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13.2勾股定理的应用
【题型1】网格问题 2
【题型2】求高度或距离 4
【题型3】水杯中的筷子问题 6
【题型4】最短路径问题 8
【题型5】利用逆定理解决面积问题 10
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 11
【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春 昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2B．3C．4D．5
2.（2024春 望花区期中）如图，玻璃杯的底面半径为4cm,高为6cm,有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（　　） A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【题型1】网格问题
【典型例题】象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A.5 B. C. D.
【举一反三1】如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”)
【举一反三3】如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度．
【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)图中线段的长度是 ，的长度是 ；
(2)在图中画出线段，使得的长为
(3)以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【题型2】求高度或距离
【典型例题】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ）
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【举一反三1】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ）
A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m
【举一反三2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【举一反三3】如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ．
【举一反三4】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
【举一反三5】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【举一反三6】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【题型3】水杯中的筷子问题
【典型例题】有一个长方体的铁盒，长、宽、高分别是，则这个铁盒中能放入的木棒最长为（ ）．（铁盒的厚度忽略不计）

A.7 B.8 C. D.
【举一反三1】如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为，，，现有一把长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m．
【举一反三3】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．

【举一反三4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．

【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？
【题型4】最短路径问题
【典型例题】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为（ ）．
A. B.17 C.5 D.15
【举一反三1】如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）
A.6 厘米 B.7 厘米 C.8 厘米 D.10 厘米
【举一反三2】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm．
【举一反三4】(1)问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，则线段的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是 ．
(2)问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程是 ．
【举一反三5】如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
(1)求点到点的距离；
(2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
【题型5】利用逆定理解决面积问题
【典型例题】如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为 ．
【举一反三1】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．
【举一反三2】如图，在四边形中，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【举一反三3】如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用
【典型例题】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（ ）
A.北偏西50° B.南偏西50° C.南偏东40° D.北偏西40°
【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．

【举一反三3】已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上．
【举一反三4】笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，由于某种原因，由点C到点A的路现在已经不通，为方便游客，决定从点C修一条通往河边的最短路线，在点D处重新建一个漂流点（点A，D，B在同一直线上），现测得，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求路线的长．
【举一反三5】如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．13.2勾股定理的应用
【题型1】网格问题 3
【题型2】求高度或距离 7
【题型3】水杯中的筷子问题 11
【题型4】最短路径问题 14
【题型5】利用逆定理解决面积问题 20
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 23
【知识点1】勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 1.（2025春 昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（　　）亩（1亩=240平方步） A．2B．3C．4D．5
【答案】A 【分析】设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为（50-x）步，根据勾股定理可得x2+302=（50-x）2，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案． 【解答】解：设长方形田的宽为x步，
根据题意得x2+302=（50-x）2，
解得x=16，
∴长方形田的宽为16步，
∴长方形田的面积为16×30÷240=2亩，
故选：A． 2.（2024春 望花区期中）如图，玻璃杯的底面半径为4cm,高为6cm,有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（　　） A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】C 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【解答】解：如图，
由题意得：CB=2×4=8cm,DC=6cm,
∴，
∴露出杯口外的长度为：13-10=3（cm），
故选：C．
【题型1】网格问题
【典型例题】象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（ ）
A.5 B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，
由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大，
最大距离是，
故选A．
【举一反三1】如图，在单位长度为的的网格中，，，，，各点都在格点上，其中长度为的线段是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由勾股定理可得，，，，，
故选：．
【举一反三2】如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”)
【答案】＜
【解析】，
∵，，，
∴，
故答案为：<．
【举一反三3】如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度．
【答案】
【解析】∵A，B，C，D都在边长为1的正方形网格的格点上，
∴，，，．
∴．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)图中线段的长度是 ，的长度是 ；
(2)在图中画出线段，使得的长为
(3)以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
【答案】解　(1)由图可得，
，，
故答案为：，；
(2)如图，，
(3)以、、三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵，，，
∴，由勾股定理的逆定理可知
以、、三条线段为边能构成直角三角形．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．

甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【答案】解　甲同学：解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
，，
，
，
是角三角形．
乙同学：解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
．
．
又在中，，
，
，
是直角三角形．
故答案为：，，，，，，．
【题型2】求高度或距离
【典型例题】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ）
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【答案】A
【解析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：
，
解得：
所以，竹子折断处离地有尺．
故选：A．
【举一反三1】如图，矩形ABCD是一个长为20 m、宽为15 m的长方形草地示意图，现在有一只小狗在点A处玩耍，主人在点C处与人聊天，小狗若想快速回到主人身边，最短奔跑距离为（ ）
A.21 m B.24 m C.25 m D.35 m
【答案】C
【解析】由两点之间线段最短可知，连接AC，如下图所示：
在Rt△ABC中，由勾股定理有：，
故选：C．
【举一反三2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【答案】B
【解析】如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是长方形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【举一反三3】如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ．
【答案】5 m
【解析】∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=x m，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5 m．
【举一反三4】某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米．
【答案】2
【解析】如图：过点D作于点E，则米，
∵米，
∴（米），
在中，由勾股定理得到：（米），
故答案为：2．
【举一反三5】如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断，树顶落在离树根 处，工作人员要查看断痕处的情况，在离树根有的处架起一个长的梯子，点在同一条直线上，求这棵树原来的总高度．
【答案】解　，
，
，，
，
，
，
这棵树原来的总高度为：．
【举一反三6】如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【答案】解　由勾股定理得；，
∴（米），
∵（米），
∴在中，由勾股定理得，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【题型3】水杯中的筷子问题
【典型例题】有一个长方体的铁盒，长、宽、高分别是，则这个铁盒中能放入的木棒最长为（ ）．（铁盒的厚度忽略不计）

