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章末整合提升
第十章 静电场中的能量
[素养提升]
提升一　电场中的功能关系
1. 求静电力做功的四种方法
（1）定义式：WAB＝Flcos α＝qEd（适用于匀强电场）.
（2）电势的变化：WAB＝qUAB＝q（φA－φB）.
（3）动能定理：W电＋W其他＝ΔEk.
（4）电势能的变化：WAB＝－ΔEpAB＝EpA－EpB.
2. 电场中的功能关系
（1）若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变.
（2）若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变.
（3）除重力外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化.
（4）所有外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化.
AC
A. 该匀强电场场强的方向水平向左
B. 质子一定能到达等势面d
C. 若取等势面b为零电势面，则c所在等势面的电势为6 V
D. 质子第二次经过等势面b时动能是6 eV
解析：根据题意，质子由a到c过程动能减小，静电力做负功，质子带正电，所以匀强电场场强的方向水平向左，A正确；质子两次经过同一等势面的动能相等，因为是匀强电场，所以经过相邻等差等势面静电力所做负功相同，动能变化相同，即Eka－Ekb＝Ekb－Ekc，解得Ekb＝12 eV，所以质子经过等势面b时的动能是12 eV，D错误；若质子做匀变速直线运动，由功能关系可知，质子刚好可以到达等势面d，若质子做匀变速曲线运动，由功能关系可知质子不能到达等势面d，B错误；若取等势面b为零电势面，根据Ep＝φq可知，质子在等势面b的电势能为0，所以质子运动过程中的总能量E＝Ekb＋0＝12 eV，根据能量守恒定律可知E＝Ekc＋Epc，解得Epc＝6 eV，由Epc＝φcq可得c所在等势面的电势为φc＝6 V， C正确.
D
A. 动能减小，电势能增大 B. 动能增大，电势能增大
C. 动能减小，电势能减小 D. 动能增大，电势能减小
解析：小球的初速度方向沿虚线，则运动轨迹为直线，故小球受到的合力方向沿虚线，由于重力向下，电场方向水平，故合力方向只能沿虚线向下，如图所示，故初速度垂直于虚线时，小球做类平抛运动；从O点出发运动到O点等高处的过程中，合力做正功，动能增大，电场力与速度方向的夹角始终为锐角，故电场力做正功，电势能减小，D正确.
提升二　带电粒子在交变电场中的运动
带电粒子在交变电场中运动问题的分析方法
（1）分段分析：按照时间的先后，分阶段分析粒子在不同电场中的受力情况和运动情况，然后选择牛顿运动定律、运动学规律或功能关系求解相关问题.
（2）v－t图像辅助：带电粒子在交变电场中运动情况一般比较复杂，常规的分段分析很麻烦.较好的方法是在分段分析粒子受力的情况下，画出粒子的v－t图像，画图时，注意加速度相同的运动图像是平行的直线，图像与坐标轴所围图形的面积表示位移大小，图像与t轴的交点，表示此时速度方向改变等.
（3）运动的对称性和周期性：带电粒子在周期性变化的电场中运动时，粒子的运动一般具有对称性和周期性.
甲
ACD
A. 若电子是在t＝0时刻进入板间的，它将一直向B板运动
B. 若电子是在t＝0时刻进入板间的，它将时而向B板运动，时而向A板运动，最后打在B板上
乙
方法二：图像法，选取竖直向上为正方向，作出电子运动的v－t图像如图所示，根据图像很容易得到A、C、D正确.
甲 乙
ACD
B. 电子在t＝0时刻从O点射入时一定从中心线离开电场
D. 电子无论在哪一时刻从O点射入，离开板间电场时的速率一定是v0第十章　静电场中的能量
1.电势能和电势
核心素养 素养目标
物理观念 1.知道静电力做功与路径无关. 2.掌握电势能和电势的概念、计算公式，认识电势能和电势的相对性.
科学思维 1.通过比较静电力做功与重力做功都与路径无关的特点，引入电势能的概念，培养“通过某种力做功来研究与它相关能量”的科学方法. 2.类比电场强度的定义，进一步了解用比值定义电势的思想方法，理解电势的含义.
科学态度 与责任 利用知识类比和迁移激发学习兴趣，培养灵活运用知识和对科学的求知欲.
@一、静电力做功
教材认知
引入　如图所示，正试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中从A移动到B.
（1）若q沿直线AB（图甲）运动，静电力做的功为多少？
（2）若q沿折线（图甲）AMB从A点移动到B点，静电力做的功为多少？
（3）若q沿任意曲线ANB（图乙）从A点移动到B点，静电力做的功为多少？
（4）由此可得出什么结论？
提示：（1）静电力对试探电荷q做的功WAB＝Fcos θ·｜AB｜＝qEcos θ·｜AB｜＝qE·｜AM｜；
（2）在q沿AM移动过程中静电力做功W1＝qE·｜AM｜，在q沿MB移动过程中静电力做功W2＝0，总功WAMB＝W1＋W2＝qE·｜AM｜；
（3）WANB＝W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝qE·｜AM｜；
（4）电荷在匀强电场中沿不同路径由A点运动到B点，静电力做功相同.说明静电力做功与路径无关，只与初、末位置有关.
【知识梳理】
1.静电力做功的特点：静电力所做的功与电荷的　起始位置　和　终点位置　有关，与电荷经过的路径　无关　.
注意：这个结论虽然是从匀强电场中推导出来的，但是可以证明对非匀强电场也是适用的.
2.匀强电场中静电力做功的计算
W＝qElcos θ，其中θ为静电力与　位移　间的夹角.
典题讲练
[典例1]　两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图所示.若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中静电力做的功为（　C　）
A.0 B.qEl C.2qEl D.πqEl
解析：静电力对两小球均做正功，大小与路径无关，对每个小球做的功均为qEl，共为2qEl，故C正确.
名师点评
静电力做功的特点
（1）静电力做功只与电荷的初、末位置有关，与运动路径无关，这一特点适用于任何电场.
（2）在匀强电场中，静电力做功W＝qEd，其中d为沿电场线方向的位移.
[训练1]　如图所示，三个质量相同，带电荷量分别为＋q、－q和0的小液滴a、b、c，从竖直放置的两极板中间上方由静止释放，最后从两极板间穿过，轨迹如图所示，则在穿过极板的过程中（　A　）
A.静电力对液滴a、b做的功相同
B.三者动能的增量相同
C.液滴a与液滴b电势能的变化量一正一负，绝对值相等
D.重力对液滴c做的功最多
解析：因为液滴a、b的电荷量大小相等，则两液滴所受的静电力大小相等，由静止释放，穿过两板的时间相等，则偏转位移大小相等，静电力做功相等，故A正确；静电力对a、b两液滴做功相等，重力做功相等，则a、b动能的增量相等，对于液滴c，只有重力做功，液滴c动能的增量小于液滴a、b动能的增量，故B错误；对于液滴a和液滴b，静电力均做正功，静电力所做的功等于电势能的变化量，故C错误；三者在穿过极板的过程中竖直方向的位移相等，三者质量相同，所以重力做功相等，故D错误.
@二、电势能的理解与计算
教材认知
引入　（1）类比重力做功与重力势能变化的关系，试分析，正电荷只在静电力作用下从A→B运动（图甲）和从B→A运动时（图乙）静电力做功情况、动能和电势能的变化.
（2）如果规定B点为零势能位置，若电荷从A移动至B静电力对电荷做功为WAB，则电荷在A点电势能是多少？
提示：（1）类比重力做功与重力势能变化的关系可知，从A→B静电力做正功，动能增加，电势能减少；从B→A静电力做负功，动能减少，电势能增加.
（2）由WAB＝EpA－EpB＝EpA－0得EpA＝WAB.
【知识梳理】
1.定义：电荷在　电场　中具有的势能，用Ep表示.
2.静电力做功与电势能变化的关系：静电力做的功等于电势能的减少量.表达式：WAB＝　EpA－EpB　.
（1）静电力做正功，电势能　减少　.
（2）静电力做负功，电势能　增加　.
3.电势能的大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到　零势能点　时静电力所做的功.
4.电势能具有相对性
电势能零点的规定：通常把电荷在离场源电荷　无穷远　处的电势能规定为0.
【拓展深化】　电势能的特性
系统性 电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能
相对性 电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关.确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置
标量性 电势能是标量，有正负但没有方向.电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能
典题讲练
[典例2]　将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5 J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5 J的功，则：
（1）该电荷从A移到B，再从B移到C的过程中，电势能共改变了多少？
答案：（1）增加1.8×10－5 J
解析：（1）从A移到C，静电力做的功WAC＝－3×10－5 J＋1.2×10－5 J＝－1.8×10－5 J，电势能增加1.8×10－5 J.
（2）如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
答案：（2）3×10－5 J
1.8×10－5 J
解析：（2）WAB＝EpA－EpB＝－3×10－5 J，又EpA＝0，则EpB＝3×10－5 J
WAC＝EpA－EpC＝－1.8×10－5 J，则EpC＝1.8×10－5 J.
名师点评
电势能增减的判断方法
做功 判断法 无论正、负电荷，只要静电力做正功，电荷的电势能一定减小；反之，做负功则增大
电场线 判断法 正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大.负电荷的情况正好相反
电势 判断法 由公式Ep＝qφ知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小
[训练2]　（2025·浙江强基联盟高二联考）如图所示，A、B为一对等量正点电荷连线上的两点（其中B为中点），C为连线中垂线上的一点.今将一个电荷量为q的负点电荷自A沿直线移到B再沿直线移到C，关于此过程，下列说法中正确的是 （　B　）
A.负点电荷自A沿直线移到B，电势能逐渐减小
B.负点电荷自A沿直线移到B，电势能逐渐增大
C.负点电荷自B沿直线移到C，电势能逐渐减小
D.负点电荷在A点的电势能与在C点的电势能相等
解析：由于B点是等量正点电荷连线的中点，所以AB连线上B点的电势最低，电场方向沿A→B，负点电荷自A沿直线移到B，所受静电力方向水平向左，所以静电力做负功，电势能逐渐增大，A错误，B正确；BC连线上B点电势最高，电场方向沿B→C，负点电荷自B沿直线移到C，所受静电力方向与运动方向相反，静电力做负功，故电势能逐渐增大，C错误；由于负点电荷自A沿直线移到B，再沿直线到C，静电力一直做负功，电势能一直在增大，所以负点电荷在A点的电势能小于在C点的电势能，D错误.
@三、对电势的理解
教材认知
引入　如图所示的匀强电场，电场强度为E，取O点为零势能点，A点距O点为l，AO连线与电场线的夹角为θ.
（1）电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能为多少？
（2）电势能与电荷量的比值各是多少？
提示：（1）将电荷q由A点移到O点，由EpA－EpO＝WAO＝Eqlcos θ，得：EpA＝Eqlcos θ，2q在A点具有的电势能为EpA'＝2Eqlcos θ.
