资源简介

12.2三角形全等的判定
【题型1】全等三角形的性质 5
【题型2】全等三角形判定条件的探索 8
【题型3】全等三角形的定义 13
【题型4】全等三角形的对应元素 15
【题型5】用SAS判定三角形全等 17
【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合 19
【题型7】SAS的实际应用 23
【题型8】ASA判定三角形全等 28
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合 31
【题型10】ASA的实际应用 35
【题型11】用AAS判定三角形全等 40
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合 42
【题型13】AAS的实际应用 45
【题型14】用SSS判定三角形全等 47
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合 51
【题型16】SSS的实际应用 54
【题型17】用HL判定直角三角形全等 56
【题型18】HL与全等三角形的性质的综合 58
【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1.（2025春 五华县期末）如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　） A．∠E=∠BB．ED=BCC．AB=EFD．AF=CD
【答案】D 【分析】判定△ABC≌△DEF已经具备的条件是∠A=∠D，∠1=∠2，再加上两角的夹边对应相等，就可以利用ASA来判定三角形全等． 【解答】解：∵AF=CD
∴AC=DF
又∵∠A=∠D，∠1=∠2
∴△ABC≌△DEF
∴AC=DF，
∴AF=CD
故选：D． 【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（　　）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】根据HL可得①正确；由SAS或AAS或ASA可得②正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等． 【解答】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；
故选：C． 【知识点3】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A．3B．C．4D．
【答案】B 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出AC的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠CEA=∠CEA，得到CE=AC，即可求解． 【解答】解：由作图可知，AE平分∠CAD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，BC=AB=3，∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC=3，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠CEA=∠DAE，
∴∠CEA=∠DAE=∠CAE，
∴，
故选：B． 2.（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC=8，BC=12，则△DAC的周长为（　　） A．17B．16C．18D．20
【答案】D 【分析】由题意可得MN垂直且平分AB，根据垂直平分线的性质可得AD=DB，从而可得C△ADC=AC+BC，求解即可． 【解答】解：由条件可知AD=DB，
∴C△ADC=AC+AD+CD=AC+CD+DB=AC+BC=20，
故选：D．
【题型1】全等三角形的性质
【典型例题】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△DCB，
∴BD＝AC＝7，
∵BE＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
故选：A．
【举一反三1】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　)
A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm
【答案】B
【解析】∵△ABE≌△ACD，CD＝3.3 cm，
∴BE＝CD＝3.3 cm，
∵BD＝1.1 cm，
∴DE＝3.3﹣1.1＝2.2( cm)，
故选：B．
【举一反三2】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　)
A.47° B.35° C.37° D.53°
【答案】C
【解析】∵AB⊥CD，
∴∠CAB＝90°，
∵∠C＝53°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝37°，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠D＝∠B＝37°．
故选：C．
【举一反三3】若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为 　　．
【答案】30
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∵EF＝BC＝30，
∴x＝30．
故答案为：30．
【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
(1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　；
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
【答案】解　(1)∵△ABC≌△DEB，DE＝9，BC＝5，
∴AB＝DE＝9，BC＝BE＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝9﹣5＝4．
故答案为：4．
(2)∵△ABC≌△DEB，∠C＝60°，∠D＝35°，
∴∠C＝∠DBE＝60°，∠A＝∠D＝35°，
∵∠D＝35°，
∠AEF＝∠ABD+∠D＝60°+35°＝95°，
∴∠DBC＝∠AEF﹣∠D＝95°﹣35°＝60°．
【举一反三5】完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
【答案】解　(1)∵△ABC≌△AEF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
∴∠EAB＝∠CAF；
(2)∵∠EAB＝25°，△ABC≌△AEF，
∴△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知，∠EAB＝∠FAC＝25°，
∵△ABC≌△AEF，
∴∠C＝∠F＝57°，
∴∠AMB＝∠C+∠FAC＝57°+25°＝82°．
【题型2】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】下列说法正确的是(　　)
A.三个角对应相等的三角形是全等三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.所有等腰三角形都是全等三角形
D.所有等边三角形都是全等三角形
【答案】B
【解析】A ．三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项错误；
B ．全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；
C ．两个等腰三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误；
D ．两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．
故选：B．
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.两个等腰直角三角形全等
B.有两个角对应相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
【答案】C
【解析】A．如图：
图中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；
B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误．
C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；
D．两个等边三角形的边不一定相等，故不一定全等，故本选项错误．
故选C．
【举一反三2】如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有(　　)
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【答案】B
【解析】如图：
对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【答案】3
【解析】如图，把沿直线对折可得：
把 沿直线对折可得：
∴
所以符合条件的点有3个，
故答案为：3.
【举一反三4】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【答案】①③
【解析】根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③
【举一反三5】如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分(线段的端点是小正方形的顶点)；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
【答案】解　(1)如图所示，即为所求；

