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函数的奇偶性
1
函数的奇偶性
2
习题3.2
目 录
CONTENTS
3
数学文化
4
小结与复习
5
复习题三
一 函数的奇偶性
一
函数的奇偶性
　　图3.2-5中的两个函数图象都是我们熟悉的，它们有什么共同点？
　　图3.2-6中的两个函数图象也是我们熟悉的，它们有什么共同点？
图3.2-5
图3.2-6
一
函数的奇偶性
　　不难发现，图3.2-5中的两个图象，都是以y轴为对称轴的轴对称图形.
　　图3.2-6中的两个图象，都是以原点为中心的中心对称图形.
　　如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴
对称图形，就称F(x)是偶函数.
　　如果F(x)的图象是以原点为中心的中心
对称图形，就称F(x)是奇函数.
　　想一想：函数y=ax2+bx+c在什么条件下是偶函数？在什么条件下是奇函数？在什么条件下是非奇非偶的函数？在什么条件下是又奇又偶的函数？
一
函数的奇偶性
　　能够简单地用数学符号语言来描述函数的奇偶性吗？
　　说偶函数F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，具体是什么意思呢？这就是说，若点A在图象上，则点A关于y轴的对称点B也在图象上，而y轴是线段AB的垂直平分线．
　　于是，如果A的坐标为(x，F(x))，则B的坐标为(－x，F(－x))；直线AB平行于x轴，所以A，B在x轴同侧，并且到x轴的距离相等，即F(－x)＝F(x)．
　　反过来，如果对于F(x)的定义域中的任意的x，F(－x)都有定义并且满足F(－x)＝ F(x)，这表明图象上任一点(x，F(x))关于y轴的对称点(－x，F(－x))＝(－x ，F(－x))也在图象上，即F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形 ．
一
函数的奇偶性
　　所以偶函数就是满足条件F(－x)＝ F(x)的函数．
　　同理可证：奇函数是满足条件F(－x)＝－F(x)的函数．
　　上面的讨论概括如下：
　　(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数；
　　(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
一
函数的奇偶性
　　　　　判断下列函数的奇偶性：
　(1) f(x)=x2+|x|； (2) g(x)=x+ ；
　(3) h(x)=x3 (x∈［－2，5］).
　解　(1)因为f(－x)=(－x)2+|－x|= x2 +|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数．
　 (2)因为g(－x)=－x +　　 = =－g(x)，所以g(x)为奇函数．
　　　(3)因为函数的定义域关于原点不对称，所以h(x)既不是奇函数也不是偶函数．
例
1
一
函数的奇偶性
　　　　设g(x)是定义于［－5，5］上的函数，f(x)=g(x)+g(－x)， 讨论f(x)的奇偶性；　如果在［0，5］上f(x)=1－2x，试求它在［－5，0］上的表达式 .
　解　因为f(－x)= g(－x)+g(－(－x))
　 =g(－x)+g(x)
=f(x)，
所以f(x)为偶函数．
　　当x∈［－5，0］时，－x∈［0，5］,
　　由偶函数性质得f(x)=f(－x)=1－2(－x)=1+2x.
例
2
一
函数的奇偶性
　　1.判断下列函数的奇偶性：
　　(1) f(x)＝ ；
　　(2) f(x)＝ ；
　　(3) f(x)＝ ；
　　(4) f(x)＝1－2x＋x3.
　　这几个函数的图象如图所示，你
能在图中分别标出对应的函数吗？
练 习
（第1题）
一
函数的奇偶性
　　2.求证：定义于R上的两个奇函数的乘积是偶函数.
　　3.设g(x)是定义于(－∞，+∞)上的函数， f(x)= g(x)－g(－x)，讨论f(x)的奇偶性；如果在［0，+∞)上f(x)= x2 －x，试求它在(－∞，0］上的表达式.
