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人教版九下 数学
同步课件
1. 了解在直角坐标系中多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似关系.
2. 会用图形的坐标变化表示图形的位似变换，了解位似图形的点的坐标的变化规律.
3. 能根据要求作图形的位似变换.
A
B
C
A1(-1，3)
B1(-1，1)
C1(3，2)
A1
B1
C1
如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).
(1) 将 △ABC 向左平移3个单位长度得到 A1B1C1，写出 A1，B1，C1 的坐标.
x
y
A
B
C
B2
A2
C2
A2(2，-3)
B2(2，-1)
C2(6，-2)
如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).
(2) 写出 △ABC 关于x轴对称的 △A2B2C2的三个顶点 A2，B2，C2的坐标.
x
y
00
A
B
C
A3
B3
C3
A3(-2，-3)
B3(-2，-1)
C3(-6，-2)
如图，△ABC 三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(6，2).
(3) 将 △ABC 绕点O旋转180°得到 △A3B3C3，写出 A3，B3，C3的坐标.
x
y
我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).类似地，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？
1.如图，在平面直角坐标系中，有两点 A ( 6，3 )，B ( 6，0 )．以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩小，写出对应点的坐标.
探究
A
B
A′
B′
A′′
B′′
A，B 的对应点为A′ ( 2，1 )，B' ( 2，0 )；
A" ( -2，-1 )，B" ( -2，0 ).
x
y
2.如图，△AOC 三个顶点坐标分别为 A ( 4，4 )，O ( 0，0 )，C ( 5，0 )，以点 O 为位似中心，相似比为 2，将 △AOC 放大，写出对应点的坐标.
A
O
C
C′
A′
A′′
C′′
A，O，C的对应点为A' ( 8，8 )，O ( 0，0 )，C' ( 10，0 );
A" ( -8，-8 )，O ( 0，0 )，
C" ( -10，0 )
A ( 6，3 )，B ( 6，0 )
A′ ( 2，1 )，B' ( 2，0 )
A" ( -2，-1 )，B" ( -2，0 )
相似比为
A ( 4，4 )，O ( 0，0 )，C ( 5，0 )
相似比为 2
A' ( 8，8 )，O ( 0，0 )，C' ( 10，0 )
A" ( -8，-8 )，O ( 0，0 )，C" ( -10，0 )
你发现了什么？
归纳总结
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 ( x，y ) 对应的位似图形上的点的坐标为( kx，ky )或 ( -kx，-ky ).
例 如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( -2 , 4 )，B ( -2 , 0 )，O ( 0 , 0 ). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为 .
A
B
O
分析：由于要画的图形是三角形，所以关键是确定它的各顶点坐标. 根据前面总结的规律，点 A 的对应点 A' 的坐标为( -2× , 4× )，即 ( -3 , 6 ). 类似地，可以确定其他顶点的坐标.
x
y
解：如图，利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′( -3 , 6 )，B′( -3 , 0 )，O( 0 , 0 ). 顺次连接点 A′，B′，O，所得 △A′B′O 就是要画的一个图形.
A
B
O
A′
B′
A′′
B′′
还可以得到其他图形吗？
再取点 A′′( 3 , -6 )， B′′( 3 , 0 )，O( 0 , 0 ). 顺次连接点 A′′，B′′，O，所得 △A′′B′′O 就是要画的另一个图形.
x
y
变式 如图，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点 F 的坐标为(-1，1)，点 C 的坐标为(-4，2)，求这两个正方形位似中心的坐标.
分析：本题未说明对应点，需分情况讨论：
1.位似图形位于位似中心同侧(即点F与点C是一对对应点)；
2.位似图形位于位似中心两侧(即点C与点O是一对对应点).
C
B
A
D
F
G
O
E
x
y
解：(1)如图，当两个正方形位于位似中心同侧时，连接CF并延长，位似中心就是直线 CF 与 x 轴的交点，
设直线 CF 的解析式为 y=kx+b.
将点 C(-4，2)，F(-1，1)代入，得
解得
即 . 令 y =0，解得 x =2.
所以位似中心的坐标是(2，0).
C
B
A
D
F
G
O
E
x
y
(2)如图，当两个正方形位于位似中心两侧时，连接 OC，DE，位似中心就是直线 OC 与直线 DE 的交点.
由题意，得直线 OC 的解析式为 ，
直线 DE 的解析式为 .
联立 解得
所以位似中心的坐标是( ，).
C
B
A
D
F
G
O
E
x
y
温馨提示
1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作两个．
2. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点异侧时，其对应顶点的坐标的比为-k．
3. 当 k > 1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0 < k < 1时，图形缩小为原来的k 倍．
1.(2024 浙江省卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O. 若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为(　　)
A.(－4，8) B.(8，－4)
C.(－8，4) D.(4，－8)
A
2.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF 成位似关系，则位似中心的坐标为(　　)
A. (－1，0) B. (0，0)
C. (0，1) D. (1，0)
A
3.如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(－3，0)，A1(－2，1)，A2(－1，0)，A3(－2，－1)，则顶点A100的坐标为(　　)
A. (31，34) B. (31，－34)
C. (32，35) D. (32，0)
A
解析：∵A1(－2，1)，A4(﹣1，2)，A7(0，3)，
A10(1，4)，…，∴A3n-2(n－3，n)，
∵100＝3×34－2，∴A100的坐标为(31，34).
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(1，0)，B(2，3)，C(-1，2)，若四边形OA′B′C′与四边形OABC关于原点O位似，且四边形OA′B′C′的面积是四边形OABC面积的4倍，则第一象限内点B′的坐标为 __________．
( 4 , 6 )
5.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，1)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；
解：画出△O1A1B1如图；
B1
A1
O1
(2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2∶1；
B1
A1
O1
(2)如图，符合条件的位似图形为△O2A2B2、△O3A3B3；
A2
B2
O2
B3
A3
O3
(3)点P(a，b)为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为__________________
__________________.
(2a＋2，2b)
或(－2a－2，－2b)
平面直角坐标系
中的位似
平面直角坐标系
中的位似变换
平面直角坐标系
中的图形变换
坐标变化规律
平面直角坐标系中的
位似图形的画法
Thanks!
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