（2）电势能与电荷量的比值均为Elcos θ.
【知识梳理】
1.电势
定义 电荷在电场中某一点的　电势能　与它的　电荷量　的比值
公式 φ＝，电场中某点φ的大小由电场本身决定，与是否放入试探电荷无关
单位 在国际单位制中，电势的单位是　伏特　，符号为　V　，1　V　＝1 J/C
标矢 性 电势是　标量　，只有　大小　，没有　方向　，但有正、负之分
相对 性 电场中各点电势的高低，与所选取的零电势点的位置有关，一般情况下取离场源电荷　无限远处　或　大地　为零电势点
2.电势与电场线的关系：沿着电场线方向，电势　逐渐降低　.
3.电势的性质
相对性 电势是相对的，电场中某点的电势大小与零电势点的选取有关.通常将离场源电荷无穷远处或大地选为零电势点
固有性 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷及所放电荷的电荷量和电势能均无关
标量性 电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了零电势点后，电场中各点的电势可能是正值，也可能是负值.正值表示该点的电势高于零电势点；负值表示该点的电势低于零电势点.电势的正负只表示大小，不表示方向
【拓展深化】　电势高低的判断方法
（1）电场线判断法：沿电场线方向，电势越来越低.
（2）场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低.
（3）电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高.
典题讲练
[典例3]　如图所示为某电场的电场线，现将一电荷量q＝－3.0×10－9 C的负电荷从A点移到B点、从B点移到C点、从C点移到D点，静电力做功分别为WAB＝3.0×10－8 J、WBC＝1.5×10－8 J、WCD＝9.0×10－9 J.若取C点电势为零，试求A、B、D三点电势.
答案：－15 V　－5 V　3 V
解析：A点的电势φA＝＝＝ V＝－15 V
B点的电势φB＝＝＝ V＝－5 V
D点的电势φD＝＝＝＝ V＝3 V.
名师点评
计算电势的方法
（1）先选零电势点.
　　（2）再算出电荷在某点的电势能.
　　（3）由φ＝求电势，注意将各物理量的正负直接代入计算，这样更直接、方便.
[训练3]　（2025·浙江宁波高二四校联考）有一电场的电场线如图所示.电场中a、b两点的电场强度的大小和电势分别用Ea、Eb和φa、φb表示，则（　A　）
A.Ea＞Eb，φa＞φb B.Ea＞Eb，φa＜φb
C.Ea＜Eb，φa＞φb D.Ea＜Eb，φa＜φb
解析：电场线越密，电场强度越大，所以Ea＞Eb；由题图所示电场线分布特点，结合沿电场线方向电势降低，可知a点的电势高于b点的电势，即φa＞φb，A正确.
@随堂检测
1.如图所示是以电荷＋Q为圆心的一组同心圆（虚线），电场中有A、B、C、D四点.现将一带正电的点电荷由A点沿不同的路径移动到D点.沿路径①静电力做功为W1，沿路径②静电力做功为W2，沿路径③静电力做功为W3，则（　B　）
A.W2＜W3＜W1 B.W1＝W2＝W3
C.W2＞W3＞W1 D.因不知道＋Q的具体数值，故无法进行判断
解析：因为静电力做功只与初、末位置有关，而与电荷运动的路径无关，故沿三条路径将点电荷由A点移动到D点的过程中，静电力做功相等，选项B正确.
2.如图所示为某一电场的电场线，M、N、P为电场线上的三个点，M、N是同一电场线上的两个点.下列判断正确的是（　A　）
A.M、N、P三点中N点的电场强度最大
B.M、N、P三点中N点的电势最高
C.负电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.正电荷从M点自由释放，电荷将沿电场线运动到N点
解析：电场线的疏密反映了电场的强弱，所以N点电场强度最大，选项A正确；顺着电场线的方向，电势降低，M点的电势大于N点电势，选项B错误；根据Ep＝qφ，φM＞φN可知，负电荷在M点的电势能小于在N点的电势能，选项C错误；正电荷在M点自由释放，电荷在静电力的作用下运动，由于电场线是曲线，说明电场方向是变化的，所以电荷不能沿电场线运动到N点，选项D错误.
3.（2025·吉林白山高二开学考）（多选）某电场的电场线分布如图所示，以下说法错误的是（　AC　）
A.c点场强大于b点场强
B.a点电势高于b点电势
C.若将一试探电荷＋q由a点静止释放，它将沿电场线运动到b点
D.若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b，电势能减少
解析：电场线密集的地方场强大，所以b点场强大于c点场强，A错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，则a点电势高于b点电势，B正确；由题图可知，该电场不是匀强电场，a、b所在电场线是曲线，说明电场的方向是不断变化的，所以若将一试探电荷＋q由a点静止释放，它不可能沿电场线运动到b点，C错误；若不加点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a点移至b点，电势降低，则静电力做正功，因此电势能减少，若只考虑在d点固定一点电荷－Q，a点距－Q比b点距－Q远一些，所以在－Q产生的电场中，a点的电势高于b点的电势，将一试探电荷＋q由a点移至b点，电势能减少，故若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减少，D正确.故选A、C.
4.如图所示，A、B、C、D为匀强电场中相邻等间距的四个等势面，一个电子垂直经过等势面D时，动能为20 eV，飞至等势面C时，电势能为－10 eV，飞至等势面B时速度恰好为零，则下列说法正确的是（　B　）
A.等势面A的电势为10 V
B.等势面D的电势为20 V
C.电子飞至等势面D时，电势能为10 eV
D.电子飞至等势面B时，电势能为10 eV
解析：电子从D到B的过程，根据动能定理得－eUDB＝0－EkD，解得UDB＝＝＝20 V，即D点电势高于B点电势，电场方向竖直向上，电子经过等势面C时的电势能为－10 eV，则C点的电势为φC＝＝10 V，可得B点电势为0，A点电势为－10 V，等势面D的电势为20 V，选项A错误，B正确；电子在D点时具有的电势能为EpD＝20 V×（－e）＝－20 eV，选项C错误；B点电势为0，电子在B点时具有的电势能为零，选项D错误.故选B.
@课时作业（六）
[基础训练]
1.下列说法正确的是（　B　）
A.电荷从电场中的A点运动到B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B.电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则电场力做功为零
C.电荷沿着电场线运动，电场力对电荷做正功
D.电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
解析：电场力做功和电荷的运动路径无关，A错误；电场力做功只与电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点出发又回到了该点，电场力做功为零，B正确；正电荷沿电场线的方向运动，则正电荷受到的电场力与电荷的位移方向相同，故电场力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线的方向运动，电场力对负电荷做正功，C错误；电荷在电场中虽然有电场力做功，但是电荷的电势能与其他形式的能之间的转化满足能量守恒定律，D错误.
2.（2025·北京交大附中第一学期期中）图中实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面.1、2和3点处电场强度大小分别为E1、E2和E3，电势分别为φ1、φ2和φ3.下列说法正确的是（　A　）
A.E1＞E2＞E3 B.E1＜E2＜E3
C.φ1＝φ2＞φ3 D.φ1＜φ2＜φ3
解析：电场线越密集，场强越大，则三点处的场强大小关系为E1＞E2＞E3，A正确，B错误；沿电场线方向电势降低，则φ1＞φ2＞φ3，C、D错误.故选A.
3.将一正电荷从无穷远（电势为零）处移至电场中M点，电场力做功为6.0×10－9 J，若将一个等量的负电荷从电场中N点移向无穷远处，电场力做功为7.0×10－9 J，则M、N两点的电势φM、φN大小关系为（　C　）
A.φM＜φN＜0 B.φN＞φM＞0
C.φN＜φM＜0 D.φM＞φN＞0
解析：取无穷远处电势φ∞＝0，对正电荷：W∞M＝0－EpM＝－qφM，φM＝＝－ V；对负电荷：WN∞＝EpN－0＝－qφN，φN＝＝－ V，所以φN＜φM＜0，选项C正确.
4.（多选）如图所示，某区域电场线左右对称分布，M、N为对称线上两点.下列说法正确的是（　AC　）
A.M点电势一定高于N点电势
B.M点场强一定大于N点场强
C.正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.将电子从M点移动到N点，静电力做正功
解析：沿电场线方向电势降低，A正确；根据电场线的疏密可知M点场强小于N点场强，B错误；把正电荷从M点移到N点，静电力做正功，电势能减少，C正确；把电子从M点移到N点，静电力做负功，D错误.
5.（多选）如图甲所示，AB是电场中的一条直线，电子以某一初速度从A点出发，仅在静电力作用下沿AB运动到B点，其v－t图像如图乙所示.关于A、B两点的电场强度EA、EB和电势φA、φB的关系，下列判断正确的是（　AC　）
A.EA＞EB B.EA＜EB C.φA＞φB D.φA＜φB
解析：由v－t图像可知，电子做的是加速度越来越小的变减速运动，电子受到的静电力就是其所受的合外力，即静电力越来越小，由F＝Eq可知，电场强度越来越小，即EA＞EB，A正确，B错误；由于电子带负电，其所受的静电力方向与场强方向相反，则电场强度的方向应为由A指向B，沿电场线方向电势越来越低，可得φA＞φB，C正确，D错误.
6.如图所示，在同一条电场线上有A、B、C三点，三点的电势分别是φA＝5 V、φB＝－2 V、φC＝0，将电荷量为q＝－6×10－6 C的点电荷从A移到B，再移到C.
（1）电荷在A点、B点、C点的电势能各是多少？
答案：（1）－3×10－5 J　1.2×10－5 J　0
解析：（1）根据公式φ＝可得Ep＝qφ，所以电荷在A点、B点、C点具有的电势能分别为
EpA＝qφA＝－6×10－6×5 J＝－3×10－5 J
EpB＝qφB＝－6×10－6×（－2） J＝1.2×10－5 J
EpC＝qφC＝－6×10－6×0 J＝0.
（2）电荷从A到B和从B到C，电势能分别变化了多少？
答案：（2）增加4.2×10－5 J　减少1.2×10－5 J
解析：（2）电荷从A到B电势能的变化量为
ΔEpAB＝EpB－EpA＝1.2×10－5 J－（－3×10－5 J）＝4.2×10－5 J
即电势能增加了4.2×10－5 J.
电荷从B到C电势能的变化量为
ΔEpBC＝EpC－EpB＝0－1.2×10－5 J＝－1.2×10－5 J
即电势能减少了1.2×10－5 J.
（3）电荷从A到B，再移到C，静电力做功是多少？
答案：（3）－3×10－5 J
解析：（3）从A到B再到C，静电力做功
WAC＝EpA－EpC＝－3×10－5 J.