(2)如图所示，作的中点D，连接，线段即为所求；

(3)如图所示：

【举一反三6】如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．
(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；
(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．
【答案】解　(1)如图①；
(2)如图②．
【题型3】全等三角形的定义
【典型例题】下列说法正确的是(　　)
A.形状相同的两个三角形全等
B.周长相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.形状．大小相同的两个三角形全等
【答案】D
【解析】A．形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
B．周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
C．面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意；
D．形状．大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】关于全等三角形，下列说法正确的是(　　)
A.大小相等的三角形是全等三角形
B.面积相等的三角形是全等三角形
C.三个角对应相等的三角形是全等三角形
D.两个三角形全等，它们的形状一定相同
【答案】D
【解析】A．大小相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
B．面积相等的三角形，形状不一定相同，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
C．三个角对应相等的三角形，边长不一定相等，所以不一定完全重合，故该选项不符合题意；
D．两个三角形全等，它们的形状一定相同，故该选项符合题意；
故选：D．
【举一反三2】下列说法中正确的是(　　)
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【答案】D
【解析】A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．
故选：D．
【举一反三3】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【答案】C
【解析】两个三角形全等，它们的形状一定相同，故①正确，
两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，故②错误，
两个三角形全等，它们的面积一定相等，故③正确，
两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，故④错误，
综上，正确的说法是①③，
故选C.
【举一反三4】下列说法正确的是(　　)
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.所有的直角三角形都是全等三角形
【答案】B
【解析】A．全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误；
B．全等三角形的周长和面积分别相等，该选项正确；
C．面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误；
D．所有的直角三角形不一定都是全等三角形，该选项错误．
故选：B．
【举一反三5】和全等，记作 　　 ．
【答案】
【解析】和全等，记作，
故答案为：．
【举一反三6】和全等，记作 　　 ．
【答案】
【解析】和全等，记作，
故答案为：．
【举一反三7】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上．
【答案】对应顶点　　对应边　　对应角　　对应顶点
【解析】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．
故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点．
【题型4】全等三角形的对应元素
【典型例题】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　)
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【答案】A
【解析】∵与是对应角，和是对应角，
∴和是对应角，
∴与是对应边，
故选A．
【举一反三1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴∠的对应角是，
故选：．
【举一反三2】如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边 ．
【答案】AB和AC,AD和AE,BD和CE
【解析】∵△ABD≌△ACE，∠BAD和∠CAE，∠ABD和∠ACE，∠ADB和∠AEC是对应角，
∴BD与CE，AD与AE，AB与AC为对应边，
故答案为：AB与AC，AD与AE，BD与CE．
【举一反三3】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．

【答案】解　∵如图，与全等，
∴点与点，点与点，点与点是对应顶点，
∴；
相等的边为，，；
相等的角为，，．
【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】下列选项中与如图所示的三角形全等的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，第三个内角的度数为，
A项，只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项不符合题意；
B项，两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项不符合题意；
C项，两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项符合题意；
D项，相等两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是(　　)
A.OB＝OC B.AB＝DC C.∠A＝∠D D.∠B＝∠C
【答案】A
【解析】要用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是OB＝OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC(S.A.S.)，
故选：A．
【举一反三2】如图，在中，，是中线，则由 可得．

【答案】
【解析】∵是中线，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【举一反三3】如图，，可得的依据是 ．

