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(共28张PPT)
人教版九下 数学
同步课件
1. 理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算.
2. 探索并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.
3. 会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算.
回顾：
这两个三角形之间存在什么关系？
是全等三角形
这样变化以后呢？
跟相似多边
形很像...
根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？
三个角分别相等、三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
数学语言：
如图，△ABC 与△A′B′C′ 相似
记作：△ABC∽△A′B′C′
C
B
A
C′
B'
A'
“∽”读作“相似于”
1.△ABC 与△A′B′C′ 相似，相似比为k，如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
思考1
△ABC≌△A′B′C′ ，全等是一种特殊的相似.
2.全等三角形的判定方法有哪些？
判定方法 全等三角形
角边角
(ASA)
角角边
(AAS)
边边边
(SSS)
边角边
(SAS)
斜边、直角边
(HL)
类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢 我们先来探究下面的问题.
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量 l3，l4，l5在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度.
(1) 、 、 相等吗？
探究1
温馨提示：点击查看原文件
(2)任意平移 l5， 、 、 还相等吗？
A
E
B
D
l4
C
F
l5
l1
l2
l3
依旧相等
你发现了什么？
可以发现，当 l3∥l4∥l5 时，有
， ，
，
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
数学语言：
如图，如果直线a∥b∥c ，则
，
···
A
C
E
B
D
F
b
c
a
归纳总结
探究2
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现如图两种情况：
A
D
B
E
C
l1
l2
l4
l3
l5
A
D
B
E
C
l1
l2
l4
l3
l5
图1
图2
在图1中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图2中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，图中有哪些成比例线段？
A
D
B
E
C
l1
l2
l4
l3
l5
A
D
B
E
C
l1
l2
l4
l3
l5
图1
图2
A
B
D
C
E
A
E
C
D
B
常见类型：
数学语言:
如图，如果BC∥DE ，则
，
···
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
归纳总结
例1 如图，在△ABC 中，E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，且EF∥BC.
(1) 如果 AE = 7， BE = 5，FC = 4，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
解：∵EF∥BC，
∴ .
∵ AE =7， BE = 5，FC = 4，
∴ AF = .
解：∵EF∥BC，
∴ .
∵ AB = 10，AE = 6，AF = 5，
∴ AC = .
∴ FC = AC－AF = - 5= .
例1 如图，在△ABC 中，E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，且EF∥BC.
(2) 如果 AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？
A
B
C
E
F
如图，在 △ABC 中，DE∥BC，且 DE 分别交 AB，AC 于点 D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
B
C
A
D
E
猜想：△ADE∽△ABC
思考2
试着证明你的猜想吧！
B
C
A
D
E
证明：在△ADE和△ABC中，∠A=∠A，且DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C .
过点E做EF∥AB，交BC于点F .
∵DE∥BC，EF∥AB，∴
∵四边形DBFE是平行四边形，∴DE=BF，
∴ ，∴ .
∴△ADE∽△ABC.
已知：如图，在 △ABC 中，DE∥BC，
求证：△ADE∽△ABC.
F
A
B
D
C
E
A
E
C
D
B
常见类型：
数学语言：
如图，如果BC∥DE ，则
△ADE∽△ABC.
我们有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
归纳总结
例2 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD:AB = 1:3，AF = 3.
(1)指出图中所有的相似三角形并说明理由；
解：△ADE∽△ABC，△AEF∽△ACG.
理由如下：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵EF∥CG，
∴△AEF∽△ACG.
例2 如图，DE∥BC，EF∥CG，AD:AB = 1:3，AF = 3.
(2)求 FG 的长.
解：∵△ADE∽△ABC，AD:AB = 1:3，
∴AE:AC = 1:3 .
又 ∵△AEF∽△ACG，
∴AE:AC =AF:AG= 1:3，
∵AF = 3，∴AG = 9，
∴FG = AG - AF = 9 - 3 = 6.　
1.如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F.下列各式中，错误的是( )
A. B. C. D.
A
B
F
C
D
E
A
2.(2023北京)如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO=2，OF=1，FD=2，则 的值为________．
3.(跨音乐学科)五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，主要服务于键盘乐器.如图，一条直线与五线谱交于点A，B，C，则 的值为_____，若AB=6，则BC的长为_____.
3
分析：如解图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵五线谱中五条横线等距离且平行，∴＝，＝.
4.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为AC的中点，延长BC到点D，使得CD=CE，连接DE并延长交AB于点F，若∠A=60°，EF=2，求DF的长.
解：如图，过点E作EG∥AB交BD于点G,
∵AB=AC，∠A=60°,
∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，
∵EG∥AB，∴∠CEG=∠A=60°，
∴△EGC为等边三角形，∴EC=CG，
G
∵CD=CE，
∴CD=CG，点E为AC的中点，
∴AE=EC,
∵EG∥AB，∴ = =1，
∴BG=GC，∴ = ，
∵EG∥AB，∴ = = ，
∵EF=2，
∴DF=6 .
G
基本事实
相似三角形
判定定理
推论
两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截
其他两边(或两边的延长线)，
所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线
和其他两边相交，所构成的
三角形与原三角形相似
平行线分
线段成比例
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