[能力提升]
7.（多选）如图所示，ABCDEF为正六边形的六个顶点，P、Q、M分别为AB、DE、AF的中点，O为正六边形的中心.现在六个顶点依次放等量正、负点电荷.若取无穷远处电势为零，以下说法中正确的有（　BC　）
A.P、Q、M各点的场强相同
B.P、Q、M各点电势均为零
C.O点电势与场强均为零
D.将一负检验电荷从P点沿直线PM移到M点的过程中，电势能始终保持不变
解析：由题意可知，等量正、负点电荷位于正六边形的六个顶点，根据点电荷的电场强度E＝，结合电场强度的叠加原理可知，P、Q、M各点的场强大小相等，但P、Q两点场强方向向右，M点场强方向由A指向F，故A错误；若取无穷远处电势为零，则等量异种点电荷中垂线的电势为零，再由对称性可知，P、Q、M、O各点电势均为零，故B正确；根据题图可知，O点场强由三个负点电荷与三个正点电荷在该处产生的场强叠加而成，且各个点电荷电荷量大小均相同，则O点电场强度为零，故C正确；将一负检验电荷从P点沿直线PM移到M点的过程中，电势先由零升高，后又降为零，则电势能先减小后增大，故D错误.
8.（2023·海南卷）（多选）如图所示，正三角形三个顶点固定三个带等量电荷的点电荷，其中A、B带正电，C带负电，O、M、N为AB边的四等分点，下列说法正确的是（　BC　）
A.M、N两点的电场强度相同
B.M、N两点的电势相同
C.负电荷在M点的电势能比在O点时要小
D.负电荷在N点的电势能比在O点时要大
解析：作出M、N两点的电场强度示意图如图所示，两正点电荷在M点处产生的电场强度方向向右，在N点处产生的电场强度方向向左，负电荷在M、N两点处产生的电场强度方向均指向负电荷，根据电场叠加原理可知，M、N两点电场强度大小相同，方向不同，A错误；M、N两点在两正电荷形成的电场中关于两电荷连线的中垂线对称，电势相等，到负电荷的距离也相等，所以在负电荷形成的电场中电势也相等，则M、N两点电势相同，B正确；由电场强度方向可知，负电荷从M到O，静电力做负功，则电势能增大，C正确；负电荷从N到O，静电力做负功，电势能增大，D错误.
9.如图所示，匀强电场的电场线与AC平行，把10－8 C的负电荷从A点移到B点，静电力做功6×10－8 J，AB长6 cm，AB与AC成60°角.求：
（1）匀强电场的场强方向；
答案：（1）由C指向A
解析：（1）将负电荷从A点移至B点，静电力做正功，所以电荷所受静电力方向沿A至C.又因为是负电荷，场强方向与负电荷受力方向相反，所以场强方向由C指向A.
（2）设B处电势为1 V，则A处电势为多少？电子在A处的电势能为多少？
答案：（2）－5 V　5 eV
解析：（2）由WAB＝EpA－EpB＝q（φA－φB）得
φA＝＋φB＝（＋1） V＝－5 V
则电子在A点的电势能为
EpA＝qφA＝（－e）×（－5 V）＝5 eV.
2.电势差
核心素养 素养目标
物理观念 1.理解电势差的概念，知道电势差与零电势点的选择无关. 2.理解等势面的定义，掌握等势面的特点.
科学思维 1.电势差类比高度差，等势面类比等高线，体现类比的科学方法. 2.通过静电力做功与电势能变化的关系、电势能与电势的关系推导静电力做功与电势差的关系，培养严谨的推理习惯.
@一、对电势差的理解
教材认知
引入　仔细观察下列两图，回答各问题.
甲 乙
（1）甲图的意义是什么？
（2）乙图中选D点为零电势点，A、B两点的电势差是多少？选C点为零电势点，A、B两点的电势差是多少？
提示：（1）零高度的选取不一样，地面和楼顶的高度数值也不一样，但是地面和楼顶的高度差始终是一定的.
（2）以D点为零电势点，A、B两点的电势差为1 V.以C点为零电势点，A、B两点的电势差仍为1 V.
【知识梳理】
1.定义：电场中两点之间　电势　的差值叫作电势差，也叫作　电压　.UAB＝　φA－φB　，UBA＝　φB－φA　，UAB＝－UBA.
2.电势差是　标量　，有正负，电势差的正负表示电势的　高低　.UAB＞0，表示A点电势比B点电势　高　.
3.静电力做功与电势差的关系
【拓展深化】　电势差与电势的比较
项目 电势φ 电势差U
区 别 定义 电势能与电荷量的比值：φ＝ 静电力做的功与电荷量的比值：U＝
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 有，与零势能点的选取有关 无，与零势能点的选取无关
联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位 相同，均是伏特（V），常用还有kV，mV等
标矢性 都是标量，但均具有正负
物理意义 均是描述电场能的性质的物理量
典题讲练
[典例1]　如图所示，如果B板接地（取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零），则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V.
（1）求M、N两点间的电势差是多少？
答案：（1）4 V
解析：（1）M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V.
（2）如果改为A板接地，B点的电势是多大？M、N两点的电势各是多大？M、N两点间的电势差是多少？
答案：（2）－8 V　－2 V　－6 V　4 V
解析：（2）若A板接地，则根据UAB＝φA－φB，得φB＝－UAB＝UBA＝－8 V，
M、N两点的电势，φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，UMN＝φM－φN＝4 V.
名师点评
电势差的理解
（1）电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关.
（2）电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低；UAB＝－UBA，与零电势点的选取无关.
（3）电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差.
[训练1]　在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是（　C　）
A.φA＞φB＞φC B.φA＜φC＜φB C.φA＞φC＞φB D.φC＞φB＞φA
解析：因为UAB＝φA－φB＝60 V＞0，所以φA＞φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V＜0，所以φB＜φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋（－50 V）＝10 V＞0，所以φA＞φC，故φA＞φC＞φB，C正确.
[训练2]　（2025·吉林长春高二段考）（多选）在电场中把带电荷量为2.0×10－9 C的正电荷从A点移动到B点，静电力做功为1.5×10－7 J，再把这个电荷从B点移动到C点，静电力做功为－4×10－7 J.则下列说法正确的是（　BC　）
A.A、B、C三点中电势最高的是A点
B.若把带电荷量为－1.5×10－9 C的点电荷从A点移到C点，静电力做功为1.875×10－7 J
C.A、B之间的电势差为75 V
D.B、C之间的电势差为－20 V
解析：WAB＝qUAB＝q（φA－φB）＝1.5×10－7 J，WBC＝qUBC＝q（φB－φC）＝－4×10－7 J，解得UAB＝φA－φB＝75 V，UBC＝φB－φC＝－200 V，设φB＝0，则φA＝75 V，φC＝200 V，所以C点电势最高，A、D错误，C正确；UAC＝UAB＋UBC＝75 V－200 V＝－125 V，若将带电荷量为－1.5×10－9 C的点电荷从A点移到C点，静电力做功为W'AC＝q'UAC＝－1.5×10－9×（－125） J＝1.875×10－7 J，B正确.
@二、等势面（线）的理解与应用
教材认知
引入　（1）类比地图上的等高线，简述什么是等势面.
提示：（1）电场中的电势相等的各点构成的面.
（2）当电荷从同一等势面上的A点沿等势面移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？
提示：（2）电势能不发生变化；静电力不做功.
【知识梳理】
1.定义：电场中　电势相同　的各点构成的面.
2.等势面的特点
（1）在同一个等势面上移动电荷时，静电力　不做功　.
（2）等势面一定跟电场线　垂直　，即跟电场强度的方向　垂直　.
（3）电场线总是由　电势高　的等势面指向　电势低　的等势面.
（4）在空间中两等势面不相交.
【拓展深化】　几种常见的电场的等差等势面的对比
电场 等势面（实线）图样 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上的电势为零
等量正点电荷 的电场 两点电荷连线上，中点电势最低，而在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高.关于中点对称的点电势相等
典题讲练
[典例2]　（2024·广东卷）（多选）污水中的污泥絮体经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉淀去污，基本原理如图所示.涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆盘置于容器底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面.M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上.下列说法正确的有（　AC　）
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
解析：M、N在一条电场线上，沿电场线方向电势降低，故φM＜φN，A正确；电场线疏密程度反映电场强度大小，电场线密的地方电场强度大，故EN＜EP，B错误；污泥絮体带负电，由M点到N点电势升高，电场力做正功，C正确；P点电势等于M点电势，则N点电势高于P点电势，污泥絮体带负电，则污泥絮体在N点的电势能比其在P点的小，D错误.
名师点评
等势面的应用
（1）由等势面可以判断电场中各点电势的高低.
（2）由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况，即WAB＝EpA－EpB＝q（φA－φB）＝－ΔEp.
（3）由于等势面和电场线垂直，若已知等势面的形状和分布，就可以画出电场线，从而大致确定电场的分布.
（4）由等差等势面的疏密，可以定性地确定电场中某点场强的大小.
[训练3]　点电荷Q1、Q2产生的静电场的等势面与纸面的交线如图中实线所示，图中标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a、b、c、d、e、f表示等势面上的点，下列说法正确的有（　D　）
A.位于d点的点电荷不受静电力作用
B.a点的电场强度与b点的电场强度大小一定相等
C.把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做的总功为零
D.把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ
解析：位于d点的位置电场线的方向垂直于等势面向左，电场强度不为零，所以点电荷受静电力作用，故A错误；a点处的等差等势面比b点处的等差等势面密，所以a点处的电场强度大，故B错误；从题图中可以看到b点的电势低于d点，d点的电势又低于f点的电势，所以把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做负功，故C错误；从题图中可以看到Uec＝φe－φc＝1 kV－（－1 kV）＝2 kV，所以把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做的功等于2 kJ，故D正确.
[训练4]　如图所示，a、b和c表示点电荷Q的电场中的三个等势面，它们的电势分别为φ、φ、φ.一带电粒子从等势面a上某处由静止释放后，仅在静电力作用下运动，已知它经过等势面b时的速率为v0，则（　B　）
A.粒子经过等势面c的速率为1.5v0
B.粒子经过等势面c的速率为v0
C.粒子从a到c做匀加速直线运动
D.粒子从a到c可能做直线运动，也可能做曲线运动
解析：带电粒子由等势面a运动到等势面b，静电力做功Wab＝Uabq＝（φa－φb）q＝φq，由动能定理得Wab＝m，可得＝，带电粒子由等势面a运动到等势面c，静电力做功Wac＝Uacq＝（φa－φc）q＝φq，由动能定理得Wac＝mv2，可得v2＝＝2，所以粒子经过等势面c的速率v＝v0，故A错误，B正确；由于带电粒子在点电荷产生的电场中由静止释放，距点电荷越远，带电粒子所受静电力越小，加速度越小，所以带电粒子做加速度减小的加速直线运动，故C、D错误.
@随堂检测
1.（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（　BD　）
A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
解析：UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B正确；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确.
2.（2024·河北卷）我国古人最早发现了尖端放电现象，并将其用于生产生活，如许多古塔的顶端采用“伞状”金属饰物在雷雨天时保护古塔.雷雨中某时刻，一古塔顶端附近等势线分布如图所示，相邻等势线电势差相等，则a、b、c、d四点中电场强度最大的是 （　C　）
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
解析：在静电场中，等差等势线的疏密程度反映电场强度的大小.由题图可知，c点等差等势线最密集，故c点电场强度最大，C正确.
