资源简介 第十六章《分式》教材分析执笔人：武汉市翠微中学 陈浩 一、教科书内容和课程学习目标 （一）教科书内容 全章共包括三节：《16．1 分式》、《16．2 分式的运算》、《16．3 分式方程》。 其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 （三）课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。（1）分式的概念例1（汉阳区期中考试题）代数式，，，中，其中是分式的个数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个例2（江岸区期中考题）在下列各式中：，，，，，分式有（ ） A．3 B．4 C．5 D．2（2）分式有无意义例1（2009·常德）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A． B． C． D．例2（2009·清远）当 时，分式无意义．解析：若分母不为0，则分式有意义；若分母等于0，则分式无意义．反之亦然．根据分式有无意义的条件，可轻松得出答案：例2的答案是B，例3的答案是2. 例3 （江岸区期末考试题）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ） A．x＞1 B．x＞－1 C．x≠1 D．x≠－1例4（江岸区期中考试题）分式有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠－3例5（硚口区考试题）分式有意义的x的取值范围是（ ）A. B. C. D.例6（青山区考试题）使分式有意义的条件是（ ） A．x≠2 B．x≠－2 C．x＝±2 D．x≠±2 （3）分式的值为0。例1（汉阳区期中考试题）如果分式的值为0，则a的值是( )A． B．2 C． D．以上全不对例2 (2009·安顺)已知分式的值为0，那么的值为______________．解析：分式的值为0，应满足两个条件，即分子等于0的同时，分母不为0．∴x+1=0，x-1≠0，∴x=-1．特别提醒：分式的值为0，必须在分式有意义的前提下．【同类中考试题】1．（2009·重庆綦江）在函数中，自变量x的取值范围是 ．2．（2009·黔东南州）当x______时，有意义．3、(2009·肇庆)若分式的值为零，则的值是（ ）AA．3 B． C． D．04、（2009·天津市）若分式的值为0，则的值等于 ．22．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。 一、分式的通分与约分例1（汉阳区期中考试题）下列式子计算正确的是( )A． B． C． D．例2（2009·荆门）计算的结果是（ ）A．a B．b C．1 D．－b解析：本题考查积的乘方运算与分式的约分，，故选B．例3（2008·恩施州）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式ｘ2－4ｘｙ＋4ｙ2 ｘ2－4ｙ2 ｘ－2ｙ例4（2009·长沙）分式的计算结果是（ ）A． B． C． D．解析：本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．．故选C．【同类中考试题】1、（2009·淄博）化简的结果为（ ）BA． B． C． D．2、（2009·吉林）化简的结果是（ ）DA． B． C． D．3、（2009·深圳）化简的结果是（ ）DA． B． C． D．4．（2009·滨州）化简： ．5、若实数满足则的最大值是 ．6、（2009·枣庄）a、b为实数，且ab=1，设P=，Q=，则P Q（填“＞”、“＜”或“＝”）．3．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则。例1（2009·长春）先化简，再求值：，其中。解析：原式=，当x=2时，原式=．本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约分的一定要约分．例2（期中考试题）（1） （2）【同类中考试题】1、（2009·青岛）化简：； 原式 ．2、(2009·安顺)先化简，再求值：，其中原式=，当时，原式=0.5.3、（2009·黄石）先化简，再求值其中．原式=．当时，原式． 二、分式的加减例2 （2009年株洲市）先化简，再求值：，其中．解析：=+=， 当时，原式．【同类中考试题】1、（2009·舟山）化简： ．12．（2009·邵阳）已知，用“+”或“”连接，有三种不同的形式：，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中∶=5∶2．选择：，当∶=5∶2时，，原式=． 3．（2009·山西）化简：原式===1．三、 分式的混合运算例3 (2009·肇庆)已知，求代数式的值． 解析： ，∵，∴原式例2（汉阳区期中考试题）先化简代数式，然后求代数式的值：（1）先化简，再求值：，其中．【同类中考试题】1、（2009 ·大兴安岭）先化简：，当时，请你为任选一个适当的数代入求值．原式= ， 的取值注意满足（、）．2、（2009·益阳）先化简，再求值：，其中．原式= ==，当时原式==．3、（2009·崇左）已知，求代数式的值．原式===，，，原式，原式=1．4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。一、分式方程问题例1（汉阳区期中考试题）将分式方程去分母后，其中结果正确的是（ ）A． B． C． D．例2 （2009·襄樊市）分式方程的解为（ ）A．1 B．－1 C．－2 D．－3解析：方程两边同乘，得，解得，经检验是原分式方程的解，故选D．解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根．例3（汉阳区期中考试题）（1）；（2）；【同类中考试题】1、（2009·山西）解分式方程，可知方程（ ）DA．解为 B．解为 C．解为 D．无解2、（2009·嘉兴）解方程的结果是（ ）DA． B． C． D．无解3．（2009·孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）DA．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－24.（2009·贺州）解分式方程：方程两边同乘，得 解这个方程，得x=2 检验：当x=2时，=0，所以x=2是增根，原方程无解．二、分式方程的应用例1 （汉阳区期中考试题）比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．例2（2009·宁波市）如图，点A，B在数轴上，它们所对应的数分别是，，且点A、B到原点的距离相等，求的值．解析：由题意得， ，解得．经检验，是原方程的解．的值为．【同类中考试题】1、（2009·十堰）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？1、设该厂原来每天加工x个零件，由题意得：解得，x=50 经检验：x=50是原分式方程的解，答：该厂原来每天加工50个零件．2、（2009·齐齐哈尔）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，，解得： 经检验：是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．（2）设购进甲种电脑台， ，解得 ，因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案，（3）设总获利为元， 当时，（2）中所有方案获利相同． 此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利3、（2009·本溪）“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）求步行同学每分钟走多少千米？（2）右图是两组同学前往水洞时的路程（千米）与时间（分钟）的函数图象．完成下列填空：①表示骑车同学的函数图象是线段 ；②已知点坐标，则点的坐标为（ ）．3、设步行同学每分钟走千米，则骑自行车同学每分钟走千米。根据题意，得：， ，经检验，是原方程的解答：步行同学每分钟走千米．（2）①②． 二、本章的编写特点（一）反映分式和分式方程等概念的实际背景，体现数学概念来自实际、服务于实际。 本章在引出分式的概念之前，安排了“思考”如何用式子表示实际问题中的数量关系；在讨论分式的乘除和加减的过程中，前后安排了涉及容积、工作效率、耕作面积、工程进度、增长率等多个实际问题；在讨论分式方程时，更注意结合分析、解决实际问题逐步深入。可以看出，本章从引言到小结始终保持贴近实际、贴近生活。这样编写的目的主要是反映两重意思： 1．客观世界中有大量的问题需要用数学进行研究，许多数学概念正是在客观实际的需求中产生的； 2．掌握数学知识和方法后，可以能动地运用它们分析和解决大量的实际问题。 上述两方面是符合辩证唯物主义关于理论与实际的关系的观点的，在本套教科书的其他部分也有这样的反映。 人们接受正确的哲学观点需要经历不断加深认识的过程，结合学习的不同阶段渗透辩证唯物主义和历史唯物主义，帮助学生逐步形成正确的世界观和方法论，是数学教育的任务之一。本套教科书力求体现的一个特点，就是使它成为反映科学发展和文化进步的一面镜子，使学生通过这面镜子的照射更清楚地认识数学的本来面目、更清楚地认识世界。 本章中安排大量实际问题，也是为更好地体现本套教科书非常重视的一点，即通过分析与解决实际问题，提高学生联系实际地应用数学知识的意识、兴趣和能力，更好地培养他们的创新精神。 （二）通过类比分数，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式 人们认识事物往往经历“从具体到抽象，从特殊到一般”的过程，本章教科书对几个内容的安排正是按照这样的过程展现的。 分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系。分数等表示具体的数值，或者说每个分数表示两个特殊的整数的除法；分式则具有一般的、抽象的意义，例如表示的是一般的倒数，表示的是任意两个数的除法。分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则，是从分数的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则中经过再抽象而产生的。在学习本章之前，学生已经对分数有较多的了解，因此本章教科书的另一个编写特点是：在学生对分数已有认识的基础上，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式。在16．1节讨论分式的基本性质、约分、通分和11．2节讨论分式的四则运算时，教科书通过多次的“观察”“思考”，进行上述类比，温故而知新，完成知识的深化。希望读者能细心体会这样安排的良苦用心，教学中充分发挥知识之间正向迁移的积极作用。 （三）分析分式方程的特点，明确指出解分式方程的基本思路 在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路（使方程逐步化为的形式）已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加，人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。 本章最后的第16．3节“分式方程”，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。教科书注意在这里要体现出解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，是在原来已经认识的解方程的基本思路──使方程逐步化为 的形式的想法基础上发展而得到的。这样处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。 在强调解分式方程必须检验时，考虑到学生的知识基础和接受能力，教科书没有对解分式方程中增根的理论问题进行深入的讨论，而是通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出检验增根的方法，这样处理是想以典型例子简明地说明检验增根方法的依据。教科书的编者对如何把握这个问题的深度作了认真思考，力求做到既说明做法的合理性，有适可而止，不超越学生的实际水平。 在本章小结中，教科书通过本章知识结构图和思考题，再次强调了解分式方程的基本思路以及检验的问题，这又一次反映出编者对分式方程不仅关注使学生会解，而且还重视使学生认识解法后面的道理，即使学生能知其然也知所以然。 三、几个值得关注的问题 （一）重视分数与分式的联系，注意通过分数认识分式 数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，这样的抽象是一个逐步深入的过程。人们首先从计算具体物体个数的活动中抽象出整数的概念，又从把一个具体物体分为若干份的活动中抽象出分数的概念，这是一种从实物到数的抽象。人们在研究整数和分数的过程中，为了更好地反映一般规律，又抽象出整式和分式的概念，这是一种从数到式的抽象。 正如前面所述，分数与分式的关系是具体与抽象、特殊与一般的关系，即相对于分式而言分数就是具体的、特殊的基础对象。分式是把具体的分数一般化后的抽象代表，根据这种关系，分式的基本性质、约分与通分、四则运算法则等应该与分数的基本性质、约分与通分、四则运算法则等相对应，即两者具有一致性，这也可以说是数式通性。“从具体到抽象，从特殊到一般”，是人们认识事物往往经历的过程，本章教科书对分式的概念、基本性质、约分与通分、四则运算法则等内容的展开，充分地考虑了这样的认识过程。因此，教学中应重视分数与分式的联系，考虑到学生对分数已有一定认识的基础，要发挥这样的认识基础的作用，通过分式与分数的类比，从具体到抽象、从特殊到一般地认识分式，这将有助于理解和记忆所学的分式内容。同时，这样的学习过程对于培养良好的学习方法也会起到引导作用。 （二）重视分式与实际的联系，体现数学建模思想 由于分式是在分数基础上再次抽象的产物，所以相对说来就与客观实际的联系而言，分式不如分数更直接。但是，如果我们不仅考虑实际问题中的具体数值，而且考虑其中的运算或对应规律，那么仍然有与分式存在密切联系的实际问题情景。 如前所述，本章教科书中从引言开始安排了大量实际问题，一方面要体现与研究分数类似研究分式同样也是实际需要，另一方面也是为通过运用分式为工具分析与解决实际问题，提高学生把实际问题转化为数学形式的能力，即结合本章内容体现数学建模思想，进一步加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识，从长远看这将有助于培养学生的创新精神。 在本章的教学和学习中，应重视分式与实际的联系，选择一些适合分式内容而又接近学生生活的实际问题，结合这些问题展开分式的内容。要注意避免脱离任何实际问题地讲述分式的内容，虽然这种纯数学的处理方法在数学体系内部并无问题，但是从教学角度看它具有局限性，不适合初中学生接受，也不利于全面地提高学生素质。总之，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出分式来自实际又服务于实际，加强对代数式（包含分式）也是解决现实问题的一种数学模型的认识。 对于把实际问题转化为有关代数式的问题，分析和解决它们的关键是找出问题中相关数量之间的运算关系，并把这样的关系 “翻译”为数学形式，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考实际问题，例如借助图象、表格、式子等进行分析，发现其中的数量关系，并检验所建立的式子的合理性。 （三）重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤 本章所讨论的主要对象是分式，分式方程与分式有直接的关系。如前所述，本章之前，已经出现过整式方程，对于解方程就是使方程逐步化为 的形式这一基本思路，学生已经比较熟悉。与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中。正因如此分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别： 1．一般说，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。 2．通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。 由于解一元一次方程已不是新问题，所以上述两点就成为本章中解分式的关键步骤。 在本章的教学和学习中，应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认），明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用。如果抓住分式方程的特殊性，那么就能感到解分式方程的基本思路是非常很自然、合理的，而不会去死记硬背解法步骤了。这也就是说，抓住分式方程的特殊性就能突出解分式方程的关键步骤及其算理，在已有的对解方程的认识的基础上再认识分式方程的解法。此外，需要强调：本章的主要内容包括分式的基本概念、基本性质、基本运算，分式方程的基本解法等，这些都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实掌握它们。第十七章《反比例函数》教材分析 （一）教科书内容 本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。 第17．1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数（k为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，y随x的增大（减小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，y随x的增大（减小）而增大（减小）。 第17．2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。本章主要涉及到如下的4个现实世界中的反比例函数模型：当圆柱体的体积V一定时，圆柱的底面积S是高（深度）d的反比例函数；当工程总量k一定时，做工时间t是做工速度v的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压U一定，输出功率P是电路中电阻 R的反比例函数。 一、路程、速度与时间问题例1（海南）在匀速运动中，路程一定时，速度关于时间的函数关系的大致图象是（ ）解：由，当路程一定时，速度是关于时间的反比例函数，所以它的图象是双曲线，又，所以图象在第一象限，故选Ａ．二、密度、质量与体积问题例2（厦门）一定质量的干松木，当它的体积m3时，它的密度kg/m3，则与的函数关系式是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解：由，当m3时,它的密度kg/m3时，有，解得：，所以，，故选Ｄ．三、电压、电流与电阻问题例3（江苏）在某一电路中，电源电压保持不变，电流与电阻之间的函数图象如右图所示：（1）与的函数关系式为： ；（2）结合图象回答：当电路中的电流不得超过时，电路中电阻的取值范围是 ． 解：（1）设， ∵函数图象经过点， ∴所以，解得：．所以，与的函数关系式为：．（2）当时，即，解得电阻的取值范围是：．四、压强、压力与面积问题例4（江苏）在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其图象如图所示．（1）求与之间的函数关系式；（2）求当m2时物体承受的压强．解：（1）设，∵点在函数的图象上，∴，∴．∴与之间的函数关系式是：．（2）当m2时，（帕）． 此外，本章还安排了两个选学内容：第17．1节的“信息技术应用”中安排了“探索反比例函数的性质”，第17．1节的“阅读与思考”中安排了“生活中的反比例关系”。这两个内容可以开阔学生的视野，拓展知识面。 （二）课程学习目标 本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；4、（青山区）下列关系中，是反比例函数的是A． B. C. D. 例1（2009·达州）下列函数中，是反比例函数的为（ ）A、 B、 C、 D、例2（2009·新疆）若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是____________．（不考虑的取值范围）例3（2009·漳州）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）例4（2009·衡阳）一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（ ）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点；例1（汉阳区期中考试题）某反比例函数的图象经过点（－2，3），则下列点中在此函数图象上的是 ( )A．