【答案】
【解析】由，可得，证明，然后作答即可．
∵，
∴，
∵，，，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知，，E．F是上两点，且．求证：
【答案】证明　∵，
∴，即．
又∵，
∴．
在和中
，
∴．
【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有(　　)
A.②③ B.①③ C.①②③④ D.①②③
【答案】B
【解析】①△ABD和△ACD是等底同高的两个三角形，其面积相等；
②注意区分中线与角平分线的性质；
③由全等三角形的判定定理S.A.S.证得结论正确；
④由③中的全等三角形的性质得到．
①∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD面积相等；
故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD不是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②不一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE(S.A.S.)．
∴∠CED＝∠BFD，
∴BF∥CE；
故③一定正确．
④∵△BDF≌△CDE(S.A.S.)．
∴CE＝BF，故④错误；
综上所述，正确的结论是：①③，共有2个．
故选：B．
【举一反三1】如图，点A，E，F，C在同一条直线上，BE∥DF，BE＝DF，AF＝CE．则下列选项不正确的是(　　)
A.AE＝CF B.△ABE≌△CDF C.AD＝AB D.AB∥CD
【答案】C
【解析】∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
∴A正确，不符合题意；
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF(S.A.S.)，
∴B正确，不符合题意；
在△CBE和△ADF中，
，
∴△CBE≌△ADF(S.A.S.)，
∴AD＝CB，
不能得出AD＝AB，
∴C不正确，符合题意；
∵△ABE≌△CDF，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴AB∥CD，
∴D正确，不符合题意．
故选：C．
【举一反三2】如图，在和中，，，，，则的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】，，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
故选：C．
【举一反三3】在中，，，延长到D，使，连接，则长度的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如下图，延长到E，使，连接

在和中，
∴，
∴．
∵
∴，
∴．
【举一反三4】如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】解　(1)，理由如下：
∵，
，
，
在与中，
．
(2)，理由如下：
设交于点O，
由(1)得，
，
，
，
．
【题型7】SAS的实际应用
【典型例题】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【解析】方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故选：D．
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等(　　)
A.BE B.AE C.DE D.DP
【答案】C
【解析】∵AP平分∠BAC．
∴∠EAD＝∠FAD，
在△ADE与△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF(S.A.S.)，
∴DF＝DE，
即所换长度应与DF的长度相等，
故选：C．
【举一反三2】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)在图中，若测量得A'B'＝10 cm，则工件内槽宽AB为 　　 cm．
【答案】10
【解析】连接A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′(S.A.S.)．
∴A′B′＝AB，
∵A'B'＝10 cm，
∴AB＝10 cm，
故答案为：10．
【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗 请说明理由： .
【答案】证明得出，即海岛在观测点的正北方
【解析】由题意得：，，
海岛分别到观测点的距离相等，
，
在和中，
，
，
，
海岛在观测点的正北方，
故答案为：证明得出，即海岛在观测点的正北方．
【举一反三4】如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上)，并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长．
【答案】解　∵为中点,
∴,
在和中,
，
∴,
∴ 米,
答：池塘的长为米．
【举一反三5】我县某中学计划为学生暑假军训配备如图①所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中蹬腿和的长度相等，交于O是它们的中点，为了使折凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【答案】解　的长度为．理由如下：
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
所以的长度为．
【题型8】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，即，
∵
∴，
又，
∴，
∴选项D正确；
而选项A．B．C都无法证明三角形全等，
故选：D．
【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　)
A.，
B.，与不全等
C.与不全等，
D.与全等，与不全等
【答案】B
【解析】在和中，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵，
∴，
∴与不全等，
故选：．
【举一反三2】如图，，，要使用“A.S.A.”判定，应添加的条件是 ．

【答案】
【解析】添加，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图，相交于点O，已知，要直接根据“”证明，还要添加一个条件是 ．

【答案】
【解析】添加，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】已知：如图，，求证：．

【答案】证明　∵
∴
即
在和中
，
∴．
【举一反三5】已知，如图，在中，点D为线段上一点，，过点D作且，求证：．
【答案】证明　，
，
在和中，
，
．
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】如图，延长、交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　)
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【答案】B
【解析】∵△ABE≌△AFC，
∴∠EAB＝∠CAF，AC＝AB，∠C＝∠B，
∴∠EAC＝∠FAB，故A正确；
在△ACN与△ABM中，
∴△ACN≌△ABM，故C正确；
∴AM＝AN，故D正确；
故选：B．
【举一反三2】如图，，，，，则等于 ．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 .
【答案】
【解析】延长交直线a于F，
于点D，于点E，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三4】已知：如图，，，．求证：．
【答案】证明　，
，
，，
，
，
，
即，
又，
，
，
．
【题型10】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)