3.（多选）如图所示，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面.A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是（　ABC　）
A.A点电场强度大小等于B点电场强度大小
B.C点电势低于B点电势
C.将电子从A点移到B点，静电力不做功
D.将质子从A点移到C点，其电势能增加
解析：由点电荷场强公式知A、B两点场强大小相等，A项正确；沿电场线方向，电势降低，B项正确；由图可知A、B两点电势差为0，所以将电子从A点移到B点，静电力不做功，故C正确；A点的等势面的电势高于C点的等势面的电势，将质子从A点移到C点，静电力做正功，其电势能减小，故D错误.
4.（2025·福建泉州高二期末）金属板和板前一正点电荷形成的电场线分布如图所示，A、B两点到正点电荷的距离相等且A点非常靠近金属板上表面，C点靠近正点电荷，则（　D　）
A.A点的电场强度比C点的大
B.A、B两点的电场强度相等
C.B、C两点的电场强度方向相同
D.C点的电势比A点的高
解析：A点处电场线比C点处电场线稀疏，所以A点的电场强度比C点的小，同理A点的电场强度大于B点的电场强度，故A、B错误；B、C两点的电场强度方向与电场线相切，它们的电场强度方向不相同，故C错误；沿着电场线电势逐渐降低，则C点的电势比A点的电势高，故D正确.故选D.
5.（多选）现代避雷针是美国科学家富兰克林发明的.避雷针，又名防雷针、接闪杆，是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图所示为避雷针周围的等势面分布情况，电场中有M、N、P三点，则下列说法正确的是（　BD　）
A.P、M两点电势差UPM＝2 kV
B.P点的场强大小比M点的小
C.M、N两点的场强相同
D.电子在P点的电势能大于其在N点的电势能
解析：由题图可知，P、M两点电势差UPM ＝φP－φM ＝－2 kV，故A错误；因M点比P点等势面密集，可知电场线密集，则P点的场强大小比M点的小，故B正确；M、N两点的等势面密集程度相同，可知电场线密集程度相同，则两点场强大小相同，但是方向不同，故C错误；因P点的电势比N点的低，可知电子在P点的电势能大于其在N点的电势能，故D正确.故选BD.
@课时作业（七）
[基础训练]
1.对于电场中A、B两点，下列说法中正确的是（　B　）
A.电势差的定义式为UAB＝，说明两点间的电势差UAB与静电力做功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B.A、B两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，且UAB＝－UBA
C.把负电荷从A点移动到B点静电力做正功，则有UAB＞0
D.电场中A、B两点间的电势差UAB等于把单位电荷q从A点移动到B点时静电力所做的功
解析：电场中某两点间的电势差是由电场及两点的位置决定的，与移动电荷的电荷量、零电势面的选取以及静电力做功均无关，A、B两点间的电势差是恒定的，但有正负之分，UAB＝－UBA，A错误，B正确；把负电荷从A点移动到B点，静电力做正功，则A点电势较低，有UAB＜0，C错误；电场中A、B两点间的电势差UAB在数值上等于把单位正电荷q从A点移动到B点时静电力所做的功，D错误.
2.把电量为1×10－8 C的正电荷，从A移到B电场力做功为2×10－6 J，从B移到C电场力做功为3×10－6 J，从C移到D电场力做功为－4×10－6 J，把A、B、C、D电势从高到低排列起来，正确的是（　B　）
A.φA＞φB＞φC＞φD B.φA＞φD＞φB＞φC
C.φC＞φB＞φD＞φA D.φD＞φA＞φB＞φC
解析：根据W＝qU可知
UAB＝＝ V＝200 V
又UAB＝φA－φB＝200 V
同理可知UBC＝＝ V＝300 V
UCD＝＝ V＝－400 V
又因为UBC＝φB－φC＝300 V
UCD＝φC－φD＝－400 V
所以φA＞φD＞φB＞φC
故选B.
3.如图所示，在处于O点的点电荷＋Q形成的电场中，试探电荷＋q由A点移到B点静电力做功为W1，以OA为半径画弧交OB于C，再把试探电荷由A点移到C点静电力做功为W2，由C点移到B点静电力做功为W3，则三次静电力做功的大小关系为（　C　）
A.W1＝W2＝W3＜0 B.W1＞W2＝W3＞0
C.W1＝W3＞W2＝0 D.W3＞W1＝W2＝0
答案：
解析：点电荷形成电场的等势面是以该电荷为中心的球面，由题意知，三点的电势关系φA＝φC＞φB，所以电势差UAB＝UCB＞0，UAC＝0，而W1＝qUAB，W2＝qUAC，W3＝qUCB，所以W1＝W3＞W2＝0，选项C正确.
4.（2025·四川眉山高二联考）电场中某一条电场线上有a、b、c三点，b为ac的中点，一电子在a、c两点的电势能分别为－6 eV和4 eV，则（　A　）
A.电场线方向由a指向c
B.电子在b点的电势能一定为－1 eV
C.a、c两点的电势差为2 V
D.a点的场强一定大于c点的场强
解析：根据电势能公式可知Epa＝－eφa＝－6 eV，Epc＝－eφc＝4 eV，可得a、c两点的电势分别为φa＝6 V、φc＝－4 V，则a、c两点的电势差为Uac＝φa－φc＝10 V，沿电场线方向电势逐渐降低，则电场线方向由a指向c，A正确，C错误；若电场为匀强电场，则a点的场强等于c点的场强，此时有φb＝＝1 V，电子在b点的电势能为Epb＝－eφb＝－1 eV，若该电场不是匀强电场，则a、c两点场强大小无法判断，电子在b点的电势能不一定为－1 eV，B、D错误.
5.一个带正电荷的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移到b点，在这个过程中，除静电力外，其他力做功6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点的电势差φa－φb为（　B　）
A.3×104 V B.1×104 V
C.4×104 V D.7×104 V
解析：由动能定理，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，得静电力对物体做的功W＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J，由W＝q（φa－φb）得φa－φb＝ V＝1.0×104 V.
6.如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势线间的电势差相等.一仅受静电力的正电荷在φ3上时，具有动能20 J，它运动到等势线φ1上时，速度为零.令φ2＝0，那么该电荷的电势能为4 J时，其动能大小为（　C　）
A.16 J B.10 J C.6 J D.4 J
解析：由题意得运动到φ2上时动能为10 J，又φ2＝0，故在φ2上时电势能为零，因此动能与电势能的和为10 J，故所求动能为10 J－4 J＝6 J.
7.（2025·四川绵阳南山中学高二月考）（多选）如图所示，虚线a、b、c表示O处点电荷产生的电场中的三个等势面，相邻等势面的间距相等，一电子射入电场后（只受静电力作用）的运动轨迹如图中实线所示，其先后经过的四个点1、2、3、4均为运动轨迹与等势面的交点，由此可以判定 （　AC　）
A.O处的点电荷一定带负电
B.电子运动过程中，动能先增大后减小，电势能先减小后增大
C.三个等势面的电势高低关系为φc＞φb＞φa
D.电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中静电力所做的功相等
解析：从电子的运动轨迹可以看出两个电荷相互排斥，故O处的点电荷一定带负电，A正确；两个电荷相互排斥，故电子运动过程中静电力先做负功后做正功，动能先减小后增大，电势能先增大后减小，B错误；O处点电荷带负电，结合负点电荷的电场线方向可知，a、b、c三个等势面的电势高低关系为φc＞φb＞φa，C正确；点电荷产生的电场中，距离点电荷越远，电场强度越小，由于两相邻等势面的间距相等，所以U23≠U34，静电力做功W＝qU，电子从位置2到位置3与从位置3到位置4过程中静电力所做的功不相等，D错误.
8.（2025·大同高二检测）如图所示，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则（　D　）
A.A点电场强度等于B点电场强度
B.A点电场强度方向指向x轴负方向
C.A点电场强度大于B点电场强度
D.A点电势高于B点电势
解析：由于电场线与等势面垂直，所以B点处电场线比A点处密，B点电场强度大于A点电场强度，故A、C错误.电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面，故B错误.由题图数据可知D正确.
9.（2025·重庆一中高二期中）如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3 J.
（1）求A、C间的电势差；
答案：（1）－×102 V
解析：（1）根据W＝Uq得，UAB＝＝0，即φA＝φB，UBC＝＝－×102 V
UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－×102 V.
（2）若规定B点电势为零，求C点的电势.
答案：（2）×102 V
解析：（2）φB＝0，UBC＝φB－φC，所以φC＝φB－UBC＝×102 V.
[能力提升]
10.（2025·江苏南京高二上期初）（多选）如图所示，在正四面体P－ABC中，O是底面AB边的中点，若在A、B两点分别固定一个带电荷量都为Q的正点电荷，则下列说法中正确的是（　BC　）
A.P点的电场强度与C点的电场强度相同
B.P、C两点的电势差为零
C.将带负电的试探电荷q从P点沿着PC移动到C点，电荷的电势能先减小后增大
D.将带正电的试探电荷q从O点沿着OC移动到C点，电荷的电势能逐渐增大
解析：P、C两点到两点电荷的距离相等，根据场强的叠加可知，P点与C点电场强度大小相等，方向不同，故A错误；等量同种正点电荷连线的中垂线上沿中点向两边电势逐渐降低，由几何知识知OC与AB垂直，OP与AB垂直，OC＝OP，所以C点与P点电势相同，P、C两点的电势差为零，B正确；将带负电的试探电荷q从P点沿着PC移动到C点，先靠近O点，然后再远离O点，电势先升高后降低，根据负电荷在电势高的地方电势能小，可知电荷的电势能先减小后增大，C正确；将带正电的试探电荷q从O点沿着OC移动到C点，电势逐渐降低，根据正电荷在电势低的地方电势能小，可知电荷电势能逐渐减小，D错误.
11.（2025·福州三中模拟）（多选）如图所示，虚线表示两个固定的等量异种点电荷形成的电场中的等势线.一带电粒子以某一速度从图中a点沿实线abcde运动.若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是（　AB　）
A.粒子带负电
B.速度先减小后增大
C.电势能先减小后增大
D.经过b点和d点时的速度大小和方向均相同
解析：根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势线的特点可得，该图中的等势线中，正电荷在上方，负电荷在下方，从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，故A正确；粒子从a→b→c过程中，电场力做负功，c→d→e过程中，电场力做正功，粒子在静电场中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，速度先减小后增大，故B正确，C错误；由于b、d两点处于同一个等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，粒子经过b点和d点时的速度大小相同，方向不同，故D错误.故选A、B.