（2，－3） B．（—3，－3） C．（2，3） D．（－4，6）例2（2009·泸州）已知反比例函数的图象经过点P(一l，2)，则这个函数的图象位于（ ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限例3（2009·资阳）如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（ ）A．y＝ （x>0） B．y＝－ （x>0） C．y＝ （x<0） D．y＝－ （x<0）例4（2009·衢州）水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400250240200150125120销售量y(千克)304048608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．(1)写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；(2)在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？(3)在按(2)中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解析：（1）函数解析式为；（2）2 104－(30＋40＋48＋50＋60＋80＋96＋100)＝1 600，即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．当x＝150时，＝80．1 600÷80＝20，所以余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出；（3）1 600－80×15＝400，400÷2＝200，即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克． 所以新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务． 《盘点反比例函数的六大类型》本文发表在《中学生》杂志2008年第10期上定义型例1 （2006年黄冈市中考试题）反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则该函数的解析式为 ．解析：∵函数是反比例函数，∴m2－2＝－1，得，m＝±1，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴2m－1＜0，m＜，故m＝－1，将m＝－1代入中，得该函数的解析式为y＝－3x－1＝－．一点型例2（2008年大连市）函数的图象经过点(1，2)，则k的值为____________．解析：设该函数的解析式为，∵反比例函数的图象经过点（1，2），∴2＝，∴k＝2，故该函数的解析式为．例3 (2008年宁波市)如图1，正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（ ）A． B． C． D．解析：设该函数的解析式为，∵反比例函数的图象经过点（－2，2），∴2＝，∴k＝－1，故该函数的解析式为．三、图示型例4（2008年湖北省宜昌市）某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（㎡）之间的函数关系如图所示．这一函数表达式为p＝________．解析：由题意及函数的图象可知该函数为反比例函数，设该函数的解析式为，∵点P（16，10）正是该图象上的一点，，∴k＝160，则该函数的解析式为p＝．开放型例5（2008年甘肃省白银市）一个函数具有下列性质：①它的图像在二、四象限内； ②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．则这个函数的解析式可以为 ．（写出一个即可）解析：本题答案众多，结论开放，如。四、面积型例6 （2007年苏州市中考试题）．已知点P在函数 (x＞0)的图象上，PE⊥x轴、PF⊥y轴，垂足分别为E、F，则矩形OAPB的面积为3，则反比例函数的解析式是__________．解析：∵设点P的坐标为，设该函数的解析式为，因为点P（xP，yP）在该函数的图象上，则，∴xP×yP＝k，又∵长方形PEOF的面积＝＝∴＝3，则k＝±3，由于该函数的图象分布在二、四象限，故k＜0，∴k＝－3．则该函数的解析式为．例7 （2008年巴中市）如图8，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．解析：设该函数的解析式为，由上例可知四边形ABOC的面积为，△AOB的面积等于四边形ABOC的面积的一半，即：＝＝6，∴＝6，则k＝±6，由于该函数的图象分布在第二象限，故k＜0，∴k＝－6．则该函数的解析式为．实际问题型例8（2006年南昌市中考试题）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0． 25m，则y与x的函数是关系式为 ． 解析：由题意可设，∴，∴k＝100，则y与x的函数是关系式为．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；例1（2009·恩施市）一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为、，剪去部分的面积为20，若，则与的函数图象是（ ）例2． (2008·西宁市) 如图，已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（ ）A例3 （2009·茂名）已知反比例函数＝(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数＝－＋的图象不经过（ ） 答案：C Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 4．探索现实生活中数量间的反比例关系，在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定数量关系的数学模型；例1（2008·湛江市）已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系的图象大致是（ ）DA． B． C． D ．例2 (2008·益阳) 物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为． 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( )5．使学生在学习一次函数之后，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法。例1（2008·咸宁市）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．例2（2009·兰州）如图，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小【答案】C二、本章编写特点 （一）突出反比例函数与现实世界的联系 从日常生活、参加生产和进一步学习的需要看，关于（反比例）函数的知识是非常重要的。例如，在讨论社会问题，经济问题时，越来越多地运用数学思想、方法，函数的内容在其中占有相当的地位。又如，计算机日渐普及，学习、使用计算机是需要函数的有关知识的。正是由于函数知识的重要性，在高中将更多、更深入地学习、研究函数。 反比例函数是一种反映现实世界特定数量关系的数学模型，为了突出反比例函数与现实世界有着密切的联系，教科书对本章内容的安排采取了如下的步骤： 本章引用了大量的现实世界中的实际问题，尤其是专门安排一节来说明反比例函数的实际应用，一方面说明在现实世界反比例函数大量存在，另一方面说明如何用反比例函数的知识分析和解决实际问题。本章的“阅读与思考”栏目提供了大量的，学生身边的反比例函数的例子，可以使学生进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。例1（2008·巴中市）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时与的函数关系式;（2）求药物燃烧后与的函数关系式;（3）当每立方米空气中含药量低于1．6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？例2．（2009·河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？例3（2008·苏州）如图，帆船和帆船在太湖湖面上训练，为湖面上的一个定点，教练船静候于点．训练时要求两船始终关于点对称．以为原点，建立如图所示的坐标系，轴，轴的正方向分别表示正东、正北方向．设两船可近似看成在双曲线上运动．湖面风平浪静，双帆远影优美．训练中当教练船与两船恰好在直线上时，三船同时发现湖面上有一遇险的船，此时教练船测得船在东南方向上，船测得与的夹角为，船也同时测得船的位置（假设船位置不再改变，三船可分别用三点表示）．（1）发现船时，三船所在位置的坐标分别为和；（2）发现船，三船立即停止训练，并分别从三点出发船沿最短路线同时前往救援，设两船的速度相等，教练船与船的速度之比为，问教练船是否最先赶到？请说明理由．（二）注重数学思想的渗透 从数学自身的发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想和方法，对学生观察问题、研究问题和解决问题都是十分有益的。 我们知道函数的定义不是惟一的，从不同的理解角度出发可以给出函数不同的定义。教科书在“第11章 一次函数”已经给出了函数定义，这个定义突出了数学中的变化与对应的数学思想，其内涵主要有两个：首先，两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；其次，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。在本章的编写时，一方面十分注意具体题目的分析及求解过程，另一方面更加注重一些重要的数学思想，如变化与对应的数学思想、数形结合的思想以及转化思想的传授和渗透。 三、几个值得关注的问题 （一）注意做好与已学内容的衔接 教科书在“第11章 一次函数”已经给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念．，学生对函数已经形成了初步的认识。反比例函数的教学，一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础，另一方面可以反过来进一步深化对函数内涵的理解和掌握。 从学生第一次接触函数所蕴涵的“变化与对应”思想至今已经半年有余，学生对与函数相关的概念不可避免会有所遗忘或生疏。因此，学习好本章的关键是处理好新旧知识的联系，尽可能地减少学生接受新知识的困难。例如，在引进反比例函数概念时，要适时复习第11章中的函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等定义或概念，为反比例函数的学习做好铺垫。这样，学生就能够比较顺利地接受和掌握反比例函数的概念和性质。 （二）加强反比例函数与正比例函数的对比 在复习“第11章 一次函数”内容的基础上，引进本章内容。应该有意识地加强反比例函数 （k为常数，）与正比例函数（k为常数，）之间的对比，对比可以从如下几方面进行： 1．两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？ 2．在常数 相同的情况下，当自变量 变化时两种函数的函数值 的变化趋势有什么区别？ 3．两种函数中 的取值范围有何不同？常数 的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？ 回答是这样的： 1．两种函数的解析式的相同点是，自变量只有一个，即x，都有一个常数k，且；不同点是自变量 在解析式中的位置不同，正比例函数的解析式 的右边是一个整式，不为0的常数k是自变量x的系数，而反比例函数的解析式的右边是一个分式，自变量x处在分母的位置，不为0的常数k处在分子的位置。 两种函数的图象都分布在两个象限内，这是相同之处；不同点在于正比例函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是两支曲线。正比例函数的图象经过原点，而反比例函数的图象不经过原点。 2．在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y值增大（减小），而反比例函数的y值减小（增大）；在常数相同的情况下，当自变量x增大（减小）时，正比例函数的y减小（增大），而反比例函数的 t值增大（减小）。 3．当常数 的符号改变时，两类函数图象所处的象限都会随之改变。当时，两类函数的图象都分布在一、三象限；当时，两类函数的图象都分布在二、四象限。 对于这些问题，不要急于给出答案，应该注意鼓励学生积极探究，在这样的氛围中，学生的数学思维和兴趣会被激发起来，对所学内容的掌握也就更牢固。 （三）把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索 无论从一次函数到反比例函数，再到以后的二次函数，甚至高中的其他各类函数，都是函数的某种具体形式，都是为近一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台。随着学习的函数类型的增多，学生对函数内涵的理解也会逐步提高。可以说对函数内涵的理解是一个渐进的过程，需要较长的时间。 对于一个具体的反比例函数来说，它有其自身的独特性质，但其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的。在教学时，尤其要注意在这种数学思想的渗透方面下功夫。 通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一。而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了。结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。 教学过程中，可以安排较多的通过图象分析函数解析式、通过函数解析式分析图象的题目，这体现的既是数形结合思想，也体现了转化的数学思想。深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。 突出变化与对应的思想、数形结合思想和转化思想是本章教学的重要任务，充分发挥教材中“思考”栏目应有的作用，对实现上述任务是大有裨益的。一些具体的数学知识对学生的影响也许是短暂的，但一些重要的数学思想方法必将会使学生终身受益。 （四）突破知识的难点和重点 本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力。例1（汉阳区期中考试题）在双曲线上有三点A1(x1， y1 )、A2(x2， y2)、A3(x3， y3 )，已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A． y2＜ y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C． y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2例2（汉阳区期中考试题）如图3，直线y＝6－x与双曲线（x＞0）相交于A，B两点，设点A的坐标为A（a，b），那么以长为a，宽为b的长方形的面积和周长分别是（ ）A．5，12 B．8，12 C．5，6 D．8，6例3（2009·江西）函数的图象如图所示，则以下结论：①两函数图象的交点的坐标为；②当时，；③当时，；④当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．其中正确结论的序号是 ．【答案】①③④【同类中考试题】1．(2008年宁夏回族自治区) 反比例函数(k＞0)的部分图象如图所示，A、B是图象上两点，AC⊥轴于点C，BD⊥轴于点D，若△AOC的面积为S，△BOD的面积为S，则S和S 的大小关系为（ ）A．S＞ S B。S＝ S C。S ＜S D。无法确定2．（2008年湖北省仙桃市潜江市江汉油田）对于反比例函数()，下列说法不正确的是A． 它的图象分布在第一、三象限 B． 点（，）在它的图象上C． 它的图象是中心对称图形 D． 随的增大而增大 3．（2008恩施自治州）如图5,一次函数ｙ＝ｘ－1与反比例函数ｙ＝的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是A． ｘ＞2 B． ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C． －1＜ｘ＜2 D． ｘ＞2 或ｘ＜－14． (2008年西宁市&汉阳区期末考试题) 如图，已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（ ）A5．(2008年扬州市)函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是( )A、 B、 C、 D、例2（汉阳区期中考试题）⑴点（2，3）关于y轴对称的点的坐标是 ⑵反比例函数关于y轴对称的反比例函数解析式为 ．⑶求反比例函数(k≠0)关于x轴对称的反比例函数解析式例3（汉阳区期中考试题）等边△ABO在直角坐标系中的位置如图13所示，BO边在x轴上，点B的坐标为（－2，0）点，反比例函数y＝（x＜0）经过点A．（1）求这个反比例函数的解析式； （2）如图14，直线y=kx+2与x轴，y轴交于C，D两点，与（1）中的反比例函数的图象交于E，F两点，EG⊥x轴于G点，FH⊥y轴于H点，若△DFH的面积记为S△DF已知S△DFH+S△FOE+S△ECG=S△COD，求k的值； （第二问的问题背景：武汉市2007年4月调考题）（3）如图15，点D为（1）中的等边△ABO外任意一点，且∠ADO＝30°，连接AD，OD， BD，则AD2，OD2，BD2之间存在一个数量关系，写出你的结论并加以证明． （第三问的问题背景：勾股四边形）（2007·鄂尔多斯）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，为勾股边且对角线相等的勾股四边形；（3）如图1，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连接，．求证：，即四边形是勾股四边形．分析：本题定义“勾股四边形”，提示了本题的解题思想是构造直角三角形．问题（3）△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转，可得，即AC=DE，因此只要证明△DCE为直角三角形即可．解析：（1）正方形、长方形、直角梯形． （2）如图3所示．或． （3）证明：连接，，∴，． 又，∴是等边三角形．∴，，又，∴ ，∴，即．∴四边形是勾股四边形．评析：本题通过新定义“勾股四边形”增加了一些创意，对学生来说多了一道门槛． 在难度的设计上也有一定的梯度，体现了逐步深入的探究方式．（1）、（2）两问是直觉感受“勾股四边形”，（3）问是对一种特殊情形的研究，是对前面二问的深入．参考论文一、《巧用反比例函数的对称性》反比例的图象具有轴对称性，中心对称性，妙用其图象的对称性，有利于我们理清思路，快速解题，得出颇多体会，以下举例加以说明．妙用反比例函数的图象的轴对称性．知识点：当k1＋k2＝0时，反比例函数与的图象关于x轴、y轴对称．例1 （济南市中考试题）如图，l1是反比例函数在第一象限的函数图象，且过点A（2，1），l2与l1关于x轴对称，那么图象l2的函数解析式为 （x＞0）．解析：反比例函数过点A（2，1），则有1＝，k＝2，故图象l1的解析式为（x＞0），又因为l2与l1关于x轴对称，则图象l2的解析式应该为（x＞0）．故应填入的是．例2（宜昌市中考试题）如图所示的图象的函数关系式可能是（ ）．A．y＝x B． C．y＝x2 D．解析：对于函数，当x＞0时，＝，此时图象在第一象限，当x＜0时，＝－，此时函数的图象在第二象限，故得上述图象；同时此题可以这样理解，函数y＝与y＝－的图象关于x、y轴对称，由的特点知，函数值恒大于0，故图象分布在x轴的上方，故选D．妙用反比例函数的图象的中心对称性．知识点：反比例函数的图象关于原点中心对称，故反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称．例3 （大连市中考试题）如图，双曲线y＝与正比例函数y＝mx相交于点A、B两点，B点的坐标为（－2，－3），则点A的坐标为 ．解析：点（a，b）关于原点对称的点的坐标为（－a，－b），由于反比例函数的图象关于原点中心对称，则反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称．因为点B的坐标为（－2，－3），则点A的坐标为（2，3）．