣25，
∴第二年张老汉的租地面积相比第一年的租地面积变小．
故答案为：(ab﹣5a+5b﹣25)；变小．
【举一反三4】明明家有一个长方形的鱼塘，宽为a米，长是宽的两倍．今年为了扩大养殖规模，长增加了8米，宽增加了6米．问：这个鱼塘面积增加了多少平方米？
【答案】解：由题意得：
(2a+8)(a+6)﹣2a a＝2a2+12a+8a+48﹣2a2＝20a+48(平方米)．
答：这个鱼塘面积增加了(20a+48)平方米.
【举一反三5】某中学八年级的学生人数比七年级学生多．某天做广播操时(七、八年级学生均无缺席)，八年级排成的是一个规范的长方形方阵，每排(3a+b)人，站有(2a+2b)排；七年级站的正方形方阵，排数和每排人数都是2(a+b)，其中a＞b．
(1)求该学校八年级比七年级多多少名学生？(用a与b的代数式表示)
(2)当a＝10，b＝2时，求该学校八年级比七年级多多少名学生．
【答案】解：(1)(3a+b)(2a+2b)﹣[2(a+b)]2
＝6a2+8ab+2b2﹣4a2﹣8ab﹣4b2
＝2a2﹣2b2，
答：八年级比七年级多(2a2﹣2b2)名学生；
(2)当a＝10，b＝2时，原式＝2×102﹣2×22＝200﹣8＝192．
答：八年级比七年级多192名学生．

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