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人教版九下 数学
同步课件
1.掌握三边成比例的两个三角形相似，及两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这两个判定定理.
2.能够准确运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似，并能运用三角形相似的条件解决简单的问题.
琳琳展示了一张金字塔照片，在照片上的金字塔中任意抽象出一个 △ABC，并在纸上画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是△ABC 各边长的 k 倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
探究1
A
B
C
C′
B′
A′
通过度量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以 △ABC ∽△A′B′C′.
A
B
C
试着证明这个结论.
C′
B′
A′
∴
证明：在线段 A′B′ (或它的延长线) 上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′， 交A′C′于点 E.
根据前面的定理，可得 △A′DE ∽ △A′B′C′.
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴△A′DE ≌ △ABC，∴△ABC∽△A′B′C′ .
又 ，A′D = AB，
∴ ， .
E
D
A
B
C
C′
B′
A′
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中， .
求证：△ABC ∽△A′B′C′.
数学语言：
如图，在△ ABC 和 △A′B′C′中，
∵ ，
∴△ ABC ∽ △A′B′C′.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似.
归纳总结
A
B
C
C′
B′
A′
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，
在 △ DEF 中，DE > EF > FD.
∵ ， ， ，
∴ .
∴ △ABC ∽ △DEF.
计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
温馨提示
探究2
琳琳利用刻度尺和量角器在纸上画 △A′B′C′，使∠A =∠A′，
量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？△ABC 与 △A′B′C′ 相似吗？
A
B
C
C′
B′
A′
A
B
C
C′
B′
A′
△ABC ∽ △A′B′C′
(三边成比例的两个三角形相似)
由此你能得出什么结论？
猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
试着证明你的猜想吧！
已知：如图，在 △ABC 与△A′B′C′中，已知∠A = ∠A′，
证明：在线段 A′B′ (或它的延长线) 上截取 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
根据前面的定理，可得 △A′DE ∽ △A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
∴
E
D
A
B
C
C′
B′
A′
又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
∵ A′D = AB，
∴ ∴ A′E = AC .
数学语言：
如图，在△ ABC 和 △A′B′C′中，
∵ ∠A=∠A′，
∴△ ABC ∽ △A′B′C′.
由此我们得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
归纳总结
A
B
C
C′
B′
A′
思考
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 ∠B = ∠B′，这两个三角形一定相似吗？
A
B
C
C′
B′
A′
不一定
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
例2 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由:
(1)AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm，
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm;
解：∵
∴
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
(2)∠A = 120° ，AB = 7 cm ，AC = 14 cm，
∠A′ = 120° ，A′B′ = 3 cm ，A′C′= 6 cm.
解：∵
∴
又 ∠A = ∠A′ ，
∴△ABC ∽ △A′B′C′.
例2 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由:
变式 (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
求证：△ABC ∽ △DBA.
A
C
B
P
D
∵
∴△ABC ∽ △DBA.
证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
∴ AB = ，BD =2，AC= ，AD= .
∵ ∠ABC = ∠DBA，
∴△ABC ∽ △DBA.
证明：∵∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
∴ AB = ，BD =2，
变式 (一题多解)如图，∠APD = 90°，AP = PB = BC = CD = 1，
求证：△ABC ∽ △DBA.
A
C
B
P
D
1.如图，AB与CD相交于点O，添加一个条件，能判断△AOC∽
△BOD的是 (　　)
A. ∠A=∠D B. ∠B=∠C
C. = D. =
D
2.(真实问题情境)如图①是夹文件的一种燕尾夹，如图②是燕尾夹在闭合状态时的示意图，经测量知AD＝AE＝25mm，DB＝EC＝35mm，DE＝20mm，则在闭合状态下点B，C之间的距离为(　　)
A. 46 mm B. 48 mm
C. 50 mm D. 52 mm
B
3.如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，则∠BAC的度数为( )
A.45° B.135° C.55° D.125°
B
4. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
解析：当 △ADP ∽△ACB 时，
∴ 解得 AP = 9；
当 △ADP ∽△ABC 时，
∴ 解得 AP = 4.
∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，△ADP 和△ABC 相似．
5.(2024广州)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
证明：∵BE＝3，EC＝6，∴BC＝9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵＝＝，＝，∴＝，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF.
两边成比例
且夹角相等
三边成比例
相似三角形的
判定方法
B
A
C
B'
A'
C'
数学语言：
如图，在△ ABC 和 △A′B′C′中，
∵ ，∴△ ABC ∽ △A′B′C′.
数学语言：
如图，在△ ABC 和 △A′B′C′中，
∵ ∠A=∠A′，∴△ ABC ∽ △A′B′C′.
Thanks!
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