例4（南通市中考试题），反比例函数y＝与正比例函数y＝kx的图象相交于点A、B两点，点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则2x1y2－7x2y1＝ ．解析：由题意可知y1＝，则x1y1＝4，同理：x2y2＝4，同时，可知点A、B关于原点对称，则有x1＋x2＝0，y1＋y2＝0，则2x1y2－7x2y1＝2x1(－y1)－7x2(－y2)＝－2x1y1＋7x2y2＝－2×4＋7×4＝20．参考论文二、《多角度看双曲线的对称性》武汉市翠微中学 朱红俊 430050 形象思维与理性思维是思维的两翼，人教版教材在画反比例函数的图象时，总是有意识地取一些具有对称性的点，画出函数图象后让学生观察其特征，尽管这种不完全归纳法在数学上是不严格的，但这种归纳方式却符合学生认知水平，学生也可以从“形”上把握双曲线的对称性，如双曲线关于原点成中心对称，关于直线y＝±x成轴对称．但是，随着时间的推移，随着老师，学生在分析具体问题时草稿图的频繁出现，双曲线的这种形似乎“变”了，不少学生对双曲线的对称性产生了“怀疑”，原本给学生的就是一个形象思维的概念，如今这个“形”扭曲了，再让他们去承认双曲线的对称性恐怕有点困难了，这或许就是理性认识不足所致．作为教师，我们该如何看待这个问题，又该如何引导学生更深刻地领会这个对称性呢?以下就双曲线y＝(k>0)为例简单证明其对称性质．(k<0时同理)．（1）关于原点成中心对称如图1，在双曲线上任取一点A(m，n)，则点A关于原点的对称点A`(－m，－n)， ∵（－m）(－n)＝mn＝k，∴ 点A`也在函数图象上．故双曲线关于原点对称．双曲线的中心对称性在中考题中屡见不鲜。【例题1】 （南通市中考试题）反比例函数y＝与正比例函数y＝kx的图象相交于点A、B两点，点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则2x1y2－7x2y1＝ ．解析：由题意可知y1＝，则x1y1＝4，同理：x2y2＝4，同时，可知点A、B关于原点对称，则有x1＋x2＝0，y1＋y2＝0，则2x1y2－7x2y1＝2x1(－y1)－7x2(－y2)＝－2x1y1＋7x2y2＝－2×4＋7×4＝20．关于直线y＝x对称 如图2，在双曲线上任取一点A(m，n)，过点A作直线y＝x的垂线，交双曲线于点B，设直线AB的解析式为：y＝－x＋b， ∵点A(m，n)在直线AB上，∴b＝m＋n，即直线AB为：y＝－x＋m＋n，联立： ， ∴，整理： ． ∴，又∵mn＝k，∴即 ，∴A(m，n) B(n，m)，也就是说A，B两点关于直线y＝x对称，由于点A的任意性，双曲线上任一点关于直线y＝x的对称点都在它的图象上，所以函数图象关于直线y＝x对称．（2）关于直线y＝－x对称如图3， 在双曲线上任取一点A(m，n)，过点A作直线y＝－x的垂线， 交双曲线于点B，设直线AB的解析式为：y＝x＋b ∵点A(m，n)在直线AB上，∴b＝n－m，即直线AB为：y＝x＋n－m联立： ，∴＝x＋n－m，整理得： ，∴，又∵mn＝k， ∴即 ，∴A(m，n) B(－n，－m) 也就是说A，B两点关于直线y＝－x对称．由于点A的任意性，双曲线上任一点关于直线y＝－x的对称点都在它的图象上，所以函数图象关于直线y＝－x对称． 从上面的证明过程我们不难发现，证明双曲线的关键就在于找到对称点，因为“点动成线”，点 (m，n)与点 (n，m)是关于直线y＝x对称的点，这一点作为老师当然清楚，然而学生是否一定都明白呢?初中阶段是如何向学生解释这个问题的?下面我们通过三角形的全等来证明一下．如图：设点A（m，n）与点A`是关于直线y＝x的对称点，分别过点A与点A`向x轴和y轴作垂线，垂足为D，E，连结OA，OA`，由对称的定义可知OA＝OA`，∠AOB＝∠A`OB，又∵∠EOB＝∠DOB＝45°∴∠AOE＝∠A`OE，另∠ADO＝∠A`EO＝90°，∴△AOD≌△A`OE(AAS)，所以就有AD＝A`E，OD＝OE，即可知道A`(n，m)对称点的问题解决了，要解释反比例函数的对称性就容易了．反比例函数y＝的图象，以正比例函数y＝x的图象（第一、三象限的角平分线）为对称轴．这是因为，当点（a，b）在反比例函数y＝的图象上时．一定有，于是也一定有．因此点（b，a）也在反比例函数的图象上，而点（a，b）和点（b，a）关于直线y＝x对称．类似地，反比例函数y＝的图象，也以正比例函数y＝－x的图象（第二、四象限的角平分线）为对称轴．这是因为，当点（a，b）在反比例函数y＝的图象上时，一定有，于是也一定有，因此点（－b，－a）也在反比例函数y＝的图象上，而点（a，b）和点(－b,－a) 关于直线y＝－x对称． 我们也可以将双曲线的轴对称性运用于解题，这样考虑问题更直观，思维更流畅．【例题2】已知直线＝－＋,(＞0)交反比例函数＝于A、B两点，直线AB交轴于C点，交轴于D点．（1）当A点的坐标为（1，2），求另一个交点B的坐标．（2）在⑴的条件下，试判断△AOB的形状，并说明理由．（3）y＝ (k＞0, x＞0)的图象上是否存在点P，使 S△AOP＝S△BOP，若存在，求P点的坐标，若不存在，说明理由． 解析：上题其实考虑的都是同一个问题，都可以用双曲线的对称性解决．显然线段CD和双曲线都是关于直线y＝x成轴对称的，所以它们的交点A与B关于y＝x对称，∵A（1，2），∴B（2，1）；因为线段AB是关于y＝x成轴对称的，所以OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形；接下来，找寻使得S△AOP＝S△BOP成立的点P，自然是双曲线与直线y＝x的交点了．以上是我在教学过程中的点点感悟，虽然教科书中并未对双曲线的对称性作较高要求，但并不意味着可以忽视这方面的教学，毕竟函数的对称性在中学数学中占有重要的地位，对于渴望求知的学生而言，我们更应该引导学生去探索，去理解，学生的认知结构丰富了，解决问题的思路亦会更灵活．第二十章《数据的分析》教材分析 从《标准》看，本章属于“统计与概率”领域。对于“统计与概率”领域的内容，本套教科书独立于“数与代数”和“空间与图形”领域编写，共有四章。这四章内容采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。统计部分的三章内容按照数据处理的基本过程来安排。我们在7年级上册和8年级上册分别学习了“第4章 数据的收集与整理”“第12章 数据的描述”，本章是统计部分的最后一章，主要学习分析数据的集中趋势和离散程度的常用方法。 一、教科书内容与课程学习目标 对于一组数据利用统计图表整理和描述以后，数据分布的一些面貌和特征就可以通过这些图表反映出来。为了进一步了解数据分布的特征和规律，还需要计算出一些特征量来表示这组数据的集中趋势或典型水平。这些特征量代表这组数据频数分布中大量数据向一点集中的情况，从而反映出数据资料的典型水平。 这些统计量之所以能够代表全班成绩去进行比较，是因为它们从不同的角度度量了全班测验成绩集中于哪一点或哪一个范围，因此把它们统称为集中趋势的度量，常用度量集中趋势的特征量有平均数、中位数、众数和分位数等，本章研究前三个统计量。 统计中常用的平均数有算数平均数（简单算数平均数和加权算数平均数）、调和平均数、几何平均数等。根据《标准》的要求，本章着重研究了加权平均数。本章第20.1节开始，首先给出一个农业方面的实际问题，要求根据问题中提供的数据计算人均耕地面积，这是一个计算加权平均数的问题。教科书没有直接给出利用加权平均数解决问题的做法，而是设置一个讨论栏目，给出一种学生中常见的一种错误解法（即直接求平均数的平均数），让学生讨论这种解法，通过讨论发现错误，找到产生错误的原因，借此给出正确的解法，引进加权平均数的概念。通过比较解决这个实际问题的正确与错误的解法，也使学生对“权”的意义和作用有所体会。“权”的重要性在于它能够反映数据的相对“重要程度”，为了更好地说明这一点，教科书安排了2个例题，从不同方面体现“权”的作用，使学生更好地理解加权平均数。在求n个数的算数平均数时，有时会遇到重复数据较多的情况，这时可以将求算数平均数的公式进行简化，比如可以写成，如果将分别看成是的权，则算数平均数和加权平均数就统一起来，只是这里“权”的意义并不是很突出。教科书在这里将两者统一起来，为的是使学生对加权平均数有一个较全面的认识。接下去，教科书又通过一个探究栏目，研究了对于区间分组的数据如何求加权平均数的问题，这类问题是统计中常见的。利用计算器的统计功能可以方便地求出一组数据的平均数，但由于不同品牌的计算器的操作步骤不同，因此教科书没有针对某一款计算器介绍统计功能的使用，而是概要地介绍了一下过程。到此为止，教科书中涉及到的问题都是针对全体数据，不涉及样本数据的问题。本节最后，教科书结合一个例题，介绍了如何利用样本平均数估计总体平均数的问题，使学生对抽样的必要性、样本的代表性和用样本估计总体的思想有了更深的体会。 本章在第20.1.2小节，通过几个具体实例，研究了中位数和众数。中位数是一个反映数据集中趋势的位置代表值，能够表明一组数据排序最中间的统计量，可以提供这组数据中，约有一半的数据大于（或小于）中位数。对于中位数的这个作用，教科书通过一个比较典型的考察体育比赛成绩的例子来体现。另外，在这个例子中，也体现了用样本估计总体的思想。众数是表明一组数据出现次数最多的统计量，当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个统计量，它提供了哪个（些）数据出现的次数最多。对于众数的这个作用，教科书也是通过一个典型的销售量问题来研究，在这个例子中，同样也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书结合一个具体问题，编写了综合利用平均数、中位数和众数解决问题的例子，在这个例子中，涉及到根据具体问题的的需要选择适当的统计量来刻画数据的集中趋势的问题，在解决问题的过程中，也样学生经历了一个对数据适当分组、用表格整理数据、用统计图描述数据，分析统计图表和计算平均数、中位数、众数来分析数据的一个数据处理的基本过程。在这个过程中也体现了用样本估计总体的思想。在本节最后，教科书利用一个归纳的栏目，对平均数、中位数和众数这三种刻画数据集中趋势的统计量进行了概括总结，突出了它们各自的统计意义和各自的特征。 本章第20.2节研究了刻画数据波动情况的统计量。统计中刻画数据离散程度的统计量常有极差、方差、标准差、平均差、四分位差等，根据《标准》的要求，本章只研究极差和方差。极差是一组数据中最大值与最小值的差，它反映了一组数据的波动范围，是刻画数据离散程度的最简单的统计量。教科书利用温差的例子来研究极差，温差是人们日常生活中熟悉的概念，是一个典型的极差的例子，利用温差介绍极差，有助于学生认识极差的统计意义。方差是统计中常用的一种刻画数据离散程度的统计量，教科书对方差进行了比较详细的研究。首先在一个讨论栏目设计了一个实际问题背景，根据背景提出两个具体问题，从统计上看，这两个问题中是要计算两组数据的平均数和比较它们的波动情况。通过计算可知两组数据的平均数是相同的，这一点有利于学生理解数据的波动情况。为了直观第看出数据的波动情况，教科书画出了两个散点图，通过观察散点图，可以比较两组数据的波动情况。这两个散点图的使学生对数据偏离平均数的情况有一个直观的认识。在此基础上，教科书引进了利用方差刻画数据离散程度的方法，介绍了方差的公式，并从方差公式的结构上分析了方差是如何刻画数据的波动的，即方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小。将利用方差刻画数据的波动和利用散点图显示数据的波动结合起来，更有利于学生理解方差的意义，因此，教科书对本小节开始提出的实际问题用两种方法进行了比较，然后又设计一个例子，来利用方差反映数据的波动。利用计算器的统计功能也可以求方差，由于不同品牌计算器在计算方差时操作的步骤不同，教科书对使用计算器求方差，只做了简单的介绍。在本节最后，教科书回到本章前言中提出的问题。因为这个实际问题涉及到用样本方差估计总体方差的问题，这样，教科书就结合这个例子介绍了如何利用样本方差估计总体方差的问题。 教材在最后一节安排了一个具有一定综合性和活动性的“课题学习”。这个“课题学习”选用了与学生生活联系密切的体质健康问题。由于本章是统计部分的最后一章，因此这个课题学习的综合性比前面两章统计中的课题学习更强。为了便于教学操作，教科书根据《中学生体质健康登记表》提供了一个样例，样例中涉及到选择样本收集数据、用统计表图整理和描述数据，通过计算平均数、中位数、众数、极差和方差等分析数据得出结论的统计过程。完成这个课题学习，要求学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理的知识和方法，通过小组合作活动的方式，经历数据处理得出结论以及对所得结论进行解释和反驳的统计过程。在这个过程中，让学生进一步感受用样本估计总体的统计思想，进一步体验统计是进行决策的有利手段。对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1．进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义。例1 (2009·武汉)小明记录了今年元月份某五天的最低温度（单位：℃）：1，2，0，，，这五天的最低温度的平均值是（ ）A．1 B．2 C．0 D．例2（2009·甘肃白银）有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（ ）BA．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差例3. （浙江省绍兴）如图1是小敏五次射击成绩的图，根据图示信息，则此五次成绩的平均数是________环。图1解析：由统计图知，五次射击成绩分别为：7，9，8，8，10。所以五次成绩的平均数（环）例4（长沙市）长沙地区七、八月份天气较为炎热，小华对其中连续十天每天的最高气温进行统计，依次得到以下一组数据：34，35，36，34，36，37，37，36，37，37（单位℃），则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A. 36，37 B. 37，36C. 36.5，37 D. 37，36.5解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为：34，34，35，36，36，36，37，37，37，37，其中间的两个数据都是36，所以这组数据的中位数为36；由于这组数据中出现次数最多的数据是37，所以这组数据的众数为37。故应选A。例5 （滨州市）数学老师布置10道选择题作为课堂练习，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图（如图），根据图表，全班每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为（ ）A. 8，8 B. 8，9C. 9，9 D. 9，8图2解析：由统计图（如图2）知，该班有名同学做练习，其中有4名做对7道，20名做对8道，18名做对9道，8名做对10道。由于排在中间的数据有两个，都为9，所以中位数是9；出现次数最多的数有一个，即8出现了20次，所以众数是8。故应选D。2．会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势；例1(2009·湖州)某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价，由单价为15元/千克的甲种糖果10千克，单价为12元/千克的乙种糖果20千克，单价为10元/千克的丙种糖果30千克混合成的什锦糖果的单价应定为（ ）BA．11元/千克 B．11.5元/千克 C．12元/千克 D．12.5元/千克3．会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况；例1（2009·吉林省）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差例2(2009·内江市)今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（ ）BA．众数 B．方差 C．平均数 D．频数例3（2009·娄底）我市统计局发布的统计公报显示，2004年到2008年，我市GDP增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的 比较小.?A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差?例4（2009·长沙）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.2环，方差分别为，，，，则成绩最稳定的是（ ）DA．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．能用计算器的统计功能进行统计计算，进一步体会计算器的优越性；5．会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想；例1（2009·仙桃）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如下表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）DA、25.6 26 B、26 25.5 C、26 26 D、25.5 25.5例2（2009·兰州）下列说法正确的是( )CA．一个游戏的中奖概率是，则做10次这样的游戏一定会中奖；B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式；C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8；D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定。例3（2009·凉山州）有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是 ．小林6．从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度。例1（2009年武汉市5月调考试题）在今年“五一”小长假期间，某学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小明想了解他所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了本小区一定数量居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元），并将调查的数据绘制成如下直方图和扇形图，根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次共调查了 个家庭的收入，a＝ ，b＝ ；（2）补全频数分布直方图，样本的中位数落在第 个小组； （3）请你估计该居民小区家庭收入较低（不足1000元）的户数大约有多少户？（4）若随机对该小区某户居民的家庭收入情况进行调查，则该户居民的家庭收入在哪一个范围内的可能性最大？解析：（1）40、a＝15%，b＝7．5%；（2）补全频数分布直方图（如右图）样本的中位数落在第三个小组；（3）（户）；（4）在1000~1199这个范围的可能性最大因为P(1000~1199)＝45%，是几种情况中概率最大的 ∴则该户居民的家庭收入在1000~1199元这个范围内的可能性最大例2（2008年武汉市中考试题）典典同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如图1的扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）典典同学共调查了 名居民的年龄，扇形统计图中＝ ，＝ ；（2）补全条形统计图；（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．解析：（1）由15~40岁的居民有230人，占抽样人数的46%，所以共调查了230÷46%＝500人，a＝，b＝1－22%－20%－46%＝12%；（2）略；（3）＝ 11900（人）【同类中考试题】1、(2009·义乌市)五月花海，歌声飘扬，2009年5月，义乌市各中小学举行了 “班班有歌声”活动，某校比赛聘请了10位老师和10位学生担任评委，其中甲班的得分情况如下统计图（表）所示。（1）在频数分布直方图中，自左向右第四组的频数为；（2）学生评委计分的中位数是分；（3）计分办法规定：老师、学生评委的计分各去掉一个最高分、一个最低分，分别计算平均分，别且按老师、学生各占60%、40%的方法计算各班最后得分。已知甲班最后得分为94.4分，求统计表中的值。解：（1）5，（2）95，（3）解法一：设表示有效成绩平均分，则，，．老师评委有效总得分为．2、（2009·河池市）某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下） （1）请把条形统计图补充完整；（2）样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ；（3）扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 ；（4）若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数约为 人．