A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【答案】D
【解析】想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④，
满足的为①④，
故选D．
【举一反三1】计划测量一片湖的宽度，现采用如图所示的方案：
①过点A作于点A，且点在的下方；
②连接，从点进行观测，在的延长线上找一点，使．现只需测量一条线段的长，这条线段是(　　)

A. B. C. D.点A到的垂线段
【答案】A
【解析】 ，
，
在和中，
，
，
要测量的宽度，只需要测量的长即可，
故选：A．
【举一反三2】为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是(　　)
A.只有甲同学的方案可行 B.只有乙同学的方案可行 C.甲、乙同学的方案均可行 D.甲、乙同学的方案均不可行
【答案】A
【解析】甲：∵AB⊥BC，ED⊥BC，
∴∠B＝∠CDE，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC(A.S.A.)，
∴DE＝AB，
故甲正确；
故选：A．
【举一反三3】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．

【答案】
【解析】小江书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：．
【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
(1)你认为他是怎样做到的？
(2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出)
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【答案】解　(1)方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．
(2)①如图，
②已知条件是，．
③战士要测的是．
理由：，
，
在与中，
，
，
．
【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【答案】解　(1)连接，如图所示：

由题意可得，点A、C、E在同一条直线上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
所以小明同学在B点时与A树的距离；
(2)由(1)知道，
那么全等三角形的对应边相等，即，
所以用学过的数学知识能说明小明同学方案是正确的．
【题型11】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A．∵，
∴．
∵，
∴，又
∴，故本选项不符合题意；
B．∵，，
∴，
∵
∴，
又∵，
∴，故本选项不符合题意；
C．由证不出，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，故本选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意得：
，
，，
，，
在和中，
，
，
故选：．
【举一反三2】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
故答案为：．
【举一反三3】如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：．
【答案】证明　在和中，
，
∴．
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是 ．
【答案】
【解析】 ，，
，
在，中，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三1】如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，，
∴，，
在与，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【举一反三2】如图，，，，点在线段上，求证：．

【答案】证明　∵
∴
又∵，，
∴
∴．
【举一反三3】如图，，，，四点在同一条直线上，，，，连接交于．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，直接写出的长．
【答案】(1)证明　，
，
，
∵，
，
在和中，
，
，
，
．
(2)证明　∵，
，
在和中，
，
，
．
(3)解　的长为7，
理由：，，
，
，
，
，
的长为7．
【题型13】AAS的实际应用
【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：.
【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端(即OF＝OG)，如果点O至地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm，这时小明离地面的高度是 　　．
【答案】90 cm
【解析】由题意可知，OF＝OG，∠FOC＝∠DOG，∠FCO＝∠GDO＝90°，
∴△FCO≌△GDO(A.A.S.)，
∴FC＝DG，
∵小敏从水平位置CD下降40 cm，即DG＝40 cm，
∴CF＝40 cm，
又∵点O至地面的距离是50 cm，
∴这时小明离地面的高度是50+40＝90( cm)，
故答案为：90 cm．
【举一反三2】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度．
【答案】解　如图，延长CE交AB于F，
则∠A+∠1＝90°，∠C+∠2＝90°，
∵∠1＝∠2(对顶角相等)，
∴∠A＝∠C，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE(A.A.S.)，
∴DB＝DE，
∵DE＝2米，
∴DB的长度是2米．
【举一反三3】如图，把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6 m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8 m，求梯子下滑的高度．
【答案】解　∵在△ABM与△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM(A.A.S.)，
∴BM＝CM＝6 m，AM＝DM＝8 m，
∴AC＝AM﹣CM＝2 m．
即梯子下滑的高度是2 m．
【题型14】用SSS判定三角形全等
【典型例题】下列条件中，不能判断的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，根据A.A.S.可以判定△ABC≌△DEF，故选项A不符合题意；
B．AB=DE，∠A=∠D，BC＝EF，根据S.S.A.不可以判定△ABC≌△DEF，故选项B符合题意；
C．AC=DF，BC=EF，∠C=∠F，根据S.S.A.可以判定△ABC≌△DEF，故选项C不符合题意；
D．AB=DE，BC=EF，AC=DF，根据S.S.S.可以判定△ABC≌△DEF，故选项D不符合题意；
故选B．
【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？(　　)
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【答案】A
【解析】在和中，
，
∴(S.S.S.)，
∴将剪下来放到上，它们完全重合，
故选：A．
【举一反三2】如图，在和中，已知，若利用“”得到，则需要添加的条件是(　　)

