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13.1勾股定理及其逆定理
【题型1】勾股定理的证明 8
【题型2】利用勾股定理求线段长 12
【题型3】勾股定理与数轴 15
【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 18
【题型5】勾股定理与折叠问题 22
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 26
【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 33
【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形 34
【题型9】勾股数 37
【题型10】勾股定理与逆定理的综合 40
【题型11】反证法证明中的假设 43
【题型12】用反证法证明命题 45
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 龙港区期中）下列条件中：①∠A-∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理，直角三角形的定义解答． 【解答】解：①∵∠A-∠B=∠C，
∴∠A=∠C+∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，①选项正确；
②∵∠A：∠B：∠C=2：3：5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，
∴△ABC是直角三角形，②选项正确；
③∠A=90°-∠B，∠A+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，③选项正确；
④∠A=∠B=∠C，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ABC不是直角三角形．
故选：C． 2.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C
【答案】D 【分析】由三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状． 【解答】解：A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，不符合题意；
B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，为直角三角形，不符合题意；
C选项，∠A：∠B：∠C=1：2：3，即∠A+∠B=∠C，同A选项，不符合题意；
D选项，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D． 【知识点2】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2024秋 萧县期末）已知点M的坐标为（3，-4），则下列说法正确的是（　　） A．点M在第二象限内B．点M到x轴的距离为3C．点M关于y轴对称的点的坐标为（3，4）D．点M到原点的距离为5
【答案】D 【分析】根据点的坐标特点解答即可． 【解答】解：A．点M在第四象限内，故本选项不合题意；
B．点M到x轴的距离为4，故本选项不合题意；
C．点M关于y轴对称的点的坐标为（-3，-4），故本选项不合题意；
D．点M到原点的距离为，
故选：D． 2.（2024秋 锦江区期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm,则图中A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．28cm2B．42cm2C．49cm2D．63cm2
【答案】C 【分析】根据勾股定理计算． 【解答】解：∵最大的正方形的边长为7cm,
∴A、B两个正方形的面积之和为72=49cm2，
故选：C． 【知识点3】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024春 咸安区期末）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发现之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　） A．赵爽B．祖冲之C．刘徽D．杨辉
【答案】A 【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”． 【解答】解：图中的图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽通过对这种图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了著名的勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国数学史上的骄傲．
故选：A． 2.（2024春 汝南县校级期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据图形的面积得出a,b,c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可． 【解答】解：A，B，C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．
故选：D． 【知识点4】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春 东莞市校级月考）若三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3B．6C．12D．10
【答案】B 【分析】根据绝对值非负性，算术平方根的非负性质得出a,b,c的值，再利用勾股定理的逆定理即可得出这个三角形是直角三角形，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：∵，
∴a-3=0，b-4=0，c-5=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∴a2+b2=32+42=25，c2=52=25，
∴a2+b2=c2，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是．
故选：B． 【知识点5】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2025春 庐阳区校级期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a=42时，b+c的值为（　　） a68101214…b815243548…c1017263750…
A．722B．800C．882D．968
【答案】C 【分析】将a=42代入方程求解b和c,再求和即可． 【解答】解：由表格得规律：c=b+2，
根据勾股定理得：a2+b2=c2，
将a=42代入得，422+b2=（b+2）2，
解得b=440，
∴b+c=882，
故选：C． 2.（2024秋 渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，1，B．3，4，7C．1，，D．6，8，10
【答案】D 【分析】根据勾股数的定义解答即可． 【解答】解：A、，1，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意；
B、∵32+42≠72，
∴这一组数不是勾股数，不符合题意；
C、1，，不是整数，这一组数不是勾股数，不符合题意；
D、∵62+82=102，
∴这一组数是勾股数，符合题意，
故选：D． 【知识点6】反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1.（2024秋 新化县期末）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°
【答案】A 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故选：A．
【题型1】勾股定理的证明
【典型例题】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】大正方形的面积表示为：，
又可以表示为：，
，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】A
【解析】，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正确；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
，，
故③④正确
故选：A．
【举一反三2】在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形
A.甲、乙均可以 B.甲可以，乙不可以 C.乙可以，甲不可以 D.甲、乙均不可以
【答案】A
【解析】甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满足即可判断．
甲：大正方形的面积可以表示为：或，即；
先根据正方形的面积计算出，即可；
所以甲、乙均可验证．
故选A．
【举一反三3】课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）
【答案】
【解析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可．
由图①可得，
，
化简，得：，
故图①可以证明勾股定理；
根据图②中的条件，无法证明勾股定理；
由图可得，，
化简，得：，
故图可以证明勾股定理；
由图可得，，
化简，得：，
故图可以证明勾股定理；
故答案为：．
【举一反三4】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中），求证：．
【答案】证明　利用图1进行证明：
证明：依题意∵且，点C，A，E在一条直线上，
∴，则，
∵，
又∵
∴
∴；
利用图2进行证明：
证明：如图，连接，过点D作边上的高，
则，
∵
又∵
∴
∴．
【题型2】利用勾股定理求线段长
【典型例题】在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】D
【解析】由勾股定理得，斜边＝，
故选D.
【举一反三1】如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
【答案】A
【解析】中，，，
∴，
∴．
故选：A．
【举一反三2】中，，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】如图，