2、（1）条形图补充正确； （2）10﹪；（3）72°；（4）330． 二、本章编写特点 1．注意突出统计思想统计中常常采用从总体中抽出样本，通过分析样本数据来估计和推测总体的情况，用样本估计总体是统计的基本思想。本套教科书对于统计的这一基本思想给予充分重视。本章在第4章的抽样调查收集数据的基础上，研究了如何用样本的集中趋势和波情况估计总体相应情况的问题。例如在20.1节通过实例学习了如何用样本的平均数、中位数和众数估计总体的相应情况，在20.2节通过实例研究了如何用样本的方差估计总体的方差的问题，在20.3节的课题学习中也要让学生通过抽样进行统计调查活动，通过对样本数据的分析得出对总体的估计等等。因此，本章编写时，在每一节都注意体现了用样本估计总体的思想，使学生有更多的机会接触这一思想，使得他们对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性，以及不同的抽样可能得到不同的结果（即结论的“不确定性”等有更多体会。《数据的分析》这部分知识体现的数学思想有：一、统计思想例1. 从鱼塘打捞草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾的质量分别是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.8，1.3，1.4（单位：kg），估计这240尾草鱼的总质量大约是（ ）A. B. 360kg C. 36kg D. 30kg分析：先求出样本中9尾鱼的平均质量，再乘以240即得。解：因为这9尾鱼的平均质量是：（千克），所以这240尾草鱼的总质量大约是：。故应选B。二. 方程思想例2. 一组数据：4，，9，5，3，x的平均数是4，那么x等于（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6分析：依题意可构造方程求解。解：因为4，，9，5，3，x的平均数是4，所以有。解得。故应选B。例3. 某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？分析：若设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人，这样就可以由进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球列出方程组求解。解：设投进3个球的有x个人，投进4个球的有y个人。则根据题意，得 即解得 经检验，是原方程组的解。答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人。三. 分类思想例4. 已知一组数据：，4，6，x的极差为9，试确定x的值。分析：这一组数据中的x可能是最大值，也有可能是最小值，所以应分情况讨论。解：因为数据，4，6，x的极差为9，所以有或。解得或。四. 数形结合思想例5. 为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加今年六月份的全县中学生数学竞赛，每个月对他们的学习水平进行一次测验。如图1是两人赛前5次测验成绩的折线统计图。（1）分别求出甲、乙两名学生5次测验成绩的平均数及方差；（2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次数学竞赛。请结合所学统计知识说明理由。图1分析：依题意须数形结合，进而从统计图中捕捉求解信息。解：从统计图中可以知道甲的5次成绩分别是：65，80，80，85，90；乙的5次成绩分别是：70，90，85，75，80。于是：（1）甲的平均数，乙的平均数，进而可以求出甲的方差，乙的方差；（2）因，所以乙同学的成绩比较稳定，但从发展的眼光看，因甲同学学习成绩一直是上升趋势，故应选甲参加。五. 整体思想例6. 已知数据的平均数是，则一组新数据的平均数是________。分析：因为数据的平均数是，所以有，即，这样要求一组新数据，…，的平均数，只要利用平均数的定义公式，从中找到的因式，从而利用整体代入求解。解：因为，所以一组新数据的平均数是 2．强调在活动中建立统计观念，突出统计活动的基本过程 统计观念反映的是由一组数据所引发的想法、能推测到的可能结果以及自觉地想到用统计的方法解决问题等，是在亲身经历统计活动的过程中培养出来的一种感觉。培养统计观念的一种最有效的方法是让学生从事统计活动，经历统计活动的基本过程，在收集、整理、描述和分析数据的统计活动中，逐步学会用数据说话。本套教科书特别注意让学生经历统计活动的基本过程，在活动中学习有关统计的知识和方法，建立统计观念。例如，对于“统计与概率”领域中统计的内容，全套教科书以数据处理的基本过程为线索，按照数据的收集与整理、数据的描述、数据的分析来安排统计内容。在每一章的中，对于统计的知识和方法又都是放在数据处理的基本过程中来学习的，本章也是如此。例如，本章在研究选择适当的统计量刻画数据的集中趋势的问题时（例6），教科书从一个实际问题出发，要求学生通过活动，经历数据处理的基本过程，在这个过程中，学习根据实际问题的需要，依照各统计量的特征来选择它们描述数据的集中趋势。再如，本章第20.3节的课题学习，强调让学生综合利用所学的统计知识和方法，通过调查活动获得一些信息。动手处理数据并展示自己的成果是一个活动性很强，并且充满乐趣的过程，在这个活动中，学生将经历收集、整理、描述和分析数据得出结论，并对结论进行解释或反驳的过程。这样的一种处理方式，将统计的概念、方法与原理统一到数据处理的活动过程中，使学生更好地体会统计的思想，帮助学生建立统计观念。 3．素材丰富，体现统计与生活的密切联系 统计与现实生活的联系是非常紧密的，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的，本套教科书编写时特别注意将统计的学习与实际问题紧密结合，选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中，学习数据处理的方法，理解统计的概念和原理，本章亦是如此。例如，在第20.1节中，教科书利用“求人均耕地面积”“公司招聘职员”“演讲比赛成绩”“公共汽车载客量”“灯泡的使用寿命”等实际问题来学习加权平均数，利用“体育比赛成绩”“鞋店销售量”等学习中位数和众数，在解决实际问题的过程中体现加权平均数、中位数和众数的统计意义；又如，在20.2节中，借助于“”温差“年龄”“身高”“选择甜玉米种子”等实际问题，研究极差和方差，结合这些实际问题情景，使学生更好地理解极差与方差的统计意义；再如，在第20.3节中，教科书选择了一个与学生生活密切联系的“体质健康测试中的数据分析”作为“课题学习”，使学生综合运用本章知识和方法进行统计活动。这样的一种与实际问题紧密结合编写方式，可以使学生在解决实际问题的过程中，学习有关的统计知识和方法，体会统计的思想，同时也使学生感受到统计与实际生活的密切联系，以及统计在解决现实问题中的作用。 三、几个值得关注的问题 1．注意与前两个学段相关内容的衔接 本章是第三学段“统计与概率”的最后一章，主要学习分析数据集中趋势和离散程度的知识与方法，这也是数据处理的最后一个环节。对于数据的分析，《标准》在第2学段和本学段都有要求，第2学段要求“理解、会求平均数、众数、中位数，选择适当的统计量表示数据的不同特征”，这样看来，对于分析数据集中趋势的三种统计量，学生在第2学段已经有所接触，已经会求平均数、众数、中位数，对它们可以表示数据的不同特征有所体会；《标准》在本学段要求“会计算加权平均数，能选择适当的统计量表示数据的集中程度；会计算极差方差，会表示数据的离散程度”，这样看来，本学段在第2 学段的基础上，需要学习利用加权平均数刻画数据的集中趋势以及用极差、方差刻画数据的离散程度等。根据《标准》的这个特点，本章在编写时，注意与前两个学段的衔接，将三个学段的相关内容，在分析数据的这个大背景下统一起来，在对学生已有的相关知识进行整理的基础上学习新的知识。例如，对于平均数、中位数、众数，本章就是在研究数据集中趋势的大背景下，在整理学生已有的关于这三种统计量的认识的基础上，学习加权平均数，研究如何根据统计量的特征选择适当的统计量描述数据的集中趋势等。这样的一种编写方式，将三个学段的学习连成一个相互联系、螺旋上升的整体。因此，教学中要注意对已有知识的复习，在复习的基础上学习新内容，使学生对于分析数据的知识和方法形成整体认识。 2．准确把握教学要求 对于统计中一些重要的思想方法，本套教科书采用螺旋上升的编排方式。例如，关于用样本估计总体的思想，《标准》在本学段要求“通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果”，“通过实例，体会用样本估计总体的思想，用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差”等。对于《标准》的这个要求，教科书在第4章“数据的收集与整理”和本章都有安排，但在要求上有不同的层次。第4章从收集数据的角度研究抽样调查，要求初步感受抽样调查的必要性，初步体会用样本估计总体的思想；本章要求通过较多实例，从不同的方面进一步感受抽样的必要性，并初步感受样本的代表性，体会不同的抽样可能得到不同的结果，能够用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差等。因此，在本章教学时，要注意把握教学要求。 3．合理使用计算机（器）信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化，为统计工作的高效、准确提供了便捷的工具。对于计算机（器）等现代信息技术对统计的作用，本套教科书给予充分重视。本章中，编写了使用计算器求一组数据的平均数和方差的内容作为碧血内容，还编写了利用计算机求平均数、中位数、众数和方差等集中统计量的内容作为选学内容等。教学中要注意发挥计算器（机）在处理数据中的作用，也要注意合理地使用计算器（机）。比如，在初学加权平均数和方差的概念时，应该让学生使用笔算或使用计算器的一般计算功能进行计算，使学生对求加权平均数方法和方差的结构有更多的理解，在此基础上，再学习使用计算器的统计功能求平均数或方差的方法，将学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。由于时间仓促，其中定有不足之处，欢迎大家批评斧正！1、请致电：15071360011，2、Email：ch1605@126.com，谢谢大家！Part 1：人教版八年级上册数学分析执笔人：武汉市翠微中学 陈浩 430050 QQ：442052942第11章 《全等三角形》分析一、教科书内容和课程学习目标【目标】本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。【地位】通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。也是武汉市中考中的重要内容，在武汉市中考中的地位也越来越突出。【重、难点】从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。 在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。 运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”（HL）判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。在“角的平分线的性质”一节中，介绍了角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。教科书用三角形全等证明了前一个结论，并结合证明过程总结了证明一个几何命题的一般步骤。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。得到：角平分线时的辅助线的方法（定理）与如何证明角平分线的方法（逆定理）举例：例1（2006年黄陂区期中考试题、定理）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，O为五个旅游城镇，他们之间都有笔直的公路相通，OC平分∠AOB，公路AO所在的直线的解析式为，公路AB所在的直线的解析式为，求出A城镇的坐标；有公汽行驶在城镇之间，其票价与路程成正比，已知各城镇间的公汽票价如下：OA ：4元 ； A B ：3元O B ：5元； O D ：4元现将举办一个绕B，C，D三城的“环行一周游”旅游项目，按上述标准能否确定此项目的公汽的票价？若能，求出其票价；若不能，试说明理由。例2（2008年汉阳区期中考试第16题、定理）如图，∠AOC＝∠BOC＝15°，DC∥x轴，CB⊥x轴于点B，点D、B的横坐标分别为2+，4+，则点C的坐标为 .例3（2008年汉阳区期中考试题第22题）如下图，点P为∠ABC角平分线上的一点，D点和E点分别在AB和BC上，且PD＝PE，试探究∠BDP与∠BEP的数量关系，并给予证明．（∠BDP+∠BEP=180°）变式1：若在BC上截取BQ=BD，求证：PQ=PE变式2：过P作PA⊥BA，试写出BE、BD、BA之间的数量关系；（BD+BE=2BA）例4（2008·硚口区期中考试题、逆定理）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗？如图11，是小红的做法，他的画法正确吗？请用全等三解形的知识来说明理由.①利用三角板的刻度尺在∠AOB的两边上，分别取OM=ON.②分别过M、N画OM、ON的垂线，交点为P.③画射线OP.所以射线OP为∠AOB的角平分线.例5（2009·湖南怀化市中考试题）如图9，P是∠BAC内的一点，，垂足分别为点．求证：（1）；（2）点P在∠BAC的角平分线上． 【简而言之】本章的学习目标如下：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素。例6 （2009·海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠度数是（ ）A.72° B.60° C.58° D.50° 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。 3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。 二、本章编写特点 （一）注重探索结论 在“三角形全等的判定”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想： 探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等； 探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSS） 探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SAS） 探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；（SSA） 探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；（ASA） 探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAS） 探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；（AAA） 探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。(HL) 探究2～7让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。探究1、（两个条件不可），探究4、（SSA），探究7（AAA）是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。其中应该记住（SSA），探究7（AAA）的两个特例。例 7 （2009·江苏省）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（ ）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组（二）注重推理能力的培养 证明是数学的最高境界——目前再不是七年级的说点理了，本章开始要求学生严格的进行证明，为了解决这个难点，教科书做了一些努力。 1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。 2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论去证明的能力。3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在“三角形全等的判定”一节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。 （三）注重联系实际 在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。 用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。三、几个值得关注的问题 （一）关于内容之间的联系 在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转（全等变换）前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。透视全等三角形的三大类型 武汉市翠微路中学 陈 浩 （430050）（本文发表在《中学生天地》2007年第3期上）与“三角形全等”有关的问题林林总总，习题又可变式发散，这样题量就千千万万，浩瀚无边，但其类型不外乎以下几种，抓住了全等三角形的几种类型，就抓住了问题的精髓，从而发现证明“全等”问题的方向．现分类透视，供同学们学习时参考．一、平移型全等三角形把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得△DEF与△ABC称为平移型全等三角形．有时这条直线就是△ABC的某一条边所在直线．下图1，图2是常见的平移型全等三角形．在证明平移型的全等型试题中，常常要碰到移动方向上的边的加（减）公共边，为边长相等创立条件．如图1，若BE＝FC，则BE＋EC＝FC＋EC，即：BC＝FE．如图2，若BE＝FC，则BE－EC＝FC－EC，即：BC＝FE．例1 如图3，△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D点，∠C的平分线CE交AB、AD于E、G，过G作FG∥BC交AB于F点．试说明：AE＝BF．提示：过E点作EH⊥BC于H点．证△AFG≌△BEH，得BE＝AF，BE－EF＝AF－EF．即AE＝BF．二、轴对称型全等三角形把△ABC沿直线l翻折后，能与另一个三角形重合，则称它们是轴对称型全等三角形．下图是常见的轴对称型全等三角形，其对称轴l是对称点所连线段的垂直平分线． 识别轴对称三角形全等要注意题中的一些隐含条件，例如有些具有公共边（如图4中的AC，有些具有公共角或对顶角（如图6、图7中的∠ACB＝∠DCE）．例2 （2008·哈尔滨市）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD．例3 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）A、∠1+∠2=2∠A B、∠1+∠2=∠AC、∠A=2（∠1+∠2） D、∠1+∠2=∠A三、旋转型全等三角形1．旋转一个任意角度将△ABC绕顶点C旋转后，到达△DCE的位置，则称△ABC和△DCE为旋转型全等三角形．如下图所示，这些是常见的旋转型全等三角形．识别旋转型全等三角形时，要注意图9、10、11中，∠ACB和∠DCE隐含着一个等量减（加）等量的条件，通常用边角边（SAS）来识别两个三角形全等．例4 （2008·辽宁大连市）如图12，P是正△ABC内的一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转到△P′AB，则∠PAP′的度数为________．（∠PAP′=60°，请读者自己证明）． 例5 （2008·河南省）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．2．旋转角度为1800把果把△ABC绕着一个点O旋转180°，得到另一个相应的三角形，那么这两个三角形称为中心对称型全等三角形，点O称为对称中心．中心对称型全等三角形是旋转型全等三角形的一个特例（旋转角度为1800）．如图所示是常见的中心对称型全等三角形，对称点连线都经过对称中心O，且被点O平分．例6 （2008·黄石市中考试题）如图，是上一点，交于点，，CF∥AB．求证：．