资源简介

(共27张PPT)
人教版九上 数学
同步课件
1.理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.
2.经历圆周角定理的探索和证明的过程，进一步体会分类讨论、化归的思想方法.
3.能够应用圆周角定理及其推论进行简单的证明与计算.
4.掌握圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质，并能灵活运用.
上节课我们学习了圆周角的概念，我们知道，顶点在 的角叫做圆心角，如下图中的∠ .
那么图中的∠ACB又是什么角呢？它与圆心角又有怎样的区别和联系呢？
AOB
圆心
问题1 观察图形，圆中∠AOB( 圆心角)与∠ACB有什么特点？
∠AOB顶点在圆心O上 ，∠ACB顶点在圆上
联系：∠AOB、∠ACB对应同一条弧 (若连接AB ，则对应同一条弦AB).
圆周角必须具备两个条件：
①顶点在圆上；②两边都与圆相交.
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角.
温馨提示
名称 关系 圆心角 圆周角 图形
区别 顶点在圆心 顶点在圆上
一条弧所对的圆心角唯一 一条弧所对的圆周角有无数个 联 系 角两边都与圆相交 ·
C
O
B
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
例1 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（4）
是
不是，顶点不在圆上
不是，边AC没有和圆相交
不是，顶点不在圆上
·
C
O
B
A
（5）
是，边AC、AB是射线延长后可与圆相交
·
C
O
B
A
（6）
不是，边AC、AB没有和圆相交
画一画 请自己画一个圆，任意作一条弦，画出弦所对应的圆心角和圆周角，观察弦，圆心角，圆周角之间的关系.
画法展示：
同一条弦或弧对应一个圆心角，但是对应无数个圆周角．
量一量 测量画出来的圆心角、圆周角的度数，你发现了什么？
画法展示：
通过测量可以得到
温馨提示：点击查看源文件
试一试 你能证明这个结论吗？
情形二：
圆心O在∠BAC的内部
情形一：
圆心O在∠BAC的一边上
情形三：
圆心O在∠BAC的外部
情形一：圆心O在∠BAC的一边上
证明：
∵OA=OC，
∴∠A=∠C．
又∵∠BOC=∠A+∠C
∴
O
A
B
O
A
C
O
A
B
C
D
情形二：圆心O在∠BAC的内部
O
A
B
C
O
A
C
O
A
B
D
情形三：圆心O在∠BAC的外部
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
例2 如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠AOB＝50°，则∠ACB 等于( )
A. 20° B. 25°
C. 30° D. 50°
B
问题2 观察图形，圆周角∠ACB与∠ADB有什么联系？请测量并证明你的结论！
∠ADB=∠ACB
∵圆心角∠AOB所对弧为弧AB，圆周角∠ADB、∠ACB所对弧为弧AB，
∴∠AOB=2∠ADB=2∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB.
证明：连接AO，BO，
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∠ADB=∠ACB=90°
问题3 观察圆周角∠ACB与∠ADB，有什么发现？证明你的结论.
证明：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ADB、∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB= ∠AOB=90°.
点拨：具体题目中看到直径构造90°圆周角(直角三角形)；看到90°构造直径.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
O
C
B
D
A
解：如图，连接OD.
∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，BC=
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∴
O
C
B
A
E
变式 如图，⊙O的直径AE=8，∠B=∠EAC，求AC的长.
解：连接CE，
∵∠B=∠EAC，∠B=∠E，
∴∠EAC=∠E
∴CE=AC，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°，
∵AE=8，
∴
问题4 图中四边形ABCD有什么特征？
顶点都在圆上
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
圆内接四边形的四个角之间有什么关系？
如图，连接OB，OD．
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又∵ 和 所对的圆心角的和是周角，
∴
同理
思考
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
例4 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=140°，则∠BCD的度数为_________.
110°
140°
70°
1.(2024泰安)如图，AB是⊙O的直径，C、D是上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°，则∠A的度数为( )
A.65° B.55° C.50° D.75°
A
D
O
C
B
A
2.(2024滨州)如图，四边形ABCD内接于⊙O中，若四边形OABC是菱形，则∠D=_____°.
60
C
O
B
A
D
解析：∵四边形OABC是菱形，∴∠AOC=∠B，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D=180°，
又∵∠AOC=2∠D(同弧所对的圆周角是圆心角的一半)，
∴∠B+∠D=∠AOC+∠D=2∠D+∠D=3∠D=180°，
∴∠D=60°
3.(2024武汉)如图，AB是半圆O的直径，C是 上一点，点D是 的中点，连接AD.
(1)求证：AC//OD；
O
B
A
C
D
(1)证明：∵点D是 的中点，
∴ ，
∴∠CAD=∠BAD，则∠CAB=2∠BAD，
又∵∠BOD=2∠BAD，∴∠CAB=∠BOD，
∴AC//OD.
O
B
A
C
D
M
(2)解：连接BC交OD于点M，连接BD，
∵AB是半圆O的直径，∴∠C=90°.
在Rt△ABC中，
∵AC//OD，∴∠OMB=∠C=90°，∴
在Rt△OBM中，
∴DM=5-4=1.
在Rt△DBM中，
在Rt△ABD中，
(2)若AB=10，AC=8，求AD的长.
圆内接四边形的对角互补.
圆周角
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
定理
推论
圆内接
四边形
1.同弧或等弧所对的圆周角相等.
2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
∠C=∠D=90°
∠B+∠D=180°，∠DAB+∠DCB=180°
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