在中， ，，，
由勾股定理得，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，．

(1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长
【答案】解　(1)如图所示，即为所求，

(2)，，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
【举一反三4】如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：过点D作交于点E．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在(1)的条件下，，求的长．
【答案】(1)解　如图， ，就是所求，交于点．
(2)解　∵，，是的角平分线
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴在Rt中，
，
∴，
∴．
【题型3】勾股定理与数轴
【典型例题】如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（　　）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【解析】∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴则P点对应的实数是，
故选：B．
【举一反三1】如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D.1
【答案】A
【解析】由题意，得：，，，
∴，
∴点表示的数为，
故选A．
【举一反三2】如图，数轴上点C所表示的数是（ ）
A.2 B.3.7 C.3.8 D.
【答案】D
【解析】∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°，
∴OB=，
∴OC=OB=
故选：D．
【举一反三3】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【答案】
【解析】由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则，
∵，
∴，
即点A表示的数是．
故答案为：．
【举一反三4】解答下列问题：
(1)在数轴上作出表示的点；
(2)如图，在中，，是的中点，于点.求证：.
【答案】(1)解　如图，点O在表示0的位置，A在表示4的位置，即OA＝4，
过点A向上（垂直于数轴的方向）取AB＝2，连接OB，则OB＝，
以O为圆心，OB的长为半径画弧，该弧与数轴的交点即为表示的点；
(2)证明　连接，
∵是中点，，
∴，
∵，
∴
．
【举一反三5】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点．
【答案】解　如图：以1为边长作等腰直角三角形得到线段OA=，以O为圆心OA为半径交x轴负半轴于B，以点B为直角顶点作△OBC，使BC=1，得到线段OC=，以O为圆心OC为半径作弧交x轴负半轴于点D，则点D表示的数即是-；
以1和2为直角边作三角形得到斜边OE=，以原点为圆心，OE为半径画弧交x轴正半轴于点P，点P表示的数即是.

【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题
【典型例题】如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.
【答案】C
【解析】在中，，
，
三个正方形的面积分别为，
，
在及中，由勾股定理可得：
，，
，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.11
【答案】B
【解析】∵四边形，，都是正方形，
∴，；
∴，
∴，
∴（），
∴，，
∵正方形，的面积分别为和，
∴，
∴正方形的面积
故选∶B．
【举一反三2】若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是，则正方形、、、的面积和是 （ ）
A.14 cm2 B.42 cm2 C.49 cm2 D.64 cm2
【答案】C
【解析】如图对所给图形进行标注：
因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积．
因为，，
所以正方形A，B，C，D的面积和．
故选：C．
【举一反三3】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 ．
【答案】36
【解析】正方形A和B的面积分别为100和64，
它们分别是直角三角形的一条斜边和一条直角边的平方，
则根据勾股定理可得，，
故答案为：36．
【举一反三4】如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积和是，则其中最大的正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】根据勾股定理的几何意义，最大的正方形的面积为，则最大的正方形的边长为．
故答案为：．
【举一反三5】如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】解　(1)，，，，
在中
根据勾股定理得：
，
在中
，
四边形的周长为．
(2)，
和为直角三角形，
，
，
∴．
【题型5】勾股定理与折叠问题
【典型例题】如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
连接，，