练 习
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二 习题3.2
二
习题3.2
学而时习之
　　1．如图是函数f(x)的图象．列出f(x)的若干区间，说明它在各区间上的增减性，并指出该函数的最大、最小值点及最值．
（第1题）
二
习题3.2
　　2.检验下列函数的增减性，并说明是否有最大最小值．如果有，指出最大最小值和最大最小值点．
　　(1) f(x)＝3x－h (x∈［－2，5］)；(2) g(x)＝x2－2x－5(x∈(－∞，2］)；
　　(3) k(x)＝ (x ∈［－5，0］)；(4) f(x)＝－ (x ∈(0，＋∞))．
　　3.已知函数f(x)=－mx2+3x+1在区间(－ 1，+∞)上是增函数，求实数m的取值范围.
　　4.判断下列函数的奇偶性：
　　(1) f(x)＝x4－2x2； (2) f(x)＝ x5－x；
　　(3) f(x)＝ ； (4) f(x)＝|x|+x.
二
习题3.2
　　5.已知f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，将下图补充完整.
　　6．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时， f(x)=x2+　，求f(－1).
　　7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时， f(x)=2x(x+4)，试求出函数f(x)在R上的表达式.
（第5题）
二
习题3.2
温故而知新
　　8.根据如图所示的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．
（第8题）
二
习题3.2
　　9.设函数f(x)的定义域为(－4，5)，如果f(x)在(－4，0)上是减函数，在(0，5)上也是减函数，能不能断定它在(－4，5)上是减函数？如果f(x)在(－4，0］上是增函数，在［0，5)上也是增函数，能不能断定它在(－4，5)上是增函数？
　　10.已知函数f(x)=　　　(x≠a).
　　(1) 若a=－2，证明： f(x)在(－∞，－2)内递增；
　　(2)若a>0，且f(x)在(1，+∞)内递减，求a的取值范围.
　　 11.下列函数中，既是奇函数又是增函数的有哪些？
　　(1) y=x+1 ；　　 (2) y=－x3 ；　　
　　(3) y= 　； 　　 (4) y=x|x|.
二
习题3.2
　　12.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈［0，+∞)时， f(x)是减函数，试确定f(－2)，f(π)，f(－3)之间的大小关系.
　　13.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x) =x3+x2+1，求f(1)+g(1).
　　14.设函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝f(1－x).若当x≥1时， f(x)＝x2－1，试确定 ， ， 之间的大小关系.
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三 数学文化
三
数学文化
函数概念的形成与发展
　　在整个数学当中，一个首要的概念是函数．意大利科学家伽利略(1564—1642)研究运动学，法国数学家笛卡儿(1596—1650)研究动点轨迹，伽利略和笛卡儿的工作中蕴含了函数的精髓．伽利略指出：“从静止开始的匀加速下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比．”即可写成s＝kt2，其中t是时间，s是自由落体的下落距离．伽利略的这些话清楚地表明他是在讨论变量与函数，只差字面上的概括和函数符号的引入这一步了.17世纪上半叶，笛卡儿指出，当动点做曲线运动时(曲线是动点的轨迹)，动点的x坐标与y坐标相互依赖并同时发生变化，其关系可由包含x与y的方程式给出．他的这些观点暗含了函数的思想．
三
数学文化
　　“function（函数）”作为数学术语是德国数学家莱布尼茨(1646—1716)首先采用的．1692年莱布尼茨发表论文并正式使用函数来表示变量之间的依赖关系．
　　特别值得指出的是，中文的“函数”一词是1859年我
国清代数学家李善兰在翻译《代数学》时由“function ”
创译的，他给出的理由是“凡此变数中函彼变数者，则此
为彼之函数”，即“函”为包含之意.