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在和中，，，
只需添加，可以根据“”证明，
故选：C．
【举一反三3】如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴可补充，
在和中，
，
∴ ，
故答案为：．
【举一反三4】如图，，，则，应用的判定方法是 ．
【答案】S.S.S.
【解析】在和中，
，
．
故答案为：．
【举一反三5】如图①．图②均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①．图②中按下列要求各面一个三角形．
(1)与全等，以点为一个顶点，但不与重合；
(2)与全等，且三个顶点都不与点重合．
【答案】解　(1)如图①所示，即为所求．
(2)如图②所示，即为所求．
【举一反三6】如图所示，在人字形屋架中，AB=AC，D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD．
【答案】证明　∵D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴．
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图在和中，点在同一直线上，若，则的大小为(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，
在和 中，
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D．F分别在边BC．AC上，若BC＝ED，AC=CD，AB=CE，且∠ACE=180°-∠ABC-2m，对下列角中，大小为m的角是(　　)
A.∠CDF B.∠ABC C.∠CFD D.∠CFE
【答案】A
【解析】∵BC=DE，AC=DC，AB=EC，
∴△ABC≌△CED(S.S.S.)，
∴∠EDC=∠ACB，∠ABC=∠DEC，
∵，
∴，
∵∠DFC=∠DEC+∠ACE，

∴∠DFC=，
∵∠DFC+∠FDC+∠FCD=180°，
∴∠FDC=．
故选：．
【举一反三2】如图，已知，，，则的度数是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵在和中，
∴，
∴．
故选：A．
【举一反三3】如图，在中，，，D，E是边上的点，连接，，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若，则 ．

【答案】60
【解析】与是关于的轴对称图形，
，
在和中，
，
，
，
，
与是关于的轴对称图形，
，
即，
故答案为：60．
【举一反三4】已知，如图，，求证：.
【答案】证明　连接，如图所示，
∵，，，
∴，
∴.
【举一反三5】如图，点A．B．C．D在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________．
【答案】(1)证明　，
，
，
又，，
,
∴．
(2)证明　∵，
∴，
∴．
(3)解 ∵，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴平移距离，
故答案为：3．
【题型16】SSS的实际应用
【典型例题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，，
∴
∴，即为的平分线．
故选A．
【举一反三1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　)
A.S. B. C. D.
【答案】D
【解析】在和中，
，
，
故选：D．
【举一反三2】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据 ．
【答案】S.S.S.
【解析】小陈同学的说法依据，
故答案为：．
【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．(写出一种即可)
【答案】a，b，c
【解析】分别测量原来三角形玻璃装饰物的三条边的长度，可以画到一样的三角形玻璃装饰物．
故答案为：a，b，c
【难度】基础题
【举一反三4】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由．
【答案】解　，理由如下：
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D．E则图中全等的三角形共有(　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【答案】A
【解析】∵，，，，
∴，
同理可证明．
故选A．
【举一反三1】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是(　　)
A. B.与互余 C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故选D．
【举一反三2】将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ．
【答案】
【解析】添加的条件是：．
∵，
∴在和中，
，
∴．
故答案为：．
【举一反三3】如图，，是上的一点，且，．求证：．
【答案】证明　∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【题型18】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图所示，，，，则(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
则，
故选：A．
【举一反三1】如图，中，，，，，，则等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
．
在和中，，
，
．
，
．
故选：B．
【举一反三2】如图，，于点D，于点E，，若，则 ．