在中，，
在中，，
∵折叠，
，
，
即，
解得，即，
故选：B．
【举一反三1】如图，在中，，，∠B=90°．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）

A.4 B.3 C.6 D.5
【答案】A
【解析】设，由折叠的性质可得，
∵D是的中点，，
∴，
在中，，
解得，
即，
故选：A．
【举一反三2】已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（ ）cm.
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】∵四边形是长方形，
∴，，，
∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，
∴，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
即，
解得．
∴，
故选：A．
【举一反三3】如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若，的面积为15，则的长是 ．
【答案】
【解析】∵，的面积为，
∴
∴
∵沿着直线翻折得到，
∴，，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∴
故答案为：
【举一反三4】在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；
(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
【答案】解　(1)若点和顶点重合，由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，
；
(2)点落在直角边的中点上，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
∴．
【举一反三5】学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】解　操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系
【典型例题】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，在中，，
∴，
∴，
故选：．
【举一反三1】如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】如图1，连接，

，，为中点，
，，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，，故①正确；
，
如图2，当点、落在、的延长线上时，连接，同理可证，
，故②错误，
由
，
，
，故③正确；
如图2，连接，

同理可证：，，
，
．故④正确，
故选：C．
【举一反三2】如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【答案】①③
【解析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可；
②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；
③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③；
④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．
∵DAE＝BAC＝90°，
∴DAB＝EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，
∵在DAB和EAC中，
，
∴DAB≌EAC，
∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；
由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；
∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°，
∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；
∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．
∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．
故答案为：①③．
【举一反三3】已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
(1)若，，，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)∵AC⊥BD,
，
，
．
故答案为．
(2)由(1)得：
，，，，，
，，
．
故答案为．
(3)由(2)得：
，
．
故答案为．
【举一反三4】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【答案】解　(1)．理由如下：
∵与都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴．
∴，
∴．
(2)．理由如下：
由(1)可得，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】证明　(1)为等边三角形，
∴，．
∴．
又∵平分，
∴．
∴，
∴．
在和中，
∴．
∴；
(2)∵在(1)中已证明．
∴；，
∵，，，
∴．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，有：，
∵，，
∴．
【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，，则△ADE为________三角形．
【答案】直角
【解析】，，
，，则为直角三角形．
【举一反三1】如图，在中，于点，，则是_____三角形．
【答案】直角
【解析】于点，，，
，，即是直角三角形．
【举一反三2】已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF是△ABE的中线，∴EF＝BF，
∴∠2＝∠BEF，
又∵∠CEG+∠BEF＝90°，∴∠CEG+∠2＝90°，
又∵∠2＝∠1，∴∠CEG+∠1＝90°，
∴△CGE是直角三角形．
【举一反三3】如图，在中，是边上的高，点是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．
【答案】证明：是边上的高，，
，，
，，是直角三角形．
【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形
【典型例题】在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
.∵，
∴设，，，
∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，该选项不合题意；
.∵，
∴设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，该选项符合题意；
故选：．
【举一反三1】三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ）
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
【答案】C
【解析】 ，
，
整理得：，
三角形是直角三角形．
故选：C．
【举一反三2】下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，， D.2，3，4
【答案】D
【解析】A.，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三3】在中，，，当 时，是直角三角形．
【答案】5或
【解析】①为的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
②为三角形的最长边时：当满足时，是直角三角形，即：，
∴（负值已舍去）；
综上：或；
故答案为：5或．
【举一反三4】已知的三边长分别为，，，且的平方根分别是与，，是的整数部分．
(1)求的立方根；
(2)判断三角形的形状．
【答案】解　(1)∵a的平方根分别是与，
∴，
整理得，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴的立方根是1；
(2)∵，，
∴，
∵，即，
∴的整数部分，
由(1)可知：，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【举一反三5】如图，在中，于．

