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六安一中2026届高三年级第三次月考
数学试卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，设，若点满足，点为中点，则=（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角的对边分别为．若，为中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．在中，．则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的面积为3 D．的外接圆半径为
10．设为复数，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C．若均为纯虚数，则为实数 D．若，则
11．已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，若，且，则 .
13．求值： .
14．在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）
已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形．
（1）求ω与a的值；
（2）若，且，求的值．
16．（本小题满分15分）
设函数．
（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标．
17．（本小题满分15分）
已知向量，，函数.
（1）求的最小正周期及值域.
（2）设函数.
①求图象的对称中心；
②当时，函数的图象与直线有两个交点，求实数的取值范围.
18．（本小题满分17分）
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，．
（1）若，，求向量夹角的余弦值；
（2）若向量共线．
①求证：角为直角；
②求的取值范围．
19．（本小题满分17分）
已知函数，为函数的导函数．
（1）令，若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）讨论函数在上的单调性；
（3）令，若在上有零点，求实数的取值范围．
六安一中2026届高三年级第三次月考
数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C D B B D B A BD BCD ACD
12． 13． 14．
15．（1）由已知得，.............................2分
，，．.............................4分
由图象可知，正三角形的高即为函数的最大值a，得................6分
（2）由（1）知，即．，
，，.............................8分
．...........................13分
16．（1）因为函数在区间上是减函数，则对任意的，恒成立，
故对任意的恒成立，令，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
所以，，故实数的取值范围是.............................7分
（2）设切点坐标为，，则切线斜率为，
所以，函数在处的切线方程为，
将原点坐标代入切线方程并化简得，.............................10分
令，其中，则，
故函数在上为增函数，且，由，可得，
因此，切点的横坐标为．..............................15分
17．【详解】（1），
，
，..........3分
的最小正周期，值域为...............................5分
（2）；..............................7分
①令，解得：，此时，
图象的对称中心为；..............................9分
②当时，，
则当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
，，，
可得在的大致图象如图所示，
当函数的图象与直线有两个交点时，由上图可知：．........................15分
18．（1）若，，则，，
则，所以向量夹角的余弦值为．.....................5分
（2）①若向量共线，则，即，
可得，则，
因为，则，可知，，可得，即，可得，且，
则，可得，则.....................11分
②由①可知：
，.....................13分
令，因为，则，，
可得，且，
则，.....................15分
令，在区间内单调递增，且，，
可得，所以的取值范围为．....................17分
（注：用其他方法证明“角为直角”，请酌情给分。例如使用“和差化积”公式等）
19．（1），由已知，在上有解，
则只需，，
当时，最小值为，所以；.....................5分
（2）由题意知，
求导得，
当时，，，
当，则， 解得，即，，
当则，解得，即，，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；.....................10分
（3），则，
①当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．所以在区间上恒成立，即在区间上无零点．
②当时，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，即．
（ⅰ）时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，所以在区间上无零点．
（ⅱ）当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，即当时，取得最小值，因为，所以．因为，所以当时，，此时，在区间上恒成立，在区间上无零点．
当时，，故存在，使得．
综上所述，实数的取值范围是．.....................17分

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