例7 （2009·莆田市中考试题）已知：如图在中，过对角线的中点作直线分别交的延长线、的延长线于点（1）观察图形并找出一对全等三角形：____________________，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？ 为了使学生更全面地认识“全等”和“全等三角形”，教科书安排了“阅读与思考 全等与全等三角形”。这篇阅读材料以师生对话的形式对“全等”和“全等三角形”的相关问题作了进一步的介绍。全等是几何中的重要概念，是学生今后几何学习的重要基础。以三角形为载体介绍全等的知识，原因主要包括两个方面：一是三角形是最简单的多边形，可使学生在相对简单的图形环境中学习全等；二是任意多边形都可以分解为若干三角形，从而有利于把全等的知识推广到其他多边形。对全等三角形的研究分为“性质”和“判定”两个方面，这两个方面是相辅相成的。认识到这一点，有利于学生今后对如平行四边形的性质和判定等知识的学习。 作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图： （1）已知三边作三角形； （2）作一个角等于已知角； （3）已知两边和它们的夹角作三角形； （4）已知两角和它们的夹边作三角形； （5）已知斜边和一条直角边作直角三角形； （6）作已知角的平分线。 （二）关于证明 解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生自己思考了，才能逐步熟悉推理的过程，掌握推理的方法。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。 一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤： （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。在一般情况下，不要求写出分析的过程。有些题目已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。 问题链中的意外插曲（中学数学07年第3期）陈 浩1 李乐利2 【1：武汉市翠微中学 430050 2：武汉市黄陂区教研室 430300】美国数学家哈尔莫斯指出：“定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题才是数学的心脏”．数学的思维是解决问题的心智活动，为引导学生不断深入思考，再创，从深层次，多角度思考问题，笔者在《全等三角形》这一章，特意设计了如下的问题链，却出现了一个让人意外小插曲，让人意外，但又回味悠长！首先给出：问题链I：命题1：有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．命题2：有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等．对于这两个命题，大多数同学能顺利完成．推广链II：将命题中的“高”分别换成“中线”，得到命题3：有两边和其中一边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等．命题4：有两边和第三边上的中线对应相等的两个锐角三角形全等．对于命题3的证明，学生不会感到困难，命题4利用“中线倍长”也可解决．链III：将命题中的“中线”分别换成“角平分线”，得到类似命题命题5：有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等．命题6：有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个锐角三角形全等．弱化链IV：将上述6个命题中的锐角三角形中的“锐角”去掉，判断这6个命题的真假，从而认识三角形的“高”的特殊性，得到 “有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”，“有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”这两个命题不成立．现画出反例图形如下：如图1，CC'∥AE，BC=BC'， △ABC与△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，AB边上的两条高CD、C'E相等，明显△ABC与△ABC'不全等，如图2，△ABC与△ABC'中，AB=AB，BC=BC'，AC边与AC'边上的高相同，明显△ABC与△ABC'也不全等．以上探究活动，较好地复习巩固了三角形全等的知识，同时通过类比思想，引导学生得到探究问题的方法．至此，笔者正准备进入下一个环节，一生提出： 链V：命题7：有两边及两边夹角的平分线对应相等的两个三角形全等．此言一出，语惊四座，猜想声，讨论声不绝入耳，眼看形势难收，于是提出让学生课后讨论、实践、实验、测量验证，初步得到这是一个真命题，但全等的几个判定方法不太适用，事隔数日，终不能如愿，后笔者查找资料，为学有余力的同学提供两种较好的证明方法：方法一：利用斯台沃特定理△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，D为BC任意一点，BD=u，CD=v， AD=t引理【1】：（斯台沃特定理）引理【2】：当AD为△ABC的角平分线时， ( 其中p=)引理【1】证明：如图3，过A作AE⊥BC于E， 设DE=x， 则有， (若E在BC的延长线上，则将换成)于是有： 消去x得： ∴引理【2】证明：当AD为△ABC的角平分线时，由三角形平分线定理得：，，代入引理[1]中，得引理【2】设a+b+c=2p， 得（这就是内角平分线公式）于是，如图4，在△ABC中和△A'B'C'中，设AB=A'B'=c， AC=A'C'=b， BC=a， B'C'=a' 又∵ a+b+c=2p， a '+b+c=2p' ∵AD=A 'D'，由引理【2】得：∴∴p(p-a)=p' (p'-a') 即∴ a=a' ， 即BC=B'C' 则两三角形的三边对应相等，由“SSS”可以证明命题7是真命题．方法二、利用余弦定理： 证明：如图5，在△ABC中和△A'B'C'中，设AB=A'B'=c， AC=A'C'=b， AD=A'D'=y， ∠BAD=∠CAD=α，∠B'A'D'=∠C'A'D'=β，由余弦定理知： 同理： ∵ ∴ ∴ 化简后得：（1）若b=c，可由等腰三角形的知识很快证明，这里不再赘述．（2）可由“相似三角形”的相关知识证明，（3）∴，∵ ， ，∴，即∠BAC=∠B'A'C'则命题7的正确性，可由“SAS”得证．对于数学在探究之中提出的问题，不要一棒子打死，让他们在探究，实验，测量之中得到乐趣，得到探究的欲望，若教师加以适当的辅导，让优秀的学生看得更远，飞得更高，同时也能教学相长！改进证明：AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，AD，A＇D＇分别是∠BAC∠B＇A＇C＇的平分线，AD=A＇D＇，求证△ABC≌△A′B′C′证明：，∵AB=A＇B＇，AC=A＇C＇，AD=A＇D＇，则DE=D＇E＇，则AE=A＇E＇，证明△ABE≌△A＇B＇E＇（SSS），则∠BAD=∠B＇A＇D＇，则∠BAC=∠B＇A＇C＇，则△ABC≌△A＇B＇C＇（SAS）拓展命题1：有两边和其中一边的对角的平分线对应相等的两个三角形全等。命题2：有两边和其中一边的中线对应相等的两个三角形全等。命题3：有三条中线对应相等的两个三角形全等。命题4：有三条高线对应相等的两个三角形全等。参考《中小学数学》教师版2007年第1-2期《全等三角形判定中的几个拓展命题》，作者：浙江省慈溪市附海镇初级中学 童浩军 （三）基本思路与基本习题一、关注基本图形与基本结论二、关注图形变换中的证明例4 （2008·河北省中考试题）如图14-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连接，．猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连接，．你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．证明：（1）；．（2）；．证明：①由已知，得，，．又，．．在和中，，，，，．②如图3，延长交于点．，．在中，，又，．．．（3）成立．证明：①如图4，，．又，．．在和中，，，，．．②如图4，延长交于点，则．，．在中，，．．．三、借题掘题、变式训练题基：如图1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，求证：BE=2CD。【实例1·某报期中考试模拟试题】 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝900，点A、C分别在y轴、x轴上．（1）如图17，若已知点A的坐标为（0，2），OC＝5，求B点的坐标；（2）如图18，点P是第一三象限的平分线DQ上的一动点，是否存在点P，使得△PAC的面积是12，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由；（2）如图19，将△ABC绕C点旋转，使得x轴恰好平分∠ACB，AC交x轴于点N，过B点作BM⊥x轴于M点，写出NC与BM的数量关系，证明你的理由；变式1：如图1，BE是等腰Rt△ABC∠ABC的平分线，过E作ED⊥BC于D点，求证：△EDC的周长等于AB的长。变式2：如图2，连接AD，求证：∠ADB=45°；变式3：如图3，若点P为△ABC外一点，且∠APC=135°，判断BP、PC的位置关系；（key：BP⊥PC）（附加：PB、PC、PA之间还有一个的数量关系，略）变式4：如图4，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M．连接CD，求的值。（key：）变式5：如图5，延长BA、CD交于F点，求证：AF+CE=AB；变式6：如图6，过A作AT⊥BD于T点，写出AT、TE、BE之间的数量关系；（key：AT+TE=）。（附加：AT+TE=CD）变式7：将题目中的条件“AE平分∠BAC”改为“AE平分∠BAC处的外角”，其他条件不变，上述还成立吗？ 四、立足课本、变式编拟例4 （课本习题）如图1，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，判断BE、CF、EF之间的数量关系；变式1：如图2，将“∠B、∠C的平分线交于O点”改为“∠B与∠ACB的邻补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系；变式2：如图3，将“∠B、∠C的平分线交于O点”改为“∠B的邻补角与∠ACB的邻补角交于O点”，其他条件不变，判断BE、CF、EF之间的数量关系。变式4：（2006·北京市中考试题）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。变式5：如图，AB∥CD，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，求证：AB+CD=BC；变式6：如图，直线y=x+1分别与坐标轴交于A、B两点，在y轴的负半轴上截取OC=OB。求直线AC的解析式；在x轴上取一点D（-1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E点，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标；过B点作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx（k＞0），分别交直线AC、BM于点H、I，试求的值。第12章 《轴对称》分析 【教材内容与目标】本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。 轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质（解决折叠问题），并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。接下来，在第2小节“作轴对称图形”中，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。 【重、难点】在本章，轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。 按照整套教科书对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求学生证明。由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，要注意帮助学生克服这一难点。 【简而言之】学习目标1．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；例1（2007年南昌市&汉阳区期末考试题）下列奥运会徽标图案中是轴对称图形的是（ ）例2（2007年河南省）如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为【 】A．30° B．50° C．90° D．100°2．探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；例3（汉阳区期末考试题）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；（2）涂黑部分成轴对称图形．请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（特别说明：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）（每一种1分）3．了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法；例4（2008·汉阳区期末考试题）如图，长方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，AB＝2，AD＝1，过定点Q（0，2）和动点P（a，0) 的直线与长方形ABCD的边有公共点，则a的取值范围是 __．4．能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。例5 (2008·台湾省)如图，(ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点。若(ABC的内角(A=70(，(B=60(，(C=50(，则(ADB＋(BEC＋(CFA的度数是( ) C (A) 180( (B) 270( (C) 360( (D) 480(例6 （2008年武汉市中考试题）如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（ ）．Ａ.150° Ｂ．300° Ｃ．210° Ｄ．330°．例7（2009年4月调考试题）如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若∠ABC＝50°，则∠ADC的大小是（ ）A．100° B．115° C．130° D．150°例8（2009·湖南怀化）如图，在中， ，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（ ）A． B． C． D．例9 (2009武汉)如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（ ）A．70° B．110° C．140° D．150° 二、本章编写特点 1．有机的整合“图形与几何”领域的相关内容，利用变换研究图形的性质 在以往的教科书中，等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。在本套教科书中，等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章，学生学完了轴对称的相关性质之后，利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用三角形的全等的知识给以证明，这是本章编排上的一个特点。等腰三角形是一个很好的轴对称图形，它的许多性质都与它是轴对称图形有关。利用它的轴对称性，不仅有助于发现等腰三角形的一些性质，而且也能为利用三角形全等的知识证明一些性质提供思路，在教科书的编写中，充分重视了这一点。例如，教科书引出等腰三角形概念时，不是直接给出定义，而是直接通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个三角形。这个剪三角形的过程，就是利用轴对称得到一个等腰三角形的过程。这个过程还保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴。接下来教科书安排的“思考”栏目是前面“探究”的继续，受剪出等腰三角形的过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。通过找出其中重合的线段和重合的角利用轴对称变换的性质，可以很容易的引导学生得出等腰三角形的两个性质：“等边对等角”以及“三线合一”。在进一步证明这两个性质的过程中，关键是要添加辅助线，而有了前面的“探究”“思考”的铺垫，如何添加这个辅助线也就是水到渠成的了。例10(2008·福建龙岩)16．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（ C ） A．4 B．3 C．2 D．再如，利用等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。教科书也安排了这样一个“数学活动”，让学生利用等腰三角形的轴对称性去发现一些等腰三角形中的相等的线段和角，利用图形的运动研究图形的性质。等腰三角形是一种轴对称图形，教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后，就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质。将图形的运动与图形的认识、图形的证明有机整合，利用运动研究图形，得到图形的性质，再通过推理证明这些结论。 例11 (汉阳区期末考试题)如图，已知AB=AC，PB＝PC，D 是AP上的一点，求证：．2．注意联系实际 人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“图形与几何”的学习提供了大量真实的素材。本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中。 例如，轴对称现象在生活中是很常见的，教科书选用了从天安门到故宫的鸟瞰图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称现象的无处不在，通过观察这些图形，引出轴对称的概念。在实际教学中，可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子，这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形，更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形，使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案，并能够从中发现轴对称的特征。除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外，教科书也给出了一些应用轴对称的例子，如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、简单的利用轴对称设计图案、利用轴对称解决一些有关最大、最小的选址问题等等，教科书也注意体现所学知识的应用，体现一个具体──抽象──具体的过程。例12（汉阳区期末考试题）如图1，直线y＝－2x＋4分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC．（1）求点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得MA＋MC最小，如果存在，请求出的点M的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，若P点为y轴正半轴上一个动点，分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，连接CD交y轴于N点，当点P在y轴上移动时，下列两个结论：①CD－CP的值不变；②PN的长度不变。其中有且只有一个是正确的，请选择，并求其值． 3．注意让学生经历观察、实验、归纳、论证的过程 在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合。论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“思考”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。