(1)求的长．
(2)求的面积．
【答案】解　(1)，
，
，
是直角三角形，
，
，
的面积，
，
，
，
的长为4.8；
(2)，
的面积，
的面积为24．
【题型9】勾股数
【典型例题】下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）
①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，， ；⑤1.5，2，2.5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】①，所以①不是勾股数；
②，所以②是勾股数；
③，所以③是勾股数；
④，所以④不是勾股数；
⑤，但其不是正整数，所以⑤不是勾股数.
综上所述②③是勾股数，共2个.
故选：B.
【举一反三1】成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A.14 B.16 C.35 D.37
【答案】C
【解析】依题意，设斜边为x，则股为，
∴，
解得：，
∴股为，
故选：C．
【举一反三2】下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ．（填序号）
【答案】①⑤
【解析】①，
8，15，17是勾股数；
②不是整数，故1，2，不是勾股数；
③0.3，0.4，0.5不是整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数；
④，，不是整数，故，，不是勾股数；
⑤ ，
12，16，20是勾股数；
故答案为：①⑤．
【举一反三3】寻求某些股数的规律
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11 倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍(n 为正整数)，就得到_________；
(2)对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为
若勾股数为 5，12，13，则有
①若勾股数为7，24，25，则有__________；
②若勾股数为 17，，根据以上的规律，求a、b的值．
【答案】解　(1)∵3，4，5分别扩大11倍得到，
∴，
3，4，5分别扩大11倍得到，
∴，
故答案为：，；
(2)①由题意得， ，
故答案为：；
②，，
，，
，，
……，
以此类推，，（m、n都为正整数），
∴，
∴，
∴，
∴．
【题型10】勾股定理与逆定理的综合
【典型例题】如图，将绕点顺时针旋转得到，并使点的对应点点落在直线上，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由旋转的性质可知，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵点的对应点点落在直线上，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故选：A．
【举一反三1】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，故①正确；
若，则，而不一定成立，故②不正确；
，故③正确；
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，故④正确．
故选：C．
【举一反三2】如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．

【答案】9.6
【解析】，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：9.6．
【举一反三3】如图，在四边形中，，则的长为 ．
【答案】
【解析】作的延长线，垂足为M，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若，求的长．
【答案】解　∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即 ，
∵，由勾股定理得，
∴，
∴．
【题型11】反证法证明中的假设
【典型例题】玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A.有一个内角大于 B.有一个内角大于等于 C.每一个内角都大于 D.每一个内角都小于
【答案】C
【解析】∵“至少有一个”的否定为“没有一个”，
∴应假设这个三角形中没有一个内角小于或等于，
即：这个三角形中每一个内角都大于，
故选：C
【举一反三1】用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设（　　）
A.等腰三角形的底角是直角
B.等腰三角形的底角是直角或钝角
C.等腰三角形的底角是钝角
D.底角为锐角的三角形是等腰三角形
【答案】B
【解析】用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，
第一步可以假设：等腰三角形的底角是直角或钝角．
故选：B．
【举一反三2】用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】用反证法证明：“已知在中，，求证：．”时，
第一步应假设：，
故选：D.
【举一反三3】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于
【答案】A
【解析】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，故选：A．
【举一反三4】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ．
【答案】三角形中每一个内角都小于
【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，应先假设三角形中每一个内角都小于．
故答案为：三角形中每一个内角都小于．
【举一反三5】用反证法证明“若，则”时，应首先设 ．
【答案】
【解析】a，b的等价关系有两种情况，因而的反面是．
因此用反证法证明“”时，应先假设．
故答案为：．
【举一反三6】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ．
【答案】三角形中每一个内角都小于
【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，应先假设三角形中每一个内角都小于．
故答案为：三角形中每一个内角都小于．
【题型12】用反证法证明命题
【典型例题】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】运用反证法证明这个命题的四个步骤，
(1)假设在中，；
(2)由，得，即；
(3)，这与三角形内角和为矛盾；
(4)因此假设不成立．，
综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②．
故选：D．
【举一反三1】已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②，
故选D．
【举一反三2】数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，．求证：．

