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(共19张PPT)
有理数指数幂
一
导入
　　数量的单调增长和衰减的现象，大量
出现在客观世界的变化过程之中．从乘方
开方运算发展出来的指数函数、对数函数
和幂函数，既是描述增加或衰减过程的三
种基本数学模型，又是沟通乘法和加法两
种基本数学运算的桥梁，在理论和实践中
扮演了重要角色．
1
根式
2
分数指数幂
目 录
CONTENTS
一 根式
一
根式
　　在初中，我们引入了正整数指数幂的概念，把n(正整数)个实数a的连乘记作an，后来，又把幂指数的概念扩大到整数范围，规定了当a≠0时a0＝1和
(n∈N).
　　我们还知道，整数指数幂的运算有下列运算法则：
am·an=am+n ， (am) n=amn ，
(ab)n=anbn.
　　下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
　　若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根.
　　当n是奇数时，数a的n次方根记作　　.
　　当a＞0时， ＞0；当a＝0时， ＝0；当a＜0时， ＜0.
　　例如，　　＝2，　　＝－2；x3＝－3时，有 .
　　当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数.其中正的n次方根叫作算术根，记作　　.
一
根式
　　当a＞0时，如xn＝a，则　　　　
　　例如，若x2＝3，则 ；若x4 ＝3，则
　　再规定：　　 ，负数没有偶次方根.
　　式子　　叫作根式　(n∈N，n≥2)，n叫作根指数，a叫作被开方数．
　　根据上述定义，有( )2 ＝3，( )3 ＝－7. 　
一
根式
一般地，有
由根式的定义，又有
一般地，
一
根式
(　　)n=a.
3
3
3
4
4
4
当n为奇数时， ；
当n为偶数时，
n
n
一
根式
　　　　　化简下列各式：
　(1) 　　　；　　 (2) 　　　；　　 (3) 　　　　；
　(4)　　　　 (a＜b) ； 　　(5)　　　　　
　解　(1) 　　　 =－2；
　　　(2) 　　　 = =2；
　　　(3) =3－a；
　　　(4)　　　　 =｜a－b｜=－(a－b)=b－a；
　　　(5)　　　　 =｜3－a｜=
例
1
3
4
3
3
4
4
3
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二 分数指数幂
二
分数指数幂
　　根式运算是一件比较复杂的事，例如，常常要先把根式化为同次根式再按运算法则进行运算，引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
　　当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
这样就有　 方便多了．
n
n
n
6
二
分数指数幂
　　如果再规定0的正分数指数幂为0，0没有负分数指数幂，那么，在a＞0时，对于任意有理数r，s仍有下列运算法则：
这就把整数指数幂推广为有理数指数幂了．
ar·as=ar+s，(ar)s=ars，
(ab)r=arbr (b>0)．
二
分数指数幂
　　　　　求值：
　(1) 　　；　 (2) 　　；　　(3) 　　；　 (4) 　　　．
　解　(1) 　 ；
　　　(2) ；
　　　(3) ；
　　　(4)
例
2
二
分数指数幂
　　　　用分数指数幂的形式表示下列各式(a＞0) ：
　(1) ； (2) ； (3)
　解　(1) 　　　　　　　　　　；
　　　(2) 　　　　　　　　　　　 ；
　　　(3)
例
3
4
4
3
二
分数指数幂
　　　　计算下列各式（式中字母都是正数）：
　(1)
　(2)
　解　(1)
　　　(2)
例
4
二
分数指数幂
　　建立分数指数幂的目的之一是简化根式运算，下面举例来说明．
　　　　　用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）：
　　(1) 　　　　； 　(2)　　　　　　　；　(3) 　　　　　　．
　　解　 (1)
　　 (2)
(3)
例
5
3
3
3
3
3
3
二
分数指数幂
　　1.用根式的形式表示下列各式(a>0)：
　　(1) 　； (2) 　； (3) 　； (4) 　．
　　2.用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
　　(1) 　； (2) 　　　 ； (3) ；
　　(4) 　　　　　　　； (5) 　　；　　(6) .
练 习
4
二
分数指数幂
　　3.计算：
　　(1) 　　；　　 (2) 　　 ； (3) ；
　　(4) ； (5)
　　4.化简(式中字母都是正数)：
　　(1) 　　　　　　　　　　　　　；
　　(2) 　　　　　　　　　　　 ．
练 习
3
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