12.（2025·广州二中教育集团期中）如图所示，匀强电场的电场线与水平虚线夹角θ＝37°，把一带电荷量为q＝10－8 C的正电荷从C点移至A点的过程中，电场力做功WCA＝－3.6×10－8 J，AC长x＝6 cm，AB与水平虚线平行，AC⊥AB，B、C两点位于同一条电场线上.sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）A、C两点的电势差UAC；
答案：（1）3.6 V
解析：（1）由电场力做功与电势差关系得UCA＝＝ V＝－3.6 V，UAC＝－UCA＝3.6 V.
（2）匀强电场的场强E的大小；
答案：（2）100 V/m
解析：（2）由WAC＝－WCA＝Eqd
其中d为沿电场线方向的位移，d＝xsin θ＝0.036 m
所以E＝＝ V/m＝100 V/m.
（3）若规定C点电势为零，求B点电势为多少？
答案：（3）10 V
解析：（3）由电势差与电场强度的关系可知UBC＝EdBC＝E·＝100× V＝10 V
因为UBC＝φB－φC
若规定C点电势为零，即φC＝0
所以B点电势为φB＝10 V.
3.电势差与电场强度的关系
核心素养 素养目标
物理观念 理解匀强电场中电势差与电场强度的关系式，知道其适用条件及各物理量的意义.
科学思维 1.通过所学知识推导电势差与电场强度的关系式. 2.通过电势差与电场强度的关系式解决相关问题，养成多角度、多方面看问题的思维习惯.
@一、匀强电场中场强与电势差的关系
教材认知
引入　如图，图中虚线为等势线，B、C、D三点位于同一等势线上.
（1）比较A与B、A与C、A与D间电势差的大小；
提示：（1）UAB＝UAC＝UAD.
（2）电势沿AB、AC、AD三条线，哪一个方向降落最快？由此说明什么？
提示：（2）AB方向，说明电场强度方向指向电势降落最快的方向.
【知识梳理】
1.匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点　沿电场方向　的距离的乘积，即UAB＝　Ed　，如果匀强电场中两点连线不沿电场方向，d的取值应为在电场方向的投影距离.
2.公式：E＝　　.
（1）在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点　沿电场强度方向的距离　之比.
（2）电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势.
（3）电场强度单位的换算：　1 V/m　＝1 N/C.
【拓展深化】　应用U＝Ed解决问题应注意以下四点
（1）此式只适用于匀强电场，对非匀强电场可定性讨论.
（2）d是电场中两点在电场方向的距离.
（3）单位“V/m”与“N/C”是相等的.
（4）公式说明了匀强电场中的电势分布是均匀的.
典题讲练
[典例1]　如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷，由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做功都是3.0×10－8 J.已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
（1）a、b两点的电势差Uab；
答案：（1）60 V
解析：（1）因为正电荷q从a到b和从a到c静电力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，得到场强方向与ac平行，由a垂直指向bc
Uab＝＝ V＝60 V.
（2）匀强电场的场强大小和方向.
答案：（2）375 V/m　方向与ac边平行且由a垂直指向bc边
解析：（2）由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
场强方向平行于ac，由a垂直指向bc边.
名师点评
电场强度和电势差的关系
大小 关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
方向 关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理 意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
[训练1]　如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列.A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上.A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势（　B　）
A.一定等于6 V B.一定低于6 V
C.一定高于6 V D.无法确定
解析：根据点电荷电场强度公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B.
@二、匀强电场的性质及应用
教材认知
引入　如图所示，A、B、C为匀强电场中的三个点，已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V.试画出该电场的电场线，并保留作图时所用的辅助线（用虚线表示）.
提示：连接A、C，将线AC三等分，等分点为D、E，则φD＝6 V，连接BD即为电场中的一个等势面，过A、E、C三点分别作BD的平行线得到另外三个等势面，过A、B、C三点分别作等势面的垂线，即为三条电场线，方向由高电势指向低电势，如图所示.
【核心归纳】
1.两个重要结论
甲 乙
结论1：在匀强电场中，长度相等且相互平行的两线段端点间的电势差相等，如图甲所示，则UAB＝UDC（或φA－φB＝φD－φC），同理可知，UAD ＝UBC.
结论2：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势为φC＝，如图乙所示.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
典题讲练
[典例2]　如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为（　A　）
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
解析：由匀强电场的特点得OA的中点C的电势φC＝3 V，φC＝φB，即B、C在同一等势面上，如图所示，由电场线与等势面的关系和几何关系知：OD＝1.5 cm，则E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确.
名师点评
用等分法找等势点的技巧
（1）在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点.
（2）在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向.
（3）等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线.
（4）用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场.
[训练2]　（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、12 V、18 V.下列说法正确的是（　AC　）
A.电场强度的大小为 V/cm
B.坐标原点处的电势为6 V
C.电子从b点运动到c点，静电力做功为6 eV
D.电子在a点的电势能比在b点的低2 eV
解析：将电场强度分解为水平和竖直，x轴方向Ex＝＝＝1 V/cm，沿y轴方向Ey＝＝＝1 V/cm，则合场强E＝＝ V/cm，故A正确；在匀强电场中，平行等距的两线段电势差相等，故φc－φa＝φb－φO，解得坐标原点处的电势为4 V，故B错误；电子在c点的电势能Epc＝－eφc＝－18 eV，电子在b点的电势能Epb＝－eφb＝－12 eV，电子在b点的电势能比在c点的高6 eV，故电子从b点运动到c点，静电力做功为6 eV，故C正确；电子在a点电势能Epa＝－eφa＝－10 eV，电子在a点的电势能比在b点的高2 eV，故D错误.故选A、C.
@科学素养
电场中的三类图像
一、φ－x图像
1.电场强度的大小等于φ－x图线斜率的绝对值，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零.
2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向.
3.在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断.
[典例1]　（2025·山西大同一模）如图甲所示，空间存在着平行于纸面的匀强电场，但方向未知，现用仪器在纸面内沿互成90°角的x、y两个方向探测各点的电势情况，设O点的电势为零，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系图像，分别如图乙、图丙所示，下列关于该电场的电场强度E的说法，正确的是（　D　）
甲　乙　丙
A.E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左上
B.E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左下
C.E＝100 V/m，与y轴正方向成30°角斜向右上
D.E＝200 V/m，与y轴负方向成30°角斜向左下
解析：根据电势φ与到O点距离的图像斜率代表场强可知，Ex＝＝100 V/m，其方向沿x轴负方向，Ey＝＝100 V/m，其方向沿y轴负方向，E＝＝200 V/m，其方向与y轴负方向成θ角，tan θ＝＝，所以θ＝30°，斜向左下，D正确.
二、E－x图像
1.E－x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示其方向与规定的正方向相同.
2.E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布.
3.E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿电场强度方向电势降低判断.
[典例2] 　（多选）空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示.下列叙述正确的是（　BCD　）
A.x1、x2两处的电势相同
B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能
C.x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝
D.电子沿x轴从x1处运动到x2处，静电力一直做负功
解析：沿电场方向电势降低，因电场方向指向x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，故φx1＞φx2，A错误；电子受到的静电力方向和电场方向相反，故从x1到x2静电力做负功，电势能增大，电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，B、D正确；因为从x＝0处到x1处的电场强度是均匀增大的，所以从x＝0处到x1处的电场强度平均值为，根据公式E＝，可得x＝0处和x1处的电势差为U＝，C正确.
三、Ep－x图像
1.由Ep－x图像可知带电粒子在不同位置的电势能，在已知带电粒子带电量q的情况下，可由φ＝求出任一位置的电势.
2.由Ep－x图像可求出任意两位置对应的电势能的变化量，进而确定静电力做功情况.
3.由功能关系可得｜ΔEp｜＝qE·Δx，即qE＝，所以Ep－x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力的大小.
[典例3] 　（2025·山东菏泽联考）同一空间中分别施加两个不同的电场，试探电荷－q（q＞0）具有的电势能Ep沿x轴正方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（　D　）
甲 乙
A.图甲中，试探电荷在O点受到的静电力为零
B.图甲中，电场强度沿x轴正方向
C.图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D.图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
解析：根据ΔEp＝－W电＝－Fx可知，Ep－x图像斜率的绝对值表示静电力的大小，故图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为零，沿x轴正方向电势能增大，则静电力做负功，可知静电力有沿x轴负方向的分量，试探电荷带负电，则电场强度有沿x轴正方向的分量，选项A、B错误.结合前面分析及F＝qE可知，图乙中，x1处的电场强度大于x2处的电场强度，选项C错误.图乙中，试探电荷在x1处的电势能小于在x2处的电势能，试探电荷带负电，根据Ep＝qφ，可知x1处的电势高于x2处的电势，选项D正确.
@随堂检测
1.如图所示，在沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r为半径做逆时针转动，当OA与x轴正向成θ角时，O、A两点间的电势差为（　C　）
A.UOA＝Er B.UOA＝Ersin θ
C.UOA＝Ercos θ D.UOA＝－Ercos θ
解析：由题图可知OA沿场强方向的距离d＝OAcos θ＝rcos θ，故UOA＝Ed＝Ercos θ，故C正确.
2.（2025·浙江东阳外国语学校高二开学检测）如图所示，带有等量异种电荷的平行板A和B之间有匀强电场，电场强度为2×104 V/m，方向向下.电场中同一平面内有C、D、P三点，CD连线与电场平行，CD间距为4 cm，P、C两点到B板的距离相等，DP间距为5 cm.则D、P两点间的电势差UDP为（　C　）
A.1 000 V B.－1 000 V C.800 V D.－800 V
解析：D、P两点沿电场线方向的距离等于DC的长度，则D、P两点间的电势差UDP＝UDC＝EdDC＝2×104×4×10－2 V＝800 V，C正确.
3.如图所示，在△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0 V、2 V、8 V，则该电场的电场强度为（　C　）
A.50 V/m B.50 V/m
C.100 V/m D. V/m
解析：如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0 V、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面；根据E＝可得电场强度E＝＝ V/m＝100 V/m，故选C.
4.（多选）如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（　AC　）
A.φA＞φB＞φC B.EA＞EB＞EC
C.UAB＜UBC D.UAB＝UBC
解析：沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB＜UBC，C正确，D错误.
5.（多选）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示.下列说法正确的有（　AC　）
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的静电力增大
解析：从图中看到，中间电势高，两边电势低，且图形左右不对称，电势有正有负，判断q1和q2带有异种不等量电荷，A项正确；从图线斜率看，x1处的电场强度不为零，B项错误；负电荷从x1移到x2，即由低电势到高电势，静电力做正功，电势能减小，C项正确；x2处电场强度为零，所以负电荷从x1移到x2，受到的静电力减小，D项错误.