【答案】
【解析】∵，，
∴是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【举一反三3】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)．
【解析】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN(H.L.)，
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN(A.S.A.)，
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM(答案不唯一)．
【举一反三4】如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长．
【答案】解　∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴．
【举一反三5】如图，A、E、F、C四点在同一直线上，，过E、F分别作，，且．
求证：(1)；
(2)平分．
【答案】(1)证明　，
，
，
，
即，
在和中，
，
∴，
，
；
(2)证明　，
，
∵在和中，
，
，
，
平分．12.2三角形全等的判定
【题型1】全等三角形的性质 3
【题型2】全等三角形判定条件的探索 5
【题型3】全等三角形的定义 7
【题型4】全等三角形的对应元素 8
【题型5】用SAS判定三角形全等 9
【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合 10
【题型7】SAS的实际应用 11
【题型8】ASA判定三角形全等 13
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合 15
【题型10】ASA的实际应用 16
【题型11】用AAS判定三角形全等 18
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合 19
【题型13】AAS的实际应用 20
【题型14】用SSS判定三角形全等 21
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合 23
【题型16】SSS的实际应用 24
【题型17】用HL判定直角三角形全等 26
【题型18】HL与全等三角形的性质的综合 27
【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1.（2025春 五华县期末）如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（　　） A．∠E=∠BB．ED=BCC．AB=EFD．AF=CD
【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（　　）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点3】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025春 绿园区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，连接AC．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC的延长线于点E，则CE的长为（　　） A．3B．C．4D．
2.（2025 杭州模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC=8，BC=12，则△DAC的周长为（　　） A．17B．16C．18D．20
【题型1】全等三角形的性质
【典型例题】如图，△ABC≌△DCB，若AC＝7，BE＝5，则DE的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，已知△ABE≌△ACD，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，BD＝1.1 cm，CD＝3.3 cm，则DE的长度为(　　)
A.2.1 cm B.2.2 cm C.2.3 cm D.3 cm
【举一反三2】如图，AB⊥CD，△ABC≌△ADE，∠C＝53°，则∠D＝(　　)
A.47° B.35° C.37° D.53°
【举一反三3】若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为 　　．
【举一反三4】如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
(1)当DE＝9，BC＝5时，线段AE的长为 　　；
(2)已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
【举一反三5】完成下列各题：
如图，已知△ABC≌△AEF，∠EAB＝25°，∠F＝57°．
(1)请说明：∠EAB＝∠CAF；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
【题型2】全等三角形判定条件的探索
【典型例题】下列说法正确的是(　　)
A.三个角对应相等的三角形是全等三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.所有等腰三角形都是全等三角形
D.所有等边三角形都是全等三角形
【举一反三1】下列说法正确的是(　　)
A.两个等腰直角三角形全等
B.有两个角对应相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
【举一反三2】如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有(　　)
A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
【举一反三3】如图，方格纸中的每个小方格的边长为1，△ABC是格点三角形(即顶点恰好是小方格的顶点)．若格点△ACP与△ABC全等(不与△ABC重合)，则所有满足条件的点P有
个．
【举一反三4】全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有 ．
【举一反三5】如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知．
(1)画出中边上的高；
(2)用一条线段将分成面积相等的两部分(线段的端点是小正方形的顶点)；
(3)画一个格点三角形，使之与全等．
【举一反三6】如图，方格纸中的△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上，请在方格纸上按下列要求画图．
(1)在图①中画出与△ABC全等且有一个公共顶点的△A′B′C′；
(2)在图②中画出与△ABC全等且有一条公共边的△A″B″C″．
【题型3】全等三角形的定义
【典型例题】下列说法正确的是(　　)
A.形状相同的两个三角形全等
B.周长相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.形状．大小相同的两个三角形全等
【举一反三1】关于全等三角形，下列说法正确的是(　　)
A.大小相等的三角形是全等三角形
B.面积相等的三角形是全等三角形
C.三个角对应相等的三角形是全等三角形
D.两个三角形全等，它们的形状一定相同
【举一反三2】下列说法中正确的是(　　)
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形
C.全等三角形是指周长相等的两个三角形
D.全等三角形的形状．大小完全相同
【举一反三3】有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是(　　)
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
【举一反三4】下列说法正确的是(　　)
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形
B.全等三角形的周长和面积分别相等
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.所有的直角三角形都是全等三角形
【举一反三5】和全等，记作 　　 ．
【举一反三6】和全等，记作 　　 ．
【举一反三7】把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上．
【题型4】全等三角形的对应元素
【典型例题】已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是(　　)
A.与是对应边 B.与是对应边 C.与是对应边 D.不能确定 的对应边
【举一反三1】如图，，和，和是对应边，则的对应角是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图,△ABD≌△ACE,且∠BAD和∠CAE,∠ABD和∠ACE,∠ADB和∠AEC是对应角,则对应边 ．
【举一反三3】如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．

【题型5】用SAS判定三角形全等
【典型例题】下列选项中与如图所示的三角形全等的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，AC与BD交于点O，若OA＝OD，要用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC，还需要的条件是(　　)
A.OB＝OC B.AB＝DC C.∠A＝∠D D.∠B＝∠C
【举一反三2】如图，在中，，是中线，则由 可得．