例13（2008·山东潍坊）如图，中，，，平分，交于，，下列结论一定成立的是（ ）A． B． C． D． 三、几个值得关注的问题 1．注意知识间的联系 本章的内容较多，课程标准“图形与几何”领域中图形的性质、图形的运动、图形与坐标各个部分的内容在本章都有涉及，教学时要注意把握各个部分内容之间的联系，有机的整合各个部分的内容。 本章从认识轴对称图形开始，又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称（两个图形成轴对称），要注意这两个概念间的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，说的是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。它们的联系：定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两个图形就是关于这条直线成轴对称，反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。从运动的角度来看，成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称得到，一个轴对称图形由它的一部分为基础，经过轴对称拓展而成。 另外，教科书还安排了用坐标表示轴对称的内容，从数的角度刻画轴对称的内容。包括关于坐标轴对称的点或图形的坐标的变化以及由点或图形坐标的变化引起点或图形轴对称的内容。这里的关键是要让学生感受图形轴对称之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来。例14（汉阳区期中考试题）如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，分别画出△ABC关于x轴和y轴对称的图形． 关于x轴对称 关于y轴对称2．满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间 本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。 3．注意推理证明的教学 对于推理证明的要求，教科书是按“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等分层次安排的。在这一章，不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。 学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复杂程度也增加了，因此，如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点。教学时，要克服这一难点，关键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析证题思路，找出证明的途径。因为学过的定理多了，从已知出发可以有多种途径选择，分析问题时要结合结论一起考虑，采用“两头凑”，教学时可向学生介绍这种方法。 另外，以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角形，也总习惯于找全等三角形。虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但要注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势。可结合具体问题让学生自己分析，寻找证明方法。对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的性质的问题，应当让学生选择简便方法。在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。虽然“三线和一”，但添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度也不同，需要具体问题具体分析，这一点要注意。 3．重视现代信息技术工具的应用 信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来。 在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，许多计算机软件都有进行轴对称变换的功能，利用这个功能，可以方便的做出轴对称图形，并研究它的性质，教科书也专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，利用计算机软件探索轴对称的性质，探索轴对称的点的坐标的特点，探索线段垂直平分线的性质，利用计算机软件进行图案设计等。有条件的学校，应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习。（实际演示）【典型例题】例15 （2008·浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点作的中垂线，垂足为”；彬彬：“作的角平分线”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．例16 (2008·安徽省卷)已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知，OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC ∴∠B＝∠C，从而AB＝AC。………3分（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，由题意知，OE＝OF。在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE＝OF，OB＝OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFE。∴∠OBE＝∠OCF，又由OB＝OC知∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACD，∴AB＝AC。 ……9分（3）不一定成立。……………………10分（注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB＝AC；否则，AB≠AC，如示例图）例17（2008·山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ； ④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60°． 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）． （1）（2）（3）（5）例18 (汉阳区期中考试题)等边△ABO在直角坐标系中的位置如图13所示，BO边在x轴上，点B的坐标为（－2，0）点，反比例函数y＝（x＜0）经过点A．（1）求这个反比例函数的解析式； （2）略（3）如图15，点D为（1）中的等边△ABO外任意一点，且∠ADO＝30°，连接AD，OD， BD，则AD2，OD2，BD2之间存在一个数量关系，写出你的结论并加以证明．（条件弱化） 例19 （2008·黄陂区期中考试题）如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E的坐标为（，0），点C落在x轴上，且点C的坐标为（，0）．（1）如图7，求BD的长；（2）如图8，连接BD交x轴于F点，求证：∠OFA＝∠DFA；（3）如图9，若点P为OB上一个动点，过P向OA、AB作垂线段PM、PN，当P点在OB上运动时（不与点O、B重合），下列两个结论：①PM＋PN的值不变，②PM－PN的值不变，其中有且只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值．例20（2008·黄冈市中考试题）如图，和都是边长为2的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为 ．例21 (教材习题、汉阳区期末考试题)已知，如图，等边△ABC中，D为AC的中点， 延长BC至E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．变式1：如上图，等边△ABC中，D为AC的中点，若∠BDE=120°，求证：BD=DE；变式2：如图1，等边△ABC中，D为AC的中点，若∠BDE=120°，将∠BDE绕D点顺时针旋转，则DE与DF还相等吗？，BE、BF、BC之间有怎样的数量关系？（BE+BF=）变式3：如图2，等边△ABC中，D为AC的中点，若∠BDE=120°，将∠BDE绕D点顺时针旋转，则DE与DF还相等吗？，BE、BF、BC之间有怎样的数量关系？（BF－BE =）第13章 《实数》分析【重、难点】本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念。 教科书的第一节是平方根，本节先研究算术平方根，再研究平方根。要求学生自己归纳给出“正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根”等这些数的平方根的特征。 教科书第二节是立方根。对于立方根，教科书采用了与讨论平方根类似的方法进行讨论。首先设置一个问题情景，从这个问题情景中抽象出数学问题，就是已知立方体的体积求它边长的问题，这是一个典型的求数的立方根的问题。这样教科书就从这个典型问题引出立方根的概念和开立方运算。接着，教科书类比着平方运算与开平方运算的互逆关系，探讨了立方运算与开立方运算的互逆关系，并通过一个“探究”栏目，学习求数的立方根的方法。在这个“探究”栏目中，要求学生分别计算一些正数、负数和0的立方根，通过这些计算，一方面让学生学习利用立方运算与开立方运算的互逆关系求立方根的方法，另一方面也为下面探讨数的立方根的特征作准备。紧接着这个“探究”栏目，教科书设置了一个“归纳”栏目，由学生归纳给出“正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0”等这些数的立方根的特征。最后，教科书介绍了立方根的符号表示，并利用这种符号表示探讨了立方根的一条性质学习了平方根、立方根以及开方运算后，教科书在第三节安排了实数。首先，教科书通过探究在数轴上画出表示和的点，说明了无理数也可以用数轴上的点来表示，并指出当数由有理数扩充到实数后，直线上的点与实数就是一一对应的、平面上的点与有序实数对也是一一对应的；接着，教科书通过设置思考问题，让学生体会，在有理数范围内成立的一些概念（如绝对值、相反数等）在实数范围内仍然成立；最后，教科书结合具体例子说明，有理数的运算（如加、减、乘、除、乘方运算等），以及运算律、运算性质（如交换律、分配律、结合律等）在实数范围内仍然成立，并且可以进行新的运算（如正数和0可以进行开平方运算、任何一个实数可以进行开立方运算）等。 与原教科书相比，本章内容在原教科书“数的开方”一章的基础上，适当增加了有关实数运算的内容（实数的运算在本套书“二次根式”一章继续学习），说明了平面内点与有序实数对一一对应以及在实数范围内的平移变换等；从内容安排上看，改变原教科书先讲平方根，将算术平方根作为平方根一种特例的做法，而是从实际出发，先讲算术平方根，再将平方根，加强了与实际的联系；在教学目标方面，强调所有学生都应会使用计算器进行开方运算，加强对估算的要求等。 （三）课程学习目标1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；例1（2008恩施自治州）9的算术平方根是( ) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 例2（四川省资阳市）4的平方根是( )A．4 B．2 C．－2 D．2或－2例3（2008年南京市）2的平方根是（ ）A．4 B． C． D．例4 （2008年武汉市） 计算的结果是（ ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；例5 (2008年安徽省)化简=_________。例6 （2008乌鲁木齐）．下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化；4．能用有理数估计一个无理数的大致范围。例7 （2008年芜湖市）估计的运算结果应在（ ）．Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间例8 （2008年遵义市）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）A．点 B．点 C．点 D．点例9 (2008年宁波市)比大的实数是（ ）A． B． C． D．例10 (2008年扬州市)估计68的立方根的大小在 ( ) A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间例11 (2008年永州) 下列判断正确的是（ ）A． ＜＜2 B． 2＜＋＜3C． 1＜－＜2 D． 4＜·＜5 二、本章编写特点 （一）加强与实际的联系本章内容与实际的联系是非常密切的。例如，无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，开平方运算和开立方运算也是实际中经常用到的两种运算，用有理数估计无理数的大小在现实生活中经常遇到等等。因此，本章内容在编写时注意联系实际，对于一些重要的概念和运算紧密结合实际生活展开，例如算术平方根是从已知正方形的面积求它边长、立方根是从已知立方体的体积求它边长等典型的实际问题引出的，再如用有理数估计无理数的大小也是紧密结合实际进行的。编写时，将本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题的过程中，认识实数的有关概念和运算。例12 (2008年益阳) 一个正方体的水晶砖，体积为100cm3，它的棱长大约在( ) A. 4cm~5cm之间 B. 5cm~6cm之间 C. 6cm~7cm之间 D. 7cm~8cm之间 （二）加强知识间的纵向联系本章内容属于“数与代数”这个领域，有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深刻的认识，本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，本章编写时，注意加强知识间的相互联系，使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。例如，对于绝对值和相反数的概念，实数的运算法则和运算性质，平方与开平方、立方与开立方的互为逆运算关系等都是在有理数的基础上展开的。另外，本章前两节“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，因此，编写“立方根”这节时，充分利用了类比的方法，例如类比平方根的概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。 （三）留给学生探索交流的空间 根据本章内容的特点，对于一些重要的概念和结论，编写时注意了让学生通过观察、思考、讨论等探究活动归纳得出结论的过程。例如，对于平方根概念的引入，教科书首先通过一个问题情景，引出已知正方形的面积求边长的问题，接着又让学生通过填表的方式，计算几个不同面积的正方形的边长，使学生感受到这些问题与以前学过的已知正方形的边长求面积的问题是一个相反的过程，并由此指出，这些问题抽象成数学问题就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，并在此基础上给出算术平方根的概念，这样就让学生通过一些具体活动，在对算术平方根有些感性认识的基础上归纳给出这个概念。再比如，在讨论数的立方根的特征时，教材首先设置“探究”栏目，在栏目中以填空的方式让学生计算一些具体的正数、负数和0的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程，在探究活动的过程中发展思维能力，有效改变学生的学习方式。 三、几个值得关注的问题 （一）把握教学要求本册书对于某些内容采用提前渗透、逐步提高的编写方式。例如，对于平面直角坐标系，在第6章“平面直角坐标系”中研究了平面内的点与有序数对的对应关系，其中点的坐标都是有理数，在本章将把点的坐标由有理数的情形扩展到实数范围，并建立平面内的点与有序实数对的一一对应关系，为后续学习函数的图象、函数与方程和不等式的关系等打下基础。例13 （2007·青山区期末考试题）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，圆上一点由原点到达点O′.以下说法：①点O′表示的数是π；②若在数轴上表示－2的点为A，则点A在点O′与点O之间；③若在数轴上表示（－3）2的算数平方根的相反数的倍的点为B,则点B在点O′的左边；④在数轴上表示－∣－π∣的点在原点的右边且到原点的距离与点O′到原点的距离相等.其中说法正确的结论的个数有（ ）（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个对于平移变换，教课书在第5章“相交线与平行线”中安排了一节“平移”，探讨得出“平移前后的两个图形的对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本性质，又在第6章“平面直角坐标系”中安排了用坐标方法研究平移的内容，从坐标的角度进一步认识平移变换，这时平移中遇到的坐标都是有理数的情况。在本章，由于建立了点与有序实数对的一一对应关系，本章又在实数范围内研究平移的内容，为后续学习利用平移变换探索平面图形的几何性质以及综合运用几种变换（平移、旋转、轴对称、相似等）进行图案设计等打下基础。例14（2008·黄陂区期末考试题）如图，在平行四边形ABCO （AB＝OC）中，已知A、C两点的坐标分别为A(，)、C(2，0)．(1)将平行四边形ABCO向左平移3个单位长度，所得四边形的四个顶点的坐标是多少？(2)求平行四边形OABC的面积． 本章还通过一个例题学习了实数的简单运算，安排这个例题的目的是要说明有理数的运算法则和运算性质等在实数范围内仍然成立，关于实数的运算在后面的“二次根式”一章中还要继续研究。 另外，本章也提前渗透了一些数学思想和方法。比如，本章的数学活动1，涉及到勾股定理的内容，让学生利用勾股定理，在数轴上画出表示几个无理数的点。这里只是结合无理数渗透了勾股定理，关于勾股定理以后还要进行专门的研究。 综上所述，本章教学时要注意把握教学要求，以一种发展的、动态的观点看待教学要求，不能要求一次到位。 （二）发挥计算器的作用，加强估算能力的培养 使用计算器进行复杂运算，可以使学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，估算是一种具有实际应用价值的运算能力。提倡使用计算器进行复杂运算，加强估算，综合运用笔算、计算器和估算等方式培养学生的运算能力，是本章的一个教学要求。为了达到这个教学目的，本章专门安排了利用计算器求数的平方根和立方根以及利用有理数估计无理数的大致范围等内容。因此，教学中可以结合具体内容，综合利用各种途径培养学生的运算能力。 小小计算器作用大大武汉市翠微中学：陈 浩 (430050) 本文发表在《数理天地》杂志2007年第3期上《新课程标准》指出：“应充分考虑计算器，计算机对数学学习内容与方式的影响，把它们作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具”。其实，使用计算器，可以缩短计算时间，提高计算效率，将低劳动强度。本文谈谈计算器在八年级年级上册第十三章《实数》的几点作用。利用计算器发掘规律【例1】1，，，…，，，如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选出多少个数？解：利用计算器将这组数1，，，…，，转化为小数，1，0.7071，0.5774，0.5，0.4472，…，0.2236，这组数的特点是从1开始逐渐减少，其中前5个数之和最大1++++=1+0.7071+0.5774+0.5+0.4472=3.2317>3，故至少要选5个数。【例2】用计算器计算……，，，，你能发现什么规律？用计算器计算（保留4个有效数字）并利用你发现的规律，求，，的近似值。解：=0.06， ＝0.6， =6， ＝60，由上面的计算观察可知：被开方数扩大（缩小）1000倍，它的立方根对应地扩大（缩小）10倍。由计算≈4.642，则可推出≈0.04642， ≈0.4642， ≈46.422．利用计算器验证结论【例3】下列计算对吗？用计算器检验，再作猜想：①+=，-=②×=×=，【例4】利用计算器计算，，，推算的结果是多少？解：【例3】通过计算器验证得到，+≠(a≥0，b≥O)，×=(a≥0，b≥0)【例4】=5， ＝55，=555， 可以规律：＝3．利用计算器求值【例5】金庸的武侠小说《射鵰英雄转》中有这样的情节：黄蓉通过心算迅速计算得到，的值，这使“神算子”瑛姑大为震惊，立即对黄蓉刮目相看，请你利用计算器求出它们的值。