A.7 B.8 C. D.
【答案】C
【解析】连接，

∵长方体的铁盒，长、宽、高分别是，
∴，
∴，
∴，
∴这个铁盒中能放入的木棒最长为，
故选：C．
【举一反三1】如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为，，，现有一把长为的筷子插入到收纳盒的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为；
当露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长，高为，
由勾股定理可得：杯里面管长，
则露在杯口外的长度最短为，
．
故选：C．
【举一反三2】如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为 m．
【答案】5
【解析】设，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：5．
【举一反三3】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．

【答案】
【解析】作于，则，根据勾股定理，即可求解．
如图所示，

依题意，，
在中，，
即，
故答案为：．
【举一反三4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．

【答案】解　设水池的深度为尺，
由题意得：
解得：，
则，
答：芦苇长13尺．
【举一反三5】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？
【答案】解　设竹竿长为x 尺，由题意，得：
解得，
答：竹竿长10尺．
【题型4】最短路径问题
【典型例题】如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短路程为（ ）．
A. B.17 C.5 D.15
【答案】B
【解析】如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，
，
由图可得：，，
，
故选：B．
【举一反三1】如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）
A.6 厘米 B.7 厘米 C.8 厘米 D.10 厘米
【答案】D
【解析】如图所示：将杯子侧面展开，作关于杯口的对称点，连接，
最短距离为的长度，
厘米，
最短路程为厘米．
故选：D．
【举一反三2】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为,
∴
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，
故选：C．
【举一反三3】如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为 cm．
【答案】13
【解析】如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图：
∴，
∴这图金属丝的长度至少为，
故答案为：13．
【举一反三4】(1)问题情境一：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，则线段的长是蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是 ．
(2)问题情境二：如图②，在情境一中的地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于地毯的宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，则这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程是 ．
【答案】(1)两点之间，线段最短 (2)
【解析】(1)如图①，连接，线段即为蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路径，依据是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短；
(2)如图②，
根据题意可得：展开图中的
由题(1)可得：在中，
由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处出发，翻越木块后到达点C处需要走的最短路程为.
【举一反三5】如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
(1)求点到点的距离；
(2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
【答案】解　(1)如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，
由长方体的性质得到：，
，
，
点到点的距离为；
(2)如图1，把左侧面展开到水平面上，连接，
由题意可得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
如图2，把右侧展开到正面上，连接，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接，
由题意可得：，
在中，根据勾股定理得：；
同理，把向上的面展开到后面时，；
∵，
∴则需要爬行的最短距离是．
【题型5】利用逆定理解决面积问题
【典型例题】如图，所在的直线是的对称轴，， 则的面积为 ．
【答案】
【解析】，
是直角三角形，
，
是的对称轴，
，
，
故答案为：．
【举一反三1】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】连接，过点D作于点F，
由题意，知，，，，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【举一反三2】如图，在四边形中，，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
【答案】解　(1)连接，如图，
，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
(2)在中，，
在中，．
．
【举一反三3】如图，在中，是边上的一点，，，，．求的面积．
【答案】解　∵
∴，
为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用
【典型例题】如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接AC，
在中，，，，，
，
在中，，，
，
∴，
∴是直角三角形，且．
∴，
∴这块菜地的面积是，
故选：B.

【举一反三1】一艘轮船以16海里/时的速度离开港口（如图），向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里（即BA=30），问另一艘轮船的航行的方向是（ ）
A.北偏西50° B.南偏西50° C.南偏东40° D.北偏西40°
【答案】A
【解析】由题意得：（海里），（海里），
，，
，
，
，
另一艘轮船的航行的方向是：北偏西，
故选：A．
【举一反三2】如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金 元．

【答案】11700
【解析】连接，

、米，米，
（米），
米，米，
，
是直角三角形，
四边形的面积为：
（平方米），
则（元），
即铺这块空地需要投入11700元，
故答案为：11700．
【举一反三3】已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上．
【答案】南偏东或北偏西
【解析】根据题意得，，
∵，，，
∴，
∴，
如图所示，当点B在下方时，
∴，
∴岛B在岛C的南偏东方向上；
如图所示，当点B在上方时，
∴，
∴岛B在岛C的北偏西方向上；
综上所述，岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上．
故答案为：南偏东或北偏西．
【举一反三4】笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，由于某种原因，由点C到点A的路现在已经不通，为方便游客，决定从点C修一条通往河边的最短路线，在点D处重新建一个漂流点（点A，D，B在同一直线上），现测得，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求路线的长．
【答案】解　(1)是直角三角形，理由如下：
在中，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形；
(2)由(1)知，，
∴
∴
答：路线的长为．
【举一反三5】如图，某人从A地到B地共有三条路可选，第一条路是从A到B，为10米，第二条路是从A经过C到达B地，为8米，为6米，第三条路是从A经过D地到B地共行走26米，若C、B、D刚好在一条直线上．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)证明　∵米，米，米，
∴，
∴是直角三角形，；
(2)解　设米，则米，
∴米
在中，由勾股定理得：，
解得：
则
答：的长为9米．

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