【举一反三3】如图，，可得的依据是 ．

【举一反三4】如图，已知，，E．F是上两点，且．求证：
【题型6】SAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接CE，BF，有下列说法：①△ABD和△ACD的面积相等；②∠BAD＝∠CAD；③BF∥CE；④CE＝AE，其中，正确的说法有(　　)
A.②③ B.①③ C.①②③④ D.①②③
【举一反三1】如图，点A，E，F，C在同一条直线上，BE∥DF，BE＝DF，AF＝CE．则下列选项不正确的是(　　)
A.AE＝CF B.△ABE≌△CDF C.AD＝AB D.AB∥CD
【举一反三2】如图，在和中，，，，，则的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】在中，，，延长到D，使，连接，则长度的取值范围为 ．
【举一反三4】如图，大小不同的两块三角板 和 直角顶点重合在点 处，，，连接、，点 恰好在线段 上．
(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；
(2)猜想 与 的位置关系，并说明理由．
【题型7】SAS的实际应用
【典型例题】要测量A，B间的距离(无法直接测出)，两位同学提供了如下测量方案：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C.Ⅰ、Ⅱ都不可行 D.Ⅰ、Ⅱ都可行
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等(　　)
A.BE B.AE C.DE D.DP
【举一反三2】如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)在图中，若测量得A'B'＝10 cm，则工件内槽宽AB为 　　 cm．
【举一反三3】如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛在观测点正北方. 海岛在观测点所在海岸的同一侧. 如果从观测点看海岛的视角与从观测点看海岛的视角相等，海岛分别到观测点的距离相等，问海岛在观测点的正北方吗 请说明理由： .
【举一反三4】如图，小明想要测量池塘的长，池塘西边有一座水房，在的中点处有一棵百年古树，小明从出发，沿直线一直向前经过点走到点三点在同一条直线上)，并使，然后他测得点与水房之间的距离是10米，求池塘的长．
【举一反三5】我县某中学计划为学生暑假军训配备如图①所示的折叠凳，这样设计的折叠凳坐着舒适、稳定．图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中蹬腿和的长度相等，交于O是它们的中点，为了使折凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度是多少？请说明理由．
【题型8】ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是(　　)
A.，
B.，与不全等
C.与不全等，
D.与全等，与不全等
【举一反三2】如图，，，要使用“A.S.A.”判定，应添加的条件是 ．

【举一反三3】如图，相交于点O，已知，要直接根据“”证明，还要添加一个条件是 ．

【举一反三4】已知：如图，，求证：．

【举一反三5】已知，如图，在中，点D为线段上一点，，过点D作且，求证：．
【题型9】ASA与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，将两块相同的三角板(含30°角)按图中所示位置摆放，若BE交CF于D，AC交BE于M，AB交CF于N，则下列结论中错误的是(　　)
A.∠EAC＝∠FAB B.∠EAF＝∠EDF C.△ACN≌△ABM D.AM＝AN
【举一反三2】如图，，，，，则等于 ．
【举一反三3】如图，直线a经过的顶点A，分别过B、C两点作于点D，于点E，，，，，则的长为 .
【举一反三4】已知：如图，，，．求证：．
【题型10】ASA的实际应用
【典型例题】有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是(　　)

A.①② B.②③ C.②④ D.①④
【举一反三1】计划测量一片湖的宽度，现采用如图所示的方案：
①过点A作于点A，且点在的下方；
②连接，从点进行观测，在的延长线上找一点，使．现只需测量一条线段的长，这条线段是(　　)

A. B. C. D.点A到的垂线段
【举一反三2】为测量一池塘两端A，B间的距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E．则测出DE的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线AB，过点B作射线BE，在射线BE上找可直接到达点A的点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，则测出BC的长即为AB间的距离，则下列判断正确的是(　　)
A.只有甲同学的方案可行 B.只有乙同学的方案可行 C.甲、乙同学的方案均可行 D.甲、乙同学的方案均不可行
【举一反三3】小江做限时练中的试题时，不小心把题目中的三角形用墨水弄污了一部分，她想在一块白纸上作一个完全一样的三角形，然后粘贴在上面，她作图的依据是 ．