（教材习题）【例6】（2005年陕西省中考题）已知地球的储水总量约为1.421018m3，而淡水的总量仅占地球储水总量的2.53%，则地球上淡水的总量用科学记数法为 (用计算器计算)【例7】（2005年杭州市中考题）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为（ ） (A) a>b>c (B) a>c>b (C) c>b>a (D) b>c>a解：【例5】=235， ＝324，【例6】1.421018m3×2.53%=3.59261016m3【例7】利用计算器可以得到：a≈0.3178，b≈0.2679，c≈0.2361，故选A。4．利用计算器比较大小【例8】利用计算器比较与7.9的大小【例9】（2006年陕西省中考题）用计算器比较 （添“>”，“=”，“<”）【例10】与最接近的两个整数是多少？解：【例8】≈7.8998，故<7.9，【例9】≈2.2240，≈2.2360故<，【例10】≈16.4317， ，16<<17， 故与最接近的两个整数分别是16，17. （三）重视人文教育 无理数的发现引发了数学史上的第一次危机，是数学发展史上的重要里程碑。无理数的发现经历了一个漫长而艰苦的过程，在发现无理数的过程中，体现了人类为追求真理而不懈努力的精神。因此，教学时可以结合无理数的发现，挖掘数学知识的文化内涵，使学生感受丰富的数学文化，开阔他们的眼界，增长他们的见识。 另外，本章编写时注意加强与实际的联系，在选择素材时，力求选取学生感兴趣的和富有时代气息的实际问题。例如，本章选择了我国神舟5号载人飞船取得圆满成功的素材，通过这个素材可以使学生从数学的角度更多地了解航天知识，培养学生的民族自豪感和爱国主义情操，激励学生更加努力地学习，这样使学生在学习数学的同时，也得到了人文方面的教育。八年级数学上册教材分析2第14章 《一次函数》简介 【学习内容】本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为主要内容的课题学习．【重、难点】其中，14．1节是全章的基础部分，14．2节是全章的重点内容，14．3节是引申的内容，起加强知识前后联系的作用，14．4节是探究性学习的内容，以课题学习的形式呈现，突出建立数学模型的实际意义和思想方法．函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点． 变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点．1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；例1（2008·成都）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ） 例2 （2006年仙桃市中考试题&汉阳区期末考试题）如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水， 在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是（ ） y y O A． x O B． x y y O C． x O D． x第7题图 2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系； （一）列表法例1 （2007·甘肃白银市）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x （元）152025…y （件）252015… 若日销售量y是销售价x的一次函数．（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．解：（1）设此一次函数解析式为 则 解得k＝1，b＝40． 即一次函数解析式为． （2）每日的销售量为y＝－30＋40＝10件， 所获销售利润为（3010）×10＝200元（二）解析式法例2 （2008 ·泰州市）根据流程右边图中的程序，当输入数值x为－2时，输出数值y为( )A．4 B．6 C．8 D．10 （三）图象法例3 (2008·常州市) 甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法: (1)他们都骑行了20km;(2)乙在途中停留了0.5h;(3)甲、乙两人同时到达目的地;(4)相遇后,甲的速度小于乙的速度. 根据图象信息,以上说法正确的有A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；例1 （汉阳区期末考试题）一次函数与的图象如上图所示，则下列结论： ①，，b＞0；②不等式kx＋b＜0的解集是x＞4；③不等式x＋a＜kx＋b的解集是；④点p1（c1，d1），点p2（c2，d2）是一次函数y1＝kx＋b图象上的两个点，且c1＜c2，则d1＜d2．其中正确的结论有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系；例1（2008·乌鲁木齐市）一次函数（是常数，）的图象如图2所示，则不等式的解集是（ ）A． B． 例2（2008·沈阳市）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）A． B． C． D．例3 （2008·武汉市）如图，直线经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组 的解集为 ．变式： x＋1＜kx＋b＜0 的解集为 例4（2009·武汉市5月调考）如图，直线经过A(－1，2)和B(－3，0)两点，则不等式组的解集是 。例5 （2009·武汉市4月调考）如图，直线y＝kx＋b经过A（1，2）和B（－2，0）两点，则不等式组－x＋3≥kx＋b＞0的解集为__________ 例5图 例6图例6（2009·武汉市）如图，直线经过，两点，则不等式的解集为 ． 5．在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力．例1 （2008·武汉市5月）某县今年水果大丰收，A村有柑桔20吨，B村有苹果30吨.果农了解到市内C，D两超市如下信息:C超市需柑桔，苹果共24吨，D超市需柑桔，苹果共26吨，且每个超市需要的苹果数量多于柑桔数量;从A村运往C，D两超市的费用分别为200元/吨和250元/吨，从B运往C，D两超市的费用分别为150元/吨和180元/吨.设从A村运往C超市的柑桔重量为x吨(x为整数)，将A，B两村的柑桔，苹果运往C，D两超市总的运输费用为y元.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)要将这批柑桔，苹果运到C，D两超市，共有几种方案符合要求?哪种方案能使两村所花运费之和最小?在此基础上设计一种使A，B两村合理分担运费的方案. 例2（汉阳区期末考试题）2008年元月期间，我国华中地区的市．市因雪灾道路结冰，急需要化冰盐分别为90吨和60吨．现有两个临近城市的仓库和仓库分别库存有100吨和50吨，全部调运给市、市．已知从仓库运盐到、市的运费分别为35元/吨和30元/吨．从仓库运盐到、市的运费分别为40元/吨和45元/吨，求从仓库运往市的化冰盐是多少吨时总运费为最低，最低运费是多少？三个难点：1、画出示意图，列出函数的表达式；2、确定自变量的取值范围；3、根据k值得到函数的增减性，确定函数的最（大）小值。 （二）用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建在学习过程中，人们需要不断地提高认识问题的水平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识．这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的．一次函数知识要点及例题解析[数学名言]“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微”. －－－华罗庚1.知识结构确定一次函数表达式 一次函数的图像 函数一次函数一次函数图像的应用 2.有关概念2.1函数（fun_ction）定义：设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应就确定了一个y的值，就说y是x的函数．x是自变量，y是因变量.要理解函数的概念需要注意两点：第一、自变量x必须要在“特定意义范围内取值”，如表达式是：1.整式，x取一切实数；2.分式，x取分母不为零的数；3.二次根式，x取使被开方数为非负数的数，三次根式，则x取一切实数；4、幂函数，底数是不为0的数；5、实际问题则根据实际需要来确定。例1 （2009·武汉市）函数中自变量的取值范围是（ ）A． B． C． D．解析：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0．则由题意可知， 2x－1≥0，解得x≥，故选B．例2 （2009·大兴安岭市）函数中，自变量的取值范围是 ．解析：由已知条件可知x≥0且x－1≠0，则自变量的取值范围是x≥0且x≠1．例3 （2009·广州市）下列函数中，自变量的取值范围是≥3的是（ ）（A） （B） （C） （D）解析：答案为D，注意幂函数的底数不为0.例4（2008·武汉市）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价元（为非负整数），每星期的销量为件．⑴求与的函数关系式及自变量的取值范围；（根据自变量的实际意义）第二、函数关系是变量x与y的一种特殊对应关系（呈现方式可以是表达式、图象或表格），而且对自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应．所谓“唯一”就是有一个且只有一个． 一次函数的图象和性质一、知识要点： 1、一次函数：形如y＝kx＋b (k≠0， k， b为常数)的函数． 注意：（1）k≠0，否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b＝0时，y＝kx，y叫x的正比例函数． 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（－，0） （2）由图象可以知道，直线y＝kx＋b与直线y＝kx平行，例如直线：y＝2x＋3与直线y＝2x－5都与直线y＝2x平行． 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k＞0时，y随x增大而增大 k＜0时，y随x增大而减小 例1（汉阳区期末考试题）直线y＝2x－1不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例2（2008·郴州市）一次函数不经过的象限是（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3（2008·茂名）已知反比例函数＝(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少，则一次函数＝－＋的图象不经过（ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 例4（2008·福州）一次函数的图象大致是（ ）例5 (2008年西宁市，汉阳区期末考试选用) 已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（ ） 2.4一次函数图象的应用：为了更好地生存，我们必须在理财、购物、贸易、车房、抗害、战争等领域进行风险分析和预测，我们通常利用物量的线性关系（即一次函数关系）进行理性地决策，通过对一次函数知识研究，能够提升分析问题和解决问题的能力.例（汉阳区期末考试题）如图，小亮早晨从家骑车去学校，先走下坡，后走上坡，去时的行程情况如图所示，若返回时，他的下坡和上坡的速度仍然保持不变，小亮从学校按原路回家的时间是（ ）A．32分钟 B．34分钟 C．36分钟 D．40分钟1.如何掌握一次函数的概念例题1 已知：是一次函数，求的值.解：由题意得：0，且，或（舍去）因此，. 解后反思：（1）一次函数中：≠0，自变量的最高次项的次数为1.（2）易错点：忽视0这一限制条件而出错.变式：一次函数中，如何确定函数值的增减性？如果把本题改为是一次函数，且随着的增大而减小，请你求的值．[例题2] 已知，直线与平行，且过点（1，－2），请问直线不经过哪个象限？解： 由题意得： ， ；又： －2＝3×1＋， ；即直线不经过第一象限.解后反思：（1）直线y＝＋与直线y＝平行，即，反之亦然；（2）直线经过点（），或点（）在直线上，则满足关系式，就是. （3）题中直线中，.（4）易错点：本题提到的直线有三条，要搞清是对哪条直线提出问题；另外，有的同学审题粗心易回答成经过的象限. 例题3 如图所示，已知直线交轴于点B，交轴于点A，求：（1）与的函数关系式；（2）AOB的周长和面积。解析：（1）直线中，设：， 点A（0，2）在直线上，；又B（3，0）在直线上，；因此，.（2）从图象观察得，OA＝2，OB＝3，由勾股定理得，， AOB的周长为：OA＋OB＋AB＝5＋（单位长度）； AOB的面积为：S（单位平方）解后反思：（1）确定一次函数的表达式，就是求待定系数，．一般已知直线上两双不同对应值，可以得到两个方程，求出，.（2）第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得.（3）易错点：用坐标表达线段长度时，要注意加绝对值符号，如P（0，－7），则OP＝|－7|＝7变式：如果本题改为直线交轴于点A，交轴于点B，且AOB的面积为3，求的值.二、衣食住行离不开数学，我们如何学以至用？例题4 衣的问题：妈妈在用洗衣机洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：1.洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？2.已知洗衣机的排水速度为每分钟19升；求排水时与之间的关系式．②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量．解：观察图象得：洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升；2.（1）排水时与之间的关系式为：＝；（15≤≤）（2），×17＋325＝2（升），即洗衣机中剩下2升水.解后反思： （1）其实进水过程，即0≤≤4，；清洗时过程，即10≤≤15时，； （2）易错点：本题容易对的含义产生误解，错把当排水时间，从而写成：.例1 (2008·宁波市)如图，某电信公司提供了两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）A．若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元B．若通话时间超过200分，则方案比方案便宜12元C．若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分例2 （2008·襄樊市）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（）收费．设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示．（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？例3（2009· 黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量与时间之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是 （ ）A．乙>甲 B． 丙>甲 C．甲>乙 D．丙>乙 例题5 住的问题：朝阳居民小区按照分期付款的福利售房方式购房，政府给予一定的贴息.王林家购得一套现款价值120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款利息的和.（剩余欠款年利率为0.4%）(1)若第()年小明家交付房款元，求与的函数关系式;(2)求第三、第十年的应付房款值.解析：(1)第一年付房款：30000元，第二年付房款：5000＋（120000－30000）×0.4%元，第三年付房款：5000＋（120000－30000－1×5000）×0.4%元， 第四年付房款：5000＋（120000－30000－2×5000）×0.4%元， …… 第年付房款：5000＋[120000－30000－（－2）×5000]]×0.4%元， 即＝5000＋[120000－30000－（－2）×5000]]×0.4%＝－20＋5400；(2) ＝3时，＝＝－20×3＋5400＝5340元，第三应付房款值5340元；＝10时，＝＝－20×10＋5400＝5200元，第十应付房款值5200元.解后反思： （1）住房问题是居民生活的热门话题，也是需要用数学知识解决的实际问题；（2）通过枚举法，探索、归纳，最后总结规律，前、后年差别在5000前面的因数，通过对比发现，第年5000前面的因数是（－2）.（3）易错点：第年剩余欠款的规律不易找到.三、求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种：一、由已知函数推导或推证 例1 已知y＝，其中＝(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例． 证明：∵与成正比例， 设＝a(a≠0的常数)， ∵y＝， ＝(k≠0的常数)， ∴y＝·a＝akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例． 二、由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系． 例2 已知一次函数＝(n－2)x＋－n－3的图象与y轴交点的纵坐标为－1，判断＝(3－)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性． 解：依题意，得 解得 n＝－1， ∴＝－3x－1， ＝(3－)x， 是正比例函数； ＝－3x－1的图象经过第二、三、四象限，随x的增大而减小； ＝(3－)x的图象经过第一、三象限，随x的增大而增大． 说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n，故求解析式的关键是构造关于n的方程，此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程． 三、用待定系数法求函数解析式． “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组． 利用一次函数y＝kx＋b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y＝kx＋b平行于y＝kx，即由k来定方向利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程④利用题目已知条件直接构造方程．一次函数的解析式的新面孔 武汉市翠微路中学 陈浩 430050一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数），要确定一次函数的解析式，就是在给定的条件下，确定k，b的值，现根据给出的条件分类，将确定一次函数解析式的题型分类透视，供同学们学习时参考．一、给出一次函数的定义．【例1】（2006·黄冈市） 已知函数是一次函数，求其解析式．解析：由一次函数定义知，由（2）知m＝±1，当m＝－1时，m2－2m＋3＝0，舍去，∴当m＝1时，一次函数的解析式为y＝2x－5．友情提示：利用定义求一次函数y＝kx＋b解析式时，要保证k≠0．如本例中应保证m2－2m＋3≠0．二、给出开放的条件．【例2】 （2008·泉州市）已知一次函数的图象过点（1，－4），且y随x的增大而减小，请写出一个满足上述条件的函数解析式．解析：（1）由条件知，从特殊的角度出发，该函数为正比例函数，设为y＝kx，过（1，－4），代入解析式中的k＝－4，则该函数的解析式为y＝－4x．（2）根据条件画出草图，逆向思维，大胆反推，由于该函数y随x的增大而减小，不妨令k＝－1，则设该函数的解析式为y＝－x＋b，该函数的图象过（1，－4），则有－4＝－1＋b，b＝3，则该函数的解析式为y＝－x＋3．友情提示：由于开放型问题的条件放得很开，我们只需逆向思考，从最简单的情形出发，画出符合条件的直线，认真推敲，细心检验，可以很快从中找到一个符合条件的一次函数．三、给出一次函数的图象上的两个点的坐标．【例3】（2008·上海市） 已知一次函数y＝kx＋b的图象过点（－1，6），（4，－4）两点，求这个函数的解析式．解析：一次函数y＝kx＋b的图象过点（－1，6），（4，－4）两点，∴，解得，故这个一次函数的解析式为y＝－2x＋4．【例4】（2008·枣庄市）已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________．