@课时作业（八）
[基础训练]
1.（2025·山西长治上党联盟高二月考）对公式E＝和UAB＝Ed的理解，下列说法正确的是（　D　）
A.公式UAB＝Ed适用于计算任何电场中A、B两点间的电势差
B.由UAB＝Ed知，A点和B点间距离越大，则这两点间的电势差越大
C.由E＝知，匀强电场中A、B两点沿电场线的距离越大，则电场强度越小
D.匀强电场中电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向
解析：公式UAB＝Ed只适用于计算匀强电场中A、B两点间的电势差，故A错误；由UAB＝Ed知，当E一定时，A点和B点间沿电场线方向距离越大，则这两点间的电势差越大，故B错误；匀强电场场强处处相同，与两点沿电场线的距离无关，故C错误；由E＝可知，匀强电场中电场强度的方向就是电场中电势降低最快的方向，故D正确.
2.如图所示为某匀强电场的等势面分布图，每两个相邻等势面相距2 cm，则该匀强电场的场强大小和方向分别为（　C　）
A.E＝100 V/m，竖直向下
B.E＝100 V/m，竖直向上
C.E＝100 V/m，水平向左
D.E＝100 V/m，水平向右
解析：电场方向与等势面垂直且指向电势降低的方向，故电场方向水平向左，由U＝Ed可得E＝＝ V/m＝100 V/m，C正确.
3.如图所示，场强为E的匀强电场中有A、B、C三点，且AB＝BC＝d，则（　D　）
A.UAB＝UBC B.UAB＝UBC
C.UAC＝UAB D.UAC＝3UBC
解析：由U＝Ed可求出UBC＝Edcos 60°＝Ed，UAB＝Ed＝2UBC，UAC＝UAB＋UBC＝UAB＝3UBC，故D项正确.
4.（2025·山东淄博高一期末）在匀强电场中建立一直角坐标系，如图所示.从坐标原点沿y轴正方向前进0.2 m到A点，电势升高了10 V，从坐标原点沿x轴正方向前进0.2 m到B点，电势降低了10 V.已知电场方向与坐标平面平行，则匀强电场的电场强度大小和方向为（　D　）
A.200 V/m，B→A
B.200 V/m，A→B
C.100 V/m，B→A
D.100 V/m，A→B
解析：根据E＝，可得Ey＝＝50 V/m，方向沿y轴负方向.Ex＝＝50 V/m，方向沿x轴正方向.根据电场强度的叠加原理可得E＝＝100 V/m，设电场强度与x轴夹角为θ，则有tan θ＝＝1，又因为坐标系中AB连线与x轴夹角的正切值tan α＝＝1，可知电场强度方向为A→B.D正确.
5.如图所示，矩形ABCD的AD边长为16 cm，AB边长为12 cm，匀强电场的方向与矩形平面平行，顶点A的电势为10 V，C点电势比A点电势高7 V，D点电势比C点电势高9 V，由此可知匀强电场的电场强度E的大小为（　A　）
A.1.25 V/cm B.2.5 V/cm
C.3.75 V/cm D.5.0 V/cm
解析：设A、D之间的P点电势与C点电势相同，则＝，又AD＝16 cm，解得AP＝7 cm，过D点作等势线CP的垂线DF，DF就是匀强电场的一条电场线，如图所示，由几何关系可知，DF的长度为DF＝＝ cm＝7.2 cm，电场强度的大小E＝＝＝ V/cm＝1.25 V/cm，B、C、D错误，A正确.
6.（2025·陕西西安中学高二月考）如图所示为x轴上各点电势随位置变化的图像，一电子仅在静电力的作用下沿x轴从A点向D点做直线运动，下列说法中正确的是（　D　）
A.电子到达O点时，动能为20 eV
B.电子从A点到O点，先做匀加速运动，后做加速度逐渐减小的减速运动
C.从A点运动到D点，电子的动能先减小后增大
D.整个运动过程中，电子的电势能减少了40 eV
解析：根据能量守恒定律可知，电子从A点到O点，电势能减小20 eV，则动能增大20 eV，由于电子在A、B间运动时电势能不变，则动能不变，可知电子初动能不为0，所以电子到达O点时，动能一定不为20 eV，A错误；φ－x图像某点处切线的斜率的绝对值代表该点的电场强度大小，则电子从A点到O点，先做匀速运动，后做加速度逐渐增大的加速运动，B错误；根据题图和能量守恒定律可知，从A点运动到B点，电子的动能不变，从B点运动到C点电子动能增加，从C点运动到D点电子动能不变，C错误；根据电势能的计算公式Ep＝－eφ可知，整个运动过程中，电子的电势能减少了40 eV，D正确.
7.（2025·合肥一中高二期中）某静电场中的x轴上，一个带电粒子在O点由静止释放，仅在静电力作用下沿x轴正向运动，带电粒子的电势能随粒子在x轴上的位置变化规律如图所示，则下列判断正确的是（　C　）
A.带电粒子带负电
B.带电粒子先做加速运动后做减速运动
C.带电粒子运动的加速度不断减小
D.带电粒子的电势能先减小后增大
解析：由于电场方向不确定，因此粒子的电性无法确定，故A错误；由图像可知粒子的电势能一直减小，所以粒子的动能一直增加，即粒子一直做加速运动，故B、D错误；由于静电力F＝－，因此图像的切线斜率大小反映静电力大小，也反映加速度大小，由图像可知粒子运动过程中加速度一直减小，故C正确.故选C.
8.平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是 60 V.试问：
（1）两板间的电场强度是多大？
答案：（1）1 200 V/m
解析：（1）根据公式E＝，代入数据得
E＝ V/m＝1 200 V/m.
（2）电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差为多大？
答案：（2）48 V
解析：（2）P1、P2沿电场方向的距离为
d12＝5 cm－（0.5 cm＋0.5 cm）＝4 cm
根据公式U＝Ed得
U12＝Ed12＝1 200×4×1 V＝48 V.
（3）若B板接地，P1和P2两点的电势各是多大？
答案：（3）54 V　6 V
解析：（3）由φ1－φB＝Ed1B＝1 200×4.5×1 V＝54 V
得φ1＝54 V.
同理φ2－φB＝Ed2B＝1 200×0.5×1 V＝6 V
得φ2＝6 V.
[能力提升]
9.（2025·四川省宁南中学高二期中）如图所示，△ABC为边长为L的正三角形，某匀强电场的电场线与正三角形平面平行，将一个电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，若从A点移到C点，静电力做的负功为－qU，则下列说法正确的是（　D　）
A.电场方向由B指向C
B.B、C两点电势相等
C.电场强度大小为
D.若电荷从C点移到B点，静电力所做的正功为2qU
解析：将一个电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，若从A点移到C点，静电力做的负功为－qU，由此可以判断，BC中点与A点等势，故电场方向与BC平行，由于静电力从A到C做负功，因此正电荷的电势能增大，A点电势比C点电势低，因此电场方向由C指向B，故A错误；电场方向由C指向B，沿电场方向电势降低，故C点电势大于B点，故B错误；电荷量为q的正电荷若从A点移到B点，静电力做的正功为qU，而A到B沿电场方向的距离为d＝，故由W＝Eqd，得E＝＝＝，故C错误；若电荷从C点移到B点，静电力所做的正功为W＝Eq·2d＝qL＝2qU，故D正确.
10.（2025·四川成都双流中学高二月考）如图所示，梯形abcd位于某匀强电场所在平面内，两底角分别为60°、30°，cd＝2ab＝4 cm，a、b两点的电势分别为4 V、0 V，将电荷量q＝1.6×10－3 C的正电荷由a点移动到d点，需克服静电力做功6.4×10－3 J，则该匀强电场的电场强度（　B　）
A.垂直ab向上，大小为400 V/m
B.垂直bc斜向上，大小为400 V/m
C.平行ad斜向上，大小为200 V/m
D.平行bc斜向上，大小为200 V/m
解析：由W＝qU可知，Uad＝＝－ V＝－4 V，因为φa＝4 V，所以φd＝8 V，如图所示，过b点作bf∥ad交cd于f，有Uab＝Udf，解得φf＝4 V，又因为cd＝2ab，则f点是dc的中点，所以φf＝＝4 V，解得φc＝0 V，所以b、c在同一等势面上，由几何关系知，fb⊥bc，由电场线与等势面垂直知，电场强度方向垂直bc斜向上，大小为E＝＝ V/m＝400 V/m，B正确，A、C、D错误.
11.（多选）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称.一离子仅在静电力作用下从a点运动到b点，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（　AC　）
A.若将离子从b点移到d点，静电力做功为零
B.离子在a、b两点的电势能满足Epa＞Epb
C.离子在a、b两点时动能满足Eka＞Ekb
D.由对称性可知，b、c两点的场强相同
解析：由题图及对称性可知φa＞φb＝φd＞φc，故Ubd＝0，即b、d两点间的电势差为零，由W＝qU可知，将离子从b点移到d点，静电力做功为零，A正确；由离子运动轨迹可知该离子带负电，而负电荷在电势高处电势能小，故Epa＜Epb，B错误；离子运动过程中仅受静电力，即动能与电势能之和不变，又Epa＜Epb，故Eka＞Ekb，C正确；电场线的切线方向表示场强方向，故b、c两点的场强方向不同，D错误.
12.匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，静电力做了1.5×10－7 J的正功.求：
（1）A、B两点间的电势差UAB；
答案：（1）－75 V
（2）A、B两点间的距离；
答案：（2）1.875 m
解析：（1）WAB＝UAB·q
UAB＝＝ V＝－75 V.
（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有静电力作用的情况下，求经过B点时的速度.
答案：（3）5 m/s，方向与电场线反向
解析：（2）由题意知，场强方向由B→A，故UBA＝Ed，d＝＝ m＝1.875 m.
解析：（3）由动能定理有WAB＝m－m
解得vB＝5 m/s，方向与电场线反向.
4.电容器的电容
第1课时　电容器　电容
核心素养 素养目标
物理观念 1.观察电容器，知道电容器的构造和用途. 2.理解电容的概念、定义式和平行板电容器电容的决定式.
科学思维 理解电容的定义式及决定式，并会应用其讨论问题，获得结论.
科学态度 与责任 养成观察、比较、归纳、分析的良好习惯.
@一、电容器
教材认知
引入　照相机的闪光灯能发出强烈的闪光，这时通过闪光灯的电流相当大，有时可达几千安；照相机的电源能够提供的电流却非常小，为何闪光灯能发出强烈的闪光？
提示：由于电容器放出巨大的电流.
【知识梳理】
1.基本构造：任何两个彼此　绝缘　又相距很近的导体，都可以看成一个电容器.
2.充电、放电
（1）充电：把电容器的两个极板与电源的正负极相连，使两个极板上带上　等量异种电荷　的过程.充电后，跟电源正极相连的极板带　正电　，跟电源负极相连的极板带　负　电.充电过程如图（a）、（b）所示.
（2）放电：用导线把充电后的电容器的两个极板接通，两个极板上的电荷　中和　，电容器失去电荷的过程.放电后，电容器任一极板带电荷量均为　零　.放电过程如图（c）、（d）所示.
3.从能量的角度区分充电与放电：充电是从电源获得能量储存在电容器中，放电是把电容器中的　电场能　通过电流做功转化为电路中其他形式的能量.