老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，
∴．
∵，
∴，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【答案】三角形的外角和等于
【解析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论．
假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，
∴．
∵，
∴，
这与“三角形的外角和等于”相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
故答案为：三角形的外角和等于
【举一反三3】已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于．
【答案】解　假设，则（两直线平行，同位角相等），这与相矛盾，
假设不成立，
不平行于．13.1勾股定理及其逆定理
【题型1】勾股定理的证明 5
【题型2】利用勾股定理求线段长 7
【题型3】勾股定理与数轴 8
【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 9
【题型5】勾股定理与折叠问题 11
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 13
【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 15
【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形 15
【题型9】勾股数 16
【题型10】勾股定理与逆定理的综合 17
【题型11】反证法证明中的假设 18
【题型12】用反证法证明命题 19
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024秋 龙港区期中）下列条件中：①∠A-∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：5，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2024春 惠民县期末）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠CB．∠A-∠B=∠CC．∠A：∠B：∠C=1：2：3D．∠A=∠B=3∠C
【知识点2】勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a=，b=及c=．
（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1.（2024秋 萧县期末）已知点M的坐标为（3，-4），则下列说法正确的是（　　） A．点M在第二象限内B．点M到x轴的距离为3C．点M关于y轴对称的点的坐标为（3，4）D．点M到原点的距离为5
2.（2024秋 锦江区期末）图中的四边形均为正方形，三角形为直角三角形，最大的正方形的边长为7cm,则图中A、B两个正方形的面积之和为（　　） A．28cm2B．42cm2C．49cm2D．63cm2
【知识点3】勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 1.（2024春 咸安区期末）勾股定理是“人类最伟大的十大科学发现之一”．中国对勾股定理的证明最早出现在对《周髀算经》的注解中，它表示了我国古代入对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，在《周髀算经》的注解中证明勾股定理的是我国古代数学家（　　） A．赵爽B．祖冲之C．刘徽D．杨辉
2.（2024春 汝南县校级期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（　　） A．B．C．D．
【知识点4】勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 1.（2025春 东莞市校级月考）若三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形的面积是（　　） A．3B．6C．12D．10
【知识点5】勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 1.（2025春 庐阳区校级期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当a=42时，b+c的值为（　　） a68101214…b815243548…c1017263750…
A．722B．800C．882D．968
2.（2024秋 渠县校级期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，1，B．3，4，7C．1，，D．6，8，10
【知识点6】反证法 （1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 1.（2024秋 新化县期末）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　） A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°
【题型1】勾股定理的证明
【典型例题】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三2】在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形
A.甲、乙均可以 B.甲可以，乙不可以 C.乙可以，甲不可以 D.甲、乙均不可以
【举一反三3】课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）
【举一反三4】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中），求证：．
【题型2】利用勾股定理求线段长
【典型例题】在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三1】如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
【举一反三2】中，，，，则的面积为 ．
【举一反三3】如图，在中，．

(1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)计算：在(1)的条件下，若，，求的长
【举一反三4】如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：过点D作交于点E．（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)在(1)的条件下，，求的长．
【题型3】勾股定理与数轴
【典型例题】如图，在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（　　）
A. B. C.2 D.
【举一反三1】如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D.1
【举一反三2】如图，数轴上点C所表示的数是（ ）
A.2 B.3.7 C.3.8 D.
【举一反三3】如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．
【举一反三4】解答下列问题：
(1)在数轴上作出表示的点；
(2)如图，在中，，是的中点，于点.求证：.
【举一反三5】利用直尺和圆规在如图①②所示的数轴上分别作出表示和的点．
【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题
【典型例题】如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.
【举一反三1】如图，有三个正方形，，，点，，，，都在同一直线上，若正方形，的面积分别为和，则正方形的面积为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.11
【举一反三2】若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是，则正方形、、、的面积和是 （ ）
A.14 cm2 B.42 cm2 C.49 cm2 D.64 cm2
【举一反三3】如图，图中的三角形是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A和B的面积分别为100和64，则正方形C的面积为 ．
【举一反三4】如图是清代某晋商大院艺术窗的一部分，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积和是，则其中最大的正方形的边长为 ．
【举一反三5】如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【题型5】勾股定理与折叠问题
【典型例题】如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，∠B=90°．将折叠，使点A与的中点D重合，则的长是（　　）