解析：设一次函数解析式为y＝kx＋b，由图可知一次函数的图象过点（0，－2）、（3，1），∴，∴，故这个一次函数的解析式为y＝x－2．四、给出k的值与某点的坐标．【例5】过点（2，1）的一次函数的图象与y＝－2x＋3平行，则这个函数的解析式为_____________．解析：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵该一次函数的图象与y＝－2x－13平行，故k＝－2，又∵一次函数的图象经过点（2，1），∴－2×2＋b＝1，∴b＝5．故这个一次函数的解析式为y＝－2x＋5．五、给定b的值与一点的坐标．【例6】已知一次函数y＝kx＋b，当x＝1时，y＝－2，且它的图象与y轴交点的纵坐标为－5，求出该函数的解析式．解析：一次函数y＝kx＋b的图象与y轴焦点的纵坐标为－5，∴b＝－5，则一次函数的解析式为y＝kx－5，当x＝1时，y＝－2，代入该函数的解析式中，k－5＝－2，解得k＝3，故直线的解析式为y＝3x－5．六、给出某直线将其平移．【例7】把直线y＝7x－8向上平移10个单位得到的图象解析式为___________．解析：设函数解析式为y＝kx＋b，∵直线y＝7x－8向上平移10个单位得到的直线的解析式为 y＝7x－8＋10，即：y＝7x＋2．友情提示：一次函数y＝kx＋b的图象向上平移m（m≥0）个单位后的解析式为y＝kx＋b＋m．向下平移n（n≥0）个单位后的解析式为y＝kx＋b－n．七、给出实际问题【例8】某油箱中存油20升，满载50升，现向油箱中均匀加油，加油流速为0.2升/分钟，则油箱中油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________．解析：由题意得Q＝20＋0.2t， ∵20≤Q≤50，∴20≤20＋0.2t≤50，求得0≤t≤150．友情提示：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围．（六）结合课题学习，提高实践意识与综合应用数学知识的能力本节的教学应特别关注引导学生独立思考，分析实际问题中所包含的变量及其关系，并以函数形式表示它们，即建立函数模型．在独立思考的基础上，可以进行合作交流式的学习活动，深化对问题的认识．本节的教学形式应与一般例题教学有所区别，要更强调学生的主动性，使他们通过研究问题进一步感受建立数学模型的思想方法，切实提高实践意识与综合应用数学知识的能力． 一次函数的超级链接（本文发表在《数理天地》杂志上）武汉市翠微路中学：陈浩 430050原题 如图，直线AB与x轴，y轴的交点为A，B两点，点A，B的纵坐标、横坐标如图所示．求直线AB的解析式及△AOB的面积．解析：设直线AB的解析式为y＝kx＋2，因为直线AB过（4，0）点，所以4k＋2＝0，则k＝－，则直线AB的解析式为y＝－x＋2，．变式1：当x满足什么条件时，y＞0；y＝0；y＜0；0＜y＜2?解析：当x＜4时，y＞0；x＝4时，y＝0；x＞4时，y＜0；当0＜x＜4时，0＜y＜2．变式2：在x轴上是否存在一点P，使＝3？若存在，求出点p的坐标，若不存在，说明理由．解析：存在这样的点P，使＝3∵∴PB＝3，∴∴＝1或＝7则点P的坐标为（1，0）或（7，0）．点评：以上三个小题涉及了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程的关系，点到x轴的距离与该点的纵坐标的关系以及三角形的面积等综合知识，值得关注的是的第（3）小题中△PAB中，OB边上的高为点A的纵坐标的绝对值，则．变式3：如图，在直线上有一点C，且xC＝0.4，求点C的坐标及．解析：∵点C在直线AB上，故点C的坐标（xC，yC）满足直线AB的解析式y＝－x＋2∴yc＝－xc＋2＝－×0.4＋2＝1.8．则点c在坐标为（0.4，1.8）．变式4：如图，直线AB上有一点D，且yD＝1.6，求点D的坐标．解析： ∵点D在直线AB上，故点D的坐标（xD，yD）满足直线AB的解析式y＝－x＋2yd＝－0．5xd＋2即：1.6＝－xD＋2，xD＝0.8．则点D在坐标为（0.8，1.6）．点评：以上两题在已知直线解析式与直线上一点的横（纵）坐标时，可以利用代入或解方程的办法求出该点点纵（横）坐标，同时值得关注的是第（4）小题△AOC中，OA边上的高为点C的横坐标的绝对值，则．变式5： 在（5）的情况下，求直线OD的解析式，解析：由于直线OD经过坐标原点，则直线OD应是正比例函数，设直线OD的解析式为y＝ax，因为直线OD经过点（0.8，1.6），∴1.6＝0.8a， ∴a＝2，∴直线OD的解析式为y＝2x．变式6：在直线AB上是否存在一点E，使E到x轴的距离为1.5，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．解析：存在这样的点E，使点E到x轴的距离为1.5．若点E到x轴的距离为1.5 则有＝1.5，∴＝1.5或－1.5．① 当＝1.5时，－xE＋2＝1.5，求得，xE＝1，② 当＝－1.5时，－xE＋2＝－1.5，求得，xE＝7．∴存在这样的点E，使点E到x轴的距离为1．5，点E的坐标为（1，1．5）或（7，1．5）．变式7：在直线AB上是否存在一点F，使F到y轴的距离为0．6，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由．解析：存在这样的点F，使点F到y轴的距离为0.6．若点F到y轴的距离为0.6，则有＝0.6，∴＝0.6或－0.6．① 当＝0.6时，yF＝－xF＋2＝－×0.6＋2＝1.7，② 当＝－0.6时，yF＝－xF＋2＝－×（－0.6）＋2＝2.3．∴存在这样的点F，使点F到y轴的距离为0.6，点F的坐标为（0.6，1.7）或（－0.6，2.3）．变式8：在直线AB上是否存在一点G，使，若存在，求出点G的坐标，若不存在，说明理由．解析：∵∴＝2，∴∴，以下解答过程参考链（7）的解答，答案为G（2，1）或G（6，－1）．变式9：在直线AB上是否存在一点H，使，若存在，求出点H的坐标，若不存在，说明理由．解析：∵∴＝1，∴∴，以下解答过程参考链（8）的解答，正确的答案为H（1，1.5）或H（－1，2.5）．变式10：若直线AB上有两动点P（m，n），Q（u，v），当点P、Q在直线AB上运动时，给出下列两个结论：①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求出其值．解析：将结论①化简得，．将结论②化简得，．∵P（m，n），Q（u，v）是直线AB上的两点，∴∴∴∴由此得结论②是正确的，其值为：．总评：这是由课本习题改变而来的习题，涉及用“待定系数法”确定一次函数与正比例函数的解析式，点到x轴，y轴的距离与点的纵坐标、横坐标的关系，三角形的面积，一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的关系，因式分解等相关知识点，渗透了类比联想，分类讨论的数学思想方法．这样的习题，多归纳总结，多分析感悟，定能起到事半功倍的学习效果．例 2（汉阳区期末考试压轴题）如图1，直线y＝－2x＋4分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC．（1）求点C的坐标； （2）在y轴上是否存在一点M，使得MA＋MC最小，如果存在，请求出的点M的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）如图2，若P点为y轴正半轴上一个动点，分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD，连接CD交y轴于N点，当点P在y轴上移动时，下列两个结论：①CD－CP的值不变；②PN的长度不变．其中有且只有一个是正确的，请选择，并求其值． 例3（武汉市江岸区期末考试题压轴题）如图1，已知直线y＝2x＋2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC．（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证：BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P(，k)是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第15章 《整式的乘除与因式分解》 一、本章的知识概况?????二、本章的教学要求及重难点重点：整式的乘除法 难点：乘法公式的灵活运用三、基本公式?1、幂的运算性质（四个）? aman＝am＋n； (am)n＝amn； (ab)n＝anbn； am÷an＝am－n一个规定：a0＝1（a≠0）?2、特殊的一次二项式乘法公式： (x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab?3、乘法公式：? (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a±b)2＝a2±2ab＋b2??????推广 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac?4、变形：?a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ；?a2＋b2＝(a－b)2＋2ab ；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab四、本章的主要知识点1．本章学习的主要性质——幂的运算性质（1）对于同底数幂除法性质的理解及应用中应注意的问题是：? ①任何性质都有适用范围及适用条件。如：am÷an＝am－n(a≠0，m、n为正整数，且m>n) ? ?②分清同底数幂的除法性质的条件和结论。条件：同底数幂，相除。如：－a5÷(－a)5 就不能直接运用性质计算，结论是：底数不变，指数相减。???③底数a仍具广泛意义。a不仅可代表一个数或一个字母，也可能是一个整式。如(x－y)m÷(x－y)、(ab)8÷(ab)1－k 例1（汉阳区期末考试题） 若am＝2，an＝3，ap＝5，则的值是（ ） A．2.4 B．2 C．1 D． 0例2（2009·泰安市）若（ ）（A） （B）－2 （C） （D）例3（2009·安徽省）下列运算正确的是（ ）A． B．C． D．例4（2009·桂林市）下列运算正确的是（ ）．A． B． C．·＝ D． ④能灵活运用同底数幂的除法性质来解题。例：若10a＝20，10b＝，试求9a÷32b的值。???????? ???解：∵10a＝20?? 10b＝?????? 又∵9a÷32b＝9a÷9b＝9a－b??? ∴10a÷10b＝20÷???????? ∴9a÷32b＝92??????? ??10a－b＝102?????????????????? ＝81?????????? a－b＝2（2）对于同底数幂的乘法性质的理解和应用。与对同底数幂除法性质的要求有相似之处外，还要注意与合并同类项的区别。例如、－2a2＋a2与－2a2×a2不同点有三: ①运算性质不同，前者是整式加法，后者是同底数的乘法。 ②计算方法不同。③结果不同。－2a2＋a2＝－a2，－2a2×a2＝－2a4。（3）积的乘方、幂的乘方（略）。 （4）关于幂的运算? ①幂的运算实际可转化为指数运算；? ②指数运算比幂的运算低一级，即幂相乘，指数相加；幂相除，指数相减;幂乘方，指数相乘；? ③运算过程中底数不变，指数有正整数扩充到整数范围后，幂的各个运算性质仍旧适用；? ④四条性质均可直接用、逆向用、综合用。例1 已知(xyz)2·M＝x2n＋2yn＋3z4÷5x2n－1yn＋1z，且自然数x、z满足2x·3z－1＝72，求M的值。?? 解：∵(xyz)2·M＝x2n＋2yn＋3z4÷5x2n－1yn＋1z?? ∴x2y2z2·M＝x3y2z3????????? ????M＝xz又∵自然数x、z满足2x·3z－1＝72? ∴2x·3z－1＝23·32?∴x＝3? z＝3? ∴M＝×3×3＝ 例2 （汉阳区期末考试题）先化简，再求值，其中a＝1004，b＝2.2、本章的两个特别规定（1）a0＝1(a≠0)，也就是任何一个不等于0的数的零次幂都等于1。这是同底数幂相除被除式与除式指数相同时，根据除法意义推导出来的。对于零指数的意义，我们要从以下几方面理解：为什么课本上说是一种规定呢？规定:a0不能理解成0个a相乘；? ?② 这种规定的合理性除了可用同底数幂除法性质解释外，还可以用乘除法的逆运算来说明。∵am·a0＝?am? ∴a0＝am÷am＝1；?? ③ 当底数的值不能确定时要注意讨论；????? ④规定的拓展：如这种变换对于我们今后简化有关负整数次幂的计算有很大帮助。例1 若a＝－0.32，b＝－3－2，c＝(－)－2，d＝(－)0，则a、b、c、d从大到小排列____?解：∵a＝－0.32＝－0.09， b＝－3－2＝－()2＝－， c＝(－)－2＝(－3)2＝9， d＝(－)0＝1，∴c>d>a>b。规定了零指数和负指数幂的意义后，指数观念由正整数扩充到整数范围后，幂的各个运算性质仍旧适用。3、本章学习的主要法则 一、计算整式的乘除，要注意以下几点：⑴运用幂的运算性质时，系数、底数、指数及符号问题是易错的地方，运用时一要准确、二要小心谨慎。⑵多项式相乘时，首先不要盲目运用多项式相乘的法则，要观察分析给定多项式的结构特征，能运用乘法公式简化计算的一定要用乘法公式。⑶一个题目往往不是单一运算，而是多种运算的总合，因此计算时首先要确定运算顺序努力做到用法合理，步骤简捷明了。4、乘法公式 二、学习乘法公式要注意(1)把握公式的结构特征 （2)理解公式的几何意义例1 试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（3）掌握公式的常见变形 平方差公式的常见变形：位置变化：(a＋b)(－b＋a)＝________； 符号变化：(－a－b)(a－b)＝_______； 系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝______； 指数变化：(a3＋b2)(a3－b2)＝_____； 项数变化：(a＋2b－c)(a－2b＋c)＝______； 连用变化：(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝______. 完全平方公式的常见变形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab； (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)； (a＋b)2－(a－b)2＝4ab．例1（汉阳区期末考试题）下列式子可以使用平方差公式的是（ ）A．（x＋y）（x＋y） B．（x－y）（x－y） C．（－x－y）（－x＋y） D．（y－x）（x－y） 例2（汉阳区期末考试题）已知x2＋kxy＋4y2是一个完全平方式，则k的值是（ ） A．2 B．±2 C．4 D．±4三、乘法公式运用 （1）直接套用例1 计算解：原式 （2）合理运用 例2 计算分析：若直接运用完全平方公式展开后再相减，运算量大，若把与分别视为平方差公式中的a、b，逆用平方差公式，则运算简便。例3（2008·大连）若，则xy的值为（ ）A． B． C． D．例4计算分析：若先平方展开后再相乘将很繁杂，倒不如逆用积的乘方法则，再用乘方公式计算显得简捷。解：原式 （3）创条件用例5 计算(1) (2x－3y－1)(－2x－3y＋5)； (2) (2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1． 解：(1)原式＝(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2) ＝[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)] ＝(2－3y)2－(2x－3)2 ＝9y2－4x2＋12x－12y－5． (2)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(28－1)(28＋1)＋1 ＝216－1＋1＝216． （4）逆向运用 例6 计算 （1） (2) 1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655． 解 ：分母＝199819962－1＋199819982－1 ＝19981997×19981995＋19981999×19981997 ＝19981997×[(19981995＋2)＋(19981999－2)] ＝2×199819972． (2) 1.23452＋0.76552＋2.469×0.7655＝1.23452＋2×1.2345×0.7655＋0.76552 ＝(1.2345＋0.7655)2 ＝22＝4． （5）变形运用 例7 已知a－b＝4，ab＝5，求a2＋b2的值． 解 ∵(a－b)2＝a2＋b2－2ab， ∴a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝42＋2×5＝26． 例8（汉阳区期末考试题）（1）计算：（a＋b－c）（a－b＋c）；（2）分解因式：．（6）综合运用 所谓综合运用公式，就是把几个乘法公式采用某种运算合起来，得出一个派生公式，利用这个派生公式往往可以巧妙地解决一类问题．例如，把完全平方和与完全平方差公式相加则有 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) (1) 把完全平方和与完全平方差公式相减则有 (a＋b)2－(a－b)2＝4ab (2) 例9 计算(a＋b＋c－d)2＋(b＋c＋d－a)2． 简析 本题若按一般方法，很复杂，但是，若巧妙地将两个括号变形为[(b＋c)＋(a－d)]和[(b＋c)－(a－d)]，再注意公式(1)的运用，则可简解如下： 解 原式＝[(b＋c)＋(a－d)]2＋[(b＋c)－(a－d)]2 ＝2[(b＋c)2＋(a－d)2] ＝2a2＋2b2＋2c2＋2d2＋4bc－4ad．因式分解中的新题型 武汉市翠微中学 陈浩 430050 ch1027@126.com 15071360011近年来的因式分解类中考试题，新题型不断涌现，层出不穷，这些试题新颖别致，魅力四射，宛如一颗颗明珠，闪烁着耀眼的光芒．现具体分类解析如下．一、开放型例2 （2009年吉林省中考试题）在三个整式中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解解析：或或或例3 （2009年衢州中考试题）给出三个整式a2，b2和2ab．(1) 当a＝3，b＝4时，求a2＋b2＋2ab的值；(2) 在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．解析：(1) 当a＝3，b＝4时， a2＋b2＋2ab＝＝49；(2) 答案不唯一，例如，若选a2，b2，则a2－b2＝(a＋b)(a－b)；若选a2，2ab，则a2±2ab＝a(a±2b)． 二、图示型例4 (2009年四川省内江市中考试题) 在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（＞）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A． B．C． D．解析：用不同形式的代数式来表示同一部分的面积，故选C。三、新定义型例1 （2006年浙江省中考试题）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：， ， ，因此4，12，20都是“神秘数”． （1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k＋2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ （3）两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？解析：（1）＝4×7＝28； ＝4×503＝2012，所以是神秘数；（2）因此由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数；（3）由（2）知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数因为两个连续奇数为2k＋1和2k－1，则，即两个连续奇数的平方差不是神秘数．四、规律型例5 （2008年巴中市，略有改动）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则＝ ．解析：依据题意不难得到试题的答案为（a＋b）5．由于时间仓促，在书写的过程中一定不足之处，欢迎大家批评斧正！请致电：15071360011Email：ch1605@126.comQQ号：442052942（凭栏极目）谢谢大家！ 展开更多...... 收起↑ 资源列表 人教八年级下册数学分析（代数部分）.doc 人教版八年级上册数学分析1.doc 人教版八年级上册数学分析2.doc
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