4.常用电容器
（1）分类：从构造上看，可以分为固定电容器和　可变　电容器两类.
（2）固定电容器有：聚苯乙烯电容器、　电解　电容器等.
（3）可变电容器由两组铝片组成，固定的一组铝片叫作定片，可以转动的一组铝片叫作　动片　.转动动片，使两组铝片的　正对面积　发生变化，电容就随着改变.
典题讲练
[典例1]　如图所示为一电解电容器，根据图中的标示，判断下列说法正确的是（　B　）
A.该电容器的电容为2 200法拉
B.该电容器两极间电势差为1 V时，电容器带电荷量为2.2×10－3 C
C.该电容器的电路符号为
D.该电容器的击穿电压为80 V
解析：由题图可知，该电容器的电容为2 200微法，故A错误；由Q＝CU可知，该电容器两极间电势差为1 V时，电容器带电荷量为Q＝2.2×10－3×1 C＝2.2×10－3 C，故B正确；该电容器为固定电容器，不是可变电容器，故C错误；电容器所标电压为额定电压，故D错误.
@二、电容器的电容
教材认知
【知识梳理】
1.电容
（1）定义：电容器所带电荷量Q与电容器两极板之间的电势差U之比，叫作电容器的电容.
（2）定义式：　C＝　（比值定义法）.
Q指一个极板所带电荷量的绝对值.
（3）单位：电容的国际单位：　法拉　，简称：　法　，用字母　F　表示，常用的单位还有微法和皮法，1 F＝　106　 μF＝1012 pF.
（4）物理意义：描述电容器容纳电荷本领大小的物理量.
（5）由　C＝　表明，电容器的电容在数值上等于使两极板间的电势差为　1 V　时电容器需要带的电荷量.
2.击穿电压和额定电压
（1）击穿电压：电介质不被　击穿　时加在电容器两极板上的　极限　电压，若电压超过这一限度，电容器就会损坏.
（2）额定电压：电容器外壳上标的电压是工作电压（或称额定电压），也是电容器正常工作时所能承受的最大电压.
（3）额定电压比击穿电压　低　.
【辨析】
（1）放电完闭的电容器电荷量为零，电容也为零.（　×　）
（2）对于确定的电容器，它所带电荷量与它两极板间电压的比值保持不变.（　√　）
（3）当加在电容器两端的电压超过额定电压时，电容器将被击穿.（　×　）
典题讲练
[典例2]　（2025·陕西西安高二联考）一个平行板电容器，使它每个极板的电荷量从Q1＝3.0×10－5 C增加到Q2＝3.6×10－5 C时，两板间的电势差从U1＝10 V增加到U2，求：
（1）这个电容器的电容多大？
答案：（1）3 μF
解析：（1）电容器的电容
C＝＝ F＝3×10－6 F＝3 μF.
（2）U2为多少？
答案：（2）12 V
解析：（2）因为电容器的电容不变
所以U2＝＝ V＝12 V.
（3）如要使两极板电势差从10 V降为U2'＝6 V，则每个极板需减少多少电荷量？
答案：（3）1.2×10－5 C
解析：（3）根据电容的定义，它等于每增加（或减少）1 V电势差所需增加（或减少）的电荷量，即C＝，要求两极板间电势差降为6 V，则每个极板应减少的电荷量为
ΔQ'＝CΔU'＝3×10－6×（10－6） C＝1.2×10－5 C.
名师点评
　　公式C＝是公式C＝的推论，在解有关电荷量变化或电压变化题目中，应用C＝比应用C＝更便捷.解题时，两个公式要灵活选用.
[训练1]　如图所示为某一电容器所带电荷量和两端电压之间的关系图线，若将该电容器两端的电压从40 V降低到36 V，对电容器来说正确的是（　B　）
A.是充电过程
B.是放电过程
C.该电容器的电容为5×10－2 F
D.该电容器的电荷量变化量为0.2 C
解析：由Q＝CU知，U降低，则Q减小，故为放电过程，A错，B对；C＝＝ F＝5×10－3 F，C错；ΔQ＝CΔU＝5×10－3×4 C＝0.02 C，D错.
@三、平行板电容器的两类问题
教材认知
引入　在研究“影响平行板电容器电容大小的因素”的实验中，连入了静电计.
（1）静电计的作用是什么？
提示：（1）用静电计测量已经充电的平行板电容器两极板间的电势差U，从指针偏转角度的大小可推知U的大小.
（2）d改变时，极板上电荷量有何特点？
提示：（2）保持不变.
【核心归纳】
1.两公式C＝与C＝的比较
公式 C＝ C＝
公式特点 定义式 决定式
意义 对某电容器Q∝U，但＝C不变，反映电容器容纳电荷的本领 平行板电容器，C∝εr，C∝S，C∝，反映了影响电容大小的因素
联系 电容器容纳电荷的本领由来量度，由本身的结构（如平行板电容器的εr、S、d等因素）来决定
2.平行板电容器的两类典型问题
两类问题 始终与电源连接 充电后与电源断开
不变量 U不变 Q不变
自变量 d S
因变量 E＝，d变大，E变小；d变小，E变大 E＝，S变大，E变小；S变小，E变大
Q＝U，d变大，Q变小；d变小，Q变大 U＝Q，S变大，U变小；S变小，U变大
典题讲练
题型1　电容器两板电势差不变
[典例3]　如图所示，A、B为平行板电容器的上、下两个固定极板，分别接在恒压直流电源的两极上.当纸张从平行极板间穿过时，若负电荷从a向b流过灵敏电流计G，则电流计指针偏向a端；若负电荷从b向a流过灵敏电流计G，则指针偏向b端.某次纸张从平行极板间穿过时，发现电流计指针偏向b端，下列说法正确的是（　A　）
A.两极板间纸张厚度减小
B.两极板间纸张厚度不变
C.两极板间纸张厚度增加
D.以上三种情况都有可能
解析：某次纸张从平行极板间穿过时，发现电流计指针偏向b端，则负电荷从b向a流过灵敏电流计G，电容器放电，根据C＝及Q＝CU可知，电容变小，则两极板间纸张厚度减小，导致相对介电常数减小，故A正确.
名师点评
　　（1）确定不变量，若电容器始终与电源相连，则电压不变.
（2）用决定式C＝分析平行板电容器电容的变化.
（3）用定义式C＝分析电容器所带电荷量的变化.
（4）用E＝分析电容器两极板间场强的变化.
题型2　电容器带电量不变
[典例4]　（2025·北京交大附中期中）如图所示，静电计指针张角会随电容器极板间电势差U的增大而变大.现使电容器带电，并保持总电量不变，实验中每次只进行一种操作，能使静电计指针张角变大的是（　A　）
A.将A板稍微上移
B.减小两极板之间的距离
C.将玻璃板插入两板之间
D.将云母板插入两板之间
解析：根据C＝得，将A板稍微上移，S减小，则电容减小，根据U＝知，电荷量不变，则电势差增大，静电计指针张角变大，故A正确；根据C＝得，减小两极板之间的距离，则电容增大，根据U＝知，电荷量不变，则电势差减小，静电计指针张角变小，故B错误；根据C＝得，将玻璃板插入两板之间，则电容增大，根据U＝知，电荷量不变，则电势差减小，静电计指针张角变小，故C错误；根据C＝得，将云母板插入两板之间，则电容增大，根据U＝知，电荷量不变，则电势差减小，静电计指针张角变小，故D错误.故选A.
名师点评
　　若平行板电容器带电量不变，讨论的物理依据主要有三个：
（1）平行板电容器的电容与极板间距离d、正对面积S、电介质的相对介电常数εr间的关系：C＝（决定式）.
（2）电容器电容的定义式：C＝.
（3）平行板电容器内部电场可认为是匀强电场，E＝ E＝.
[训练2]　如图所示，平行板电容器与电压恒定的直流电源连接，下极板接地，静电计所带电荷量很少，可被忽略.一带负电油滴被固定于电容器中的P点，现将平行板电容器的下极板竖直向下移动一小段距离，则（　D　）
A.平行板电容器的电容将变大
B.静电计指针张角变小
C.带电油滴的电势能将增大
D.若先将上极板与电源正极的导线断开再将下极板向下移动一小段距离，则带电油滴所受静电力不变
解析：两极板与电源相连，所以两极板间的电势差恒定，即静电计张角不变，当下极板向下移动时，两板间距增大，根据公式C＝可知电容减小，故A、B错误；电势差不变，而d增大，则根据E＝可知电场强度减小，P点与上极板的电势差减小，则P点的电势升高，因为该油滴带负电，则电势能减小，C错误；与电源断开，两极板的电荷量Q恒定不变，根据公式C＝，C＝，E＝，联立解得E＝，即两极板间的电场强度在电荷量恒定的情况下与两极板间的距离无关，故两极板间的电场强度E不变，则油滴所受静电力不变，D正确.
@随堂检测
1.某电容器的电容是30 μF，额定电压为200 V，击穿电压为400 V，对于该电容器，下列说法中正确的是（　A　）
A.为使它的两极板间的电压增加1 V，所需要的电荷量是3×10－5 C
B.给电容器1 C的电荷量，两极板间的电压为3×10－5 V
C.该电容器能容纳的电荷量最多为6×10－3 C
D.该电容器两极板间能承受的最大电压为200 V
解析：由ΔQ＝C·ΔU＝30×1×1 C＝3×1 C，A对；由U＝＝ V＝3.3×104 V，电容器被击穿，B错；击穿电压为400 V表示电容器能承受的最大电压为400 V，最大电荷量Q＝CU＝3×1×400 C＝1.2×1 C，C、D错.
2.（多选）半导体指纹传感器多用于手机、电脑、汽车等设备的安全识别，采集指纹的场景如图所示.传感器半导体基板上有大量金属颗粒，基板上的每一点都是小极板，其外表面绝缘.当手指的指纹一面与基板的绝缘表面接触时，由于指纹凹凸不平，凸点处与凹点处分别与半导体基板上的小极板形成正对面积相同的电容器，使每个电容器的电压保持不变，对每个电容器的放电电流进行测量，即可采集指纹.指纹采集过程中，下列说法正确的是（　AC　）
A.指纹的凹点处与小极板距离远，电容小
B.指纹的凸点处与小极板距离近，电容小
C.手指挤压基板的绝缘表面，电容器带电荷量增大
D.手指挤压基板的绝缘表面，电容器带电荷量减小
解析：根据C＝，指纹的凹点处与小极板距离远，电容小，A正确；根据C＝，指纹的凸点处与小极板距离近，电容大，B错误；根据C＝，C＝，解得Q＝，手指挤压基板的绝缘表面，U不变，d减小，电容器带电荷量增大，C正确，D错误.故选A、C.