A.4 B.3 C.6 D.5
【举一反三2】已知如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则（ ）cm.
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三3】如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点G，连接交于点F，若，的面积为15，则的长是 ．
【举一反三4】在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点．
(1)如图1，若点和顶点重合，求的长；
(2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长．
【举一反三5】学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系
【典型例题】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在中，，，点D为边的中点，，将绕点D旋转，它的两边分别交、所在直线于点E、F，有以下4个结论：①；②；③；④当点E、F落在、的延长线上时，，在旋转的过程中上述结论一定成立的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是 （填序号）
①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．
【举一反三3】已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
(1)若，，，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ．
【举一反三4】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【举一反三5】如图，是等边三角形，过点作交的外角平分线于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，，则△ADE为________三角形．
【举一反三1】如图，在中，于点，，则是_____三角形．
【举一反三2】已知：如图，BD⊥AC，E为垂足，△ABE的中线FE的延长线交CD于点G，∠1＝∠2，求证：△CGE是直角三角形．
【举一反三3】如图，在中，是边上的高，点是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．
【题型8】利用逆定理判断能否构成直角三角形
【典型例题】在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】三角形的三边长为a，b，c，且满足，则这个三角形是（ ）
A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
【举一反三2】下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　）
A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，， D.2，3，4
【举一反三3】在中，，，当 时，是直角三角形．
【举一反三4】已知的三边长分别为，，，且的平方根分别是与，，是的整数部分．
(1)求的立方根；
(2)判断三角形的形状．
【举一反三5】如图，在中，于．

(1)求的长．
(2)求的面积．
【题型9】勾股数
【典型例题】下列各组数据的三个数，是勾股数的有（ ）
①，，；②6，8，10；③7，24，25；④，， ；⑤1.5，2，2.5.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A.14 B.16 C.35 D.37
【举一反三2】下列几组数：①8，15，17；②1，2，；③0.3，0.4，0.5；④，，；⑤12，16，20．其中是勾股数的有 ．（填序号）
【举一反三3】寻求某些股数的规律
(1)对于任何一组已知的勾股数都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数．例如：，若把它扩大若把它扩大2倍，3倍就分别是和，····若把它扩大11 倍，就得到________，若把它扩大若把它扩大n倍(n 为正整数)，就得到_________；
(2)对于任意一个大于1的奇数，存在下列勾股数：
若勾股数为3，4，5，因为
若勾股数为 5，12，13，则有
①若勾股数为7，24，25，则有__________；
②若勾股数为 17，，根据以上的规律，求a、b的值．
【题型10】勾股定理与逆定理的综合
【典型例题】如图，将绕点顺时针旋转得到，并使点的对应点点落在直线上，连接，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，在中，，，，为延长线上一点，．若，则的长为 ．

【举一反三3】如图，在四边形中，，则的长为 ．
【举一反三4】如图，在中，，，，是延长线上的点，连接，若，求的长．
【题型11】反证法证明中的假设
【典型例题】玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A.有一个内角大于 B.有一个内角大于等于 C.每一个内角都大于 D.每一个内角都小于
【举一反三1】用反证法证明命题：“等腰三角形的底角是锐角”时，第一步可以假设（　　）
A.等腰三角形的底角是直角
B.等腰三角形的底角是直角或钝角
C.等腰三角形的底角是钝角
D.底角为锐角的三角形是等腰三角形
【举一反三2】用反证法证明“已知：中，，求证：．”时，第一步应假设（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　）
A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于
【举一反三4】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ．
【举一反三5】用反证法证明“若，则”时，应首先设 ．
【举一反三6】用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ．
【题型12】用反证法证明命题
【典型例题】已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与三角形内角和为矛盾
②因此假设不成立．∴
③假设在中，
④由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【举一反三1】已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【举一反三2】数学课上，学生提出如何证明以下问题：
如图，．求证：．

老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下：
证明：假设，
如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．

∵，
∴．
∵，
∴，
这与“________”相矛盾，
∴假设不成立，
∴．
以上证明过程中，横线上的内容应该为 ．
【举一反三3】已知：如图，直线，被所截，，是同位角，且．求证：不平行于．

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