【举一反三4】小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事：
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡．
(1)你认为他是怎样做到的？
(2)你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？
①画出相应的图形．
②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？(结合图形写出)
③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由．
【举一反三5】如图，小明同学站在一条河堤岸的B点处，正对他的A点有一棵树(简称A树)．他想知道A树距离他有多远，计划实施如下方案：首先，他在B点处沿河岸直走到达另一棵树C处，又继续前行到达D处；接着，从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达E处时，A树正好被C树遮挡住，则停止行走(即点A、C、E在同一条直线上)；最后，他测得的长为．
请根据以上信息，回答下面问题：
(1)小明同学在B点时与A树的距离为_______m(直接写出结果)；
(2)请用学过的数学知识说明小明同学方案的正确性．
【题型11】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图所示，在中，，，，点F在边上，连接，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定与全等的是(　　)

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点在外部，点在的边上，交于点，若，，则(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点B．F．C．E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是： ．
【举一反三3】如图所示，点E在上，点D在上，，．求证：．
【题型12】AAS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是 ．
【举一反三1】如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
【举一反三2】如图，，，，点在线段上，求证：．

【举一反三3】如图，，，，四点在同一条直线上，，，，连接交于．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，直接写出的长．
【题型13】AAS的实际应用
【典型例题】太阳光线和是平行的，在同一时刻两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下，其影子一样长.这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 .
【举一反三1】如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，支点O是跷跷板的中点，两人分别坐在跷跷板两端(即OF＝OG)，如果点O至地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm，这时小明离地面的高度是 　　．
【举一反三2】如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时他测得DE＝2米，求DB的长度．
【举一反三3】如图，把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6 m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8 m，求梯子下滑的高度．
【题型14】用SSS判定三角形全等
【典型例题】下列条件中，不能判断的是(　　)
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？(　　)
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【举一反三2】如图，在和中，已知，若利用“”得到，则需要添加的条件是(　　)

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，，若要用“”证明，需要补充一个条件，这个条件是 ．
【举一反三4】如图，，，则，应用的判定方法是 ．
【举一反三5】如图①．图②均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①．图②中按下列要求各面一个三角形．
(1)与全等，以点为一个顶点，但不与重合；
(2)与全等，且三个顶点都不与点重合．
【举一反三6】如图所示，在人字形屋架中，AB=AC，D是BC的中点．求证：△ABD≌△ACD．
【题型15】SSS与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图在和中，点在同一直线上，若，则的大小为(　　)

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，点D．F分别在边BC．AC上，若BC＝ED，AC=CD，AB=CE，且∠ACE=180°-∠ABC-2m，对下列角中，大小为m的角是(　　)
A.∠CDF B.∠ABC C.∠CFD D.∠CFE
【举一反三2】如图，已知，，，则的度数是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，，，D，E是边上的点，连接，，以的边所在直线为对称轴作的轴对称图形，连接，若，则 ．

【举一反三4】已知，如图，，求证：.
【举一反三5】如图，点A．B．C．D在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________．
【题型16】SSS的实际应用
【典型例题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是(　　)
A.S. B. C. D.
【举一反三2】肖老师为班级中每名同学准备了长分别为、、三根木条，所有同学都用三根木条，首尾顺次拼接组成三角形，这时小陈同学说：“我们所有人的三角形，形状和大小是完全一样的”小陈同学的说法依据 ．
【举一反三3】如图，小明家的衣柜上镶有两块形状和大小完全相同的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈想让小明到玻璃店配一块回来，请把小明该测量△ABC的边或角写下来 ．(写出一种即可)
【举一反三4】一种雨伞的轴截面如图所示，伞骨，支撑杆，，．当沿伞轴滑动时，雨伞开闭，此过程中，与有何关系？请说明理由．
【题型17】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，是等腰直角三角形，，若，垂足分别是点D．E则图中全等的三角形共有(　　)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【举一反三1】如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是(　　)
A. B.与互余 C. D.
【举一反三2】将和如图所示放置，已知，若利用“”证明，则需要添加的条件是 ．
【举一反三3】如图，，是上的一点，且，．求证：．
【题型18】HL与全等三角形的性质的综合
【典型例题】如图所示，，，，则(　　)

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，中，，，，，，则等于(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，于点D，于点E，，若，则 ．

【举一反三3】如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【举一反三4】如图，在中，，，在上取一点E，使，过点E作，连接，使，若，求的长．
【举一反三5】如图，A、E、F、C四点在同一直线上，，过E、F分别作，，且．
求证：(1)；
(2)平分．

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