3.（2025·湘桂黔名校高二联考）电容器是常用的电学元件，如图所示，两个相同的半圆形金属板间隔一段距离水平放置，板间可视为真空.两金属板分别与电源两极相连，开关S闭合，上极板可绕过圆心且垂直于半圆面的轴转动.开始时，两极板边缘完全对齐，现让上极板转过90°，下列说法正确的是（　B　）
A.电容器的电容增大为原来的2倍
B.极板上所带电荷量减少为原来的一半
C.两极板间电势差增大为原来的2倍
D.两极板间电势差减小为原来的一半
解析：让上极板转过90°，则两极板正对面积减小为原来的一半，根据C＝可知，电容器的电容减小为原来的一半，故A错误；开关S闭合，两极板间电势差不变，故C、D错误；根据Q＝CU可知，极板上所带电荷量减少为原来的一半，故B正确.
4.（多选）如图所示，A、B是平行板电容器的两个金属板，G为静电计.开始时开关S闭合，静电计指针张开一定角度，为了使指针张开的角度增大些，下列措施可行的是（　AB　）
A.断开开关S，并使A、B两极板分开些
B.断开开关S，并使A、B两极板正对面积错开些
C.保持开关S闭合，使A、B两极板靠近些
D.保持开关S闭合，使A、B两极板正对面积错开些
解析：断开开关S，电容器所带电荷量Q不变，将A、B两极板分开一些，则板间距离d增大，根据C＝知C减小，又由C＝知，电势差U增大，即指针张角增大，A正确；断开开关S，将A、B两极板错开些，则两极板正对面积S减小，根据C＝知C减小，又由C＝知，电势差U增大，指针张角增大，B正确；保持开关S闭合，则电容器两端的电势差等于电源电压，指针张角不变，C、D错误.
@课时作业（九）
[基础训练]
1.（2025·北京二十中学高二月考）如图所示是一个常用的电容器（C＝220 μF，耐压值U＝500 V），下列说法正确的是（　B　）
A.电容器可以储存电荷，且储存的电荷量越多电容越大
B.这个电容器两端电压变化10 V，它储存的电荷量变化2.2×10－3 C
C.加在这个电容器两端的电压为250 V时，它的电容是110 μF
D.加在这个电容器两端的电压低于500 V时它就不能工作
解析：电容器可以储存电荷，电容器的电容是由其本身的性质决定的，与电荷量无关，A错误；这个电容器的电容为C＝220 μF，两端电压变化10 V，它储存的电荷量的变化量ΔQ＝CΔU＝220×10－6×10 C＝2.2×10－3 C，B正确；电容器的电容与加在它两端的电压无关，C错误；加在这个电容器两端的电压低于500 V时它仍能工作，D错误.
2.（2025·浙江浙南名校联盟高二联考）如图所示为某次心脏除颤器的模拟治疗，该心脏除颤器的电容器充电后的电压为4.0 kV，电容器电容为15 μF，若电容器在一定时间内放电至两极板间电势差为0，在此过程中，共释放了0.06 C的电荷，则下列说法正确的是（　D　）
A.电容器在充电后的电容为15 μF，放电后的电容为0
B.电容器在放电过程中产生的电流大小是恒定不变的
C.电容器充电后，单个极板所携带的电荷量为0.03 C
D.电容器两极板之间电势差与电荷量成正比
解析：电容是电容器本身的一种性质，与电容器充放电无关，电容器在充电后的电容为15 μF，放电后的电容仍为15 μF，A错误；电容器在放电过程中，两极板所带的电荷量逐渐减小，两极板间电势差逐渐减小为0，产生的电流大小逐渐减小为0，B错误；电容器所带的电荷量是一个极板的电荷量的绝对值，电容器在放电过程中，共释放了Q＝CU＝4 000×15×10－6 C＝0.06 C的电荷，则电容器充电后，单个极板所携带的电荷量为0.06 C，C错误；根据C＝，可得电容器两极板之间电势差与电荷量成正比，D正确.
3.如图所示，A、B为两块竖直放置的平行金属板，G是静电计，开关S闭合后，静电计指针张开一定角度.下述做法可使静电计指针张角增大的是（　D　）
A.使A板向左平移以增大板间距离
B.在A、B两板之间插入一块陶瓷板
C.断开S后，使B板向左平移以减小板间距离
D.断开S后，使B板向上平移以减小极板正对面积
解析：开关S闭合，电容器两端的电势差不变，则指针的张角不变，故A、B错误；断开S，电容器所带的电荷量不变，当B板向左平移减小板间距，根据平行板电容器的表达式C＝可知电容增大，根据U＝知，电势差减小，则指针张角减小，故C错误；断开S，电容器所带的电量不变，使B板向上平移减小正对面积，电容减小，根据U＝知，电势差增大，则指针张角增大，故D正确.
4.（2025·广东实验中学越秀学校高二期中）常见的计算机键盘为电容式按键，每个键下面由相互平行的活动金属片和固定金属片组成，两金属片间有空气间隙，两金属片组成一个平行板电容器，如图甲所示.其内部电路如图乙所示，下列说法正确的是（　C　）
A.向下按键的过程中，电容器的电压减小
B.向下按键的过程中，电容器的电容减小
C.向下按键的过程中，电容器的电荷量增多
D.向下按键的过程中，其内部电流方向从a流向b
解析：电容器与电源相连，电容器的电压等于电源的电动势，不变，A错误.根据C＝可知向下按键的过程中，两金属片间的距离减小，电容器的电容增大.根据Q＝CU可知，电压不变，电容增大，电容器的电荷量增多，电容器充电，电流方向从b流向a，C正确，B、D错误.
5.（2024·江西卷）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质，将其置于电压恒定的两平行金属板间，板间电场视为匀强电场，如图所示.若两金属板间距减小，关于火焰中电子所受的电场力，下列说法正确的是（　B　）
A.电场力增大，方向向左
B.电场力增大，方向向右
C.电场力减小，方向向左
D.电场力减小，方向向右
解析：平行板电容器间的电场为匀强电场，两板间电压U不变，两板间距d减小，根据E＝知，电场强度增大，根据F＝Eq知，电子所受的电场力增大.左极板带负电，右极板带正电，故电场方向水平向左，电子所受电场力方向向右，B正确.
6.（多选）如图所示，竖直放置的平行板电容器与定值电阻R、电源E相连，用绝缘细线将带电小球q悬挂在极板间，闭合开关S后细线与竖直方向夹角为θ.则有（　BC　）
A.保持开关S闭合，将A板向右平移，θ不变
B.保持开关S闭合，将A板向左平移，θ变小
C.断开开关S，将A板向右平移，θ不变
D.断开开关S，将A板向右平移，θ变小
解析：保持开关S闭合，电容器两极板间的电势差不变，将A板向右平移，d减小，则电场强度增大，带电小球所受静电力增大，根据共点力平衡条件知，θ角变大，反之向左平移A板，θ角变小，故A错误，B正确；断开开关S，电荷量不变，根据C＝，E＝，C＝，联立解得E＝，则电场强度大小与两极板间的距离无关，则电场强度不变，所以移动A板，θ角不变，故C正确，D错误.
7.（2025·威海市高一期末）电容式液位计可根据电容的变化来判断液面升降.某型号液位计的工作原理如图所示，一根金属棒插入金属容器内，金属棒和容器壁分别为电容器的两极，容器壁接地，容器内液面高度发生变化引起电容器的电容变化.下列说法正确的是（　D　）
A.该液位计适用于导电液体
B.金属棒的电势低于金属容器的电势
C.若电容器的电容减小，则液面上升
D.若电容器的电容增大，则电容器的带电荷量增大
解析：若溶液为导电溶液，则金属棒与容器壁通过导电溶液导通，从而会形成闭合回路，则金属棒不能与容器壁构成电容器，因此该液位计不适用于导电液体，故A错误；金属棒与电源正极相连接，金属容器与电源负极相连且接地，则可知金属容器电势为零，金属棒电势大于零，因此金属棒的电势高于金属容器的电势，故B错误；溶液相当于电介质，当液面上升时，根据电容器电容的决定式C＝，可知εr增大，则电容器的电容增大，故C错误；电容器接在电源两端，则电容器两端电压不变，根据C＝可知，若电容器的电容增大，则电容器的带电荷量增大，故D正确.
8.（2025·广州协和学校期中）（多选）如图所示，两块较大的金属板A、B相距为d.平行放置并与一电源相连，S闭合后，两板间恰好有一质量为m、带电量为q的油滴处于静止状态，以下说法正确的是（　AD　）
A.若将A向左平移一小段位移，则油滴仍然静止，G表中有b→a的电流
B.若将A向上平移一小段位移，则油滴向下加速运动，G表中有a→b的电流
C.若将S断开，则油滴将做自由落体运动，G表中无电流
D.若将S断开，A向下平移一小段位移，则油滴仍然静止，G表中无电流
解析：若将A板左移，电容器板间电压不变，由E＝可知，场强E不变，油滴所受的静电力不变，仍处于静止状态；电容器的电容减小，由Q＝CU知电容器的电量将减小，放电，则G表中有b→a的电流，故A正确.将A板上移，由E＝可知，E变小，油滴所受的静电力减小，将向下加速运动；电容C变小，电量减小，电容器要放电，则有由b→a的电流流过G，故B错误.若将S断开，根据C＝，C＝，E＝，可得E＝，可知E不变，油滴所受的静电力不变，故油滴仍处于静止状态，故C错误.若将S断开，根据E＝可知E不变，油滴所受的静电力不变，故油滴仍处于静止状态，由于电路断开了，则G中无电流，故D正确.故选A、D.
[能力提升]
9.（2025·广州二中教育集团期中）如图所示是某电容式话筒的原理示意图，E为电源，R为电阻，薄片P和Q为两金属板，从左向右对着振动片P说话，P振动而Q不动，在P、Q间距减小的过程中（　D　）
A.电容器的电容减小
B.P上的电量保持不变
C.有从M到N的电流流过
D.点M的电势比点N的低
解析：由电容器的决定式和定义式C＝，C＝，在P、Q间距减小的过程中，可知电容C增大，由于极板电压不变，可知电容器电量Q增加，电容器被充电，通过电阻R的电流方向由N到M，则M点的电势比N点的低.故选D.
10.（多选）一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，在两极板间有一正电荷（电荷量很小）固定在P点，如图所示，以E表示两极板间的电场强度，U表示电容器的电压，Ep表示正电荷在P点的电势能，若保持负极板不动，将正极板移到图中虚线所示的位置，则（　AC　）
A.U变小，E不变 B.E变大，Ep变大
C.U变小，Ep不变 D.U不变，Ep不变
解析：电容器充电后与电源断开，说明电容器带的电荷量不变，由C∝，U＝，推出U∝d，因此正极板向负极板移近，d变小时，U变小；又有E＝＝，故E不变.负极板接地即以负极板作为零电势点，电场强度E不变，P点的电势不变，正电荷在P点的电势能EP也不变.故A、C正确，B、D错误.
11.如图所示，一平行板电容器的两个极板竖直放置，在两板之间有一个带电小球，小球用绝缘细线连接悬挂于O点.现给电容器缓慢充电，使

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