莱布尼茨
三
数学文化
　　新思想常常不是单独产生的.1718年，瑞士数学家约翰·伯努利( 1667—1748)对函数下了这样的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任意一种方式组成的一种量．”1748年，约翰·伯努利的学生，数学家欧拉(1707—1783)给出了函数的定义：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式．”师生两人关于函数的定义如出一辙．
三
数学文化
　　1797年，法国数学家拉格朗日( 1736—1813)重述了上面伯努利与欧拉的定义，但他指出：“我们用字母f或F放在一个变量前面以表示该变量的一个函数，即表示依赖于这个量的另一个量，它按一种给定的规律随那个变量一起变化．”其他数学家也纷纷给出大同小异的关于函数的定义.18世纪的数学家们都认为一个函数必须处处有相同的解析表达式，例如函数y＝x2＋2x＋1，　　 ，等等，即使像高斯( 1777—1855)那样天才的数学家也认为函数是一个封闭的(解析的)表达式．
三
数学文化
　　法国数学家傅立叶(1768—1830)和柯西(1789—1857)则主张，函数未必一定要有一个解析表达式．傅立叶指出：“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应，那么y就是x的一个函数，至于在整个区间上y是否可以用数学运算来求得，那是无关紧要的事．”德国著名数学家狄利克雷(1805—1859)给出一个数学史上著名的函数实例：
三
数学文化
　　狄利克雷函数D(x)具体而深刻地显示了函数是数集到数集的映射这个现代函数的观点．
　　到现代，函数的应用已经渗透到数学、计算机科学、自然科学乃至人文科学的各个领域中了．
　　在计算机程序语言中，函数概念有了很大拓展并得到了充分应用．特别是在某些人工智能语言中，几乎所有的操作都用函数来表示．
　　由于物理学的推动和数学理论发展的需要，数学中的函数概念也有了新的发展，出现了测度函数、广义函数等新的研究分支．函数的定义域已经不限于实数集合，而推广到了点集合、数组集合以至于曲线集合等等. 大量的重要数学问题和实际问题，归结到特定函数的计算．函数是纯数学与应用数学的灵魂．
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四 小结与复习
四
小结与复习
一、知识结构图
映射
函数
函数的概念
函数的表示法
函数的基本性质
解析法
列表法
图象法
单调性
奇偶性
四
小结与复习
二、回顾与思考
　　1. 初中已学习函数的概念，在本章，我们进一步用更加严谨的集合和对应语言来刻画函数，突出了函数概念的本质是一个数集到另一个数集的一种确定的对应关系，明确了构成函数的三要素，并引入函数符号y= f(x).通过本章的学习，你对函数概念有什么新的认识和体会吗？
　　2. 数学讲究表示.函数有哪几种常用的表示法？试结合具体实例，分析、比较这几种表示法的特点.
　　3. 根据函数的解析式或图象来探索它的性质，是数学的重要课题.函数的变化无非是变大变小，函数的单调性描述了函数的变化过程和趋势，是函数最重要的特征.如何判断一个函数的单调性？更进一步，你能用数学语言来表述吗？函数最值的几何意义如何理解？
四
小结与复习
　　4. 如何判断一个函数的奇偶性？你能解释奇函数、偶函数图象的对称性吗？你能用数学语言来表述函数的奇偶性吗？
　　5. 函数是描述客观世界变化规律的数学模型．函数的思想方法不仅将贯穿高中数学课程的始终，还会成为你今后学习或用到的数学知识的主旋律．小学到初中所学的数学知识，大都可以放到函数的框架之中；大量的实际问题，可以用函数模型来描述和回答．用函数的观点看数学和其他学科里的许多问题，常有纲举目张的效果．
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五 复习题三
五
复习题三
学而时习之
　　1.判断下列对应是否为集合A到集合B的函数:
　　(1) A=R，B={x|x>0}，f : x →y=|x| ；
　　(2) A=Z，B=Z， f : x →y=x2 ；
　　(3) A=Z，B=Z， f : x →y= 　；
　　(4) A={x|－1≤x≤1}，B={0}， f : x →y=0.
　　2.求函数　　　　　　　的定义域.
　　3.已知f(x+1)=x2+4x+1 ，求f(x)的解析式.
五
复习题三
　　4.已知函数y= f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为　　　　　.
（第4题）
五
复习题三
　　5.已知函数　　　　　　　 　 若f(a)+f(1)=0，求实数a的值.
　　6.已知　　　　 　，试判断f(x)在区间［1，+∞)上的单调性，并加以证明.
　　7.求函数y＝－x2＋4x－2在区间［0，3］上的最大值和最小值．
　　8.已知二次函数f(x)的图象关于y轴对称，且在区间［0，+∞)上为增函数，试确定f(0)， f(3)，f(－4)之间的大小关系.
　　9.已知函数　　　　　　(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)=2，f(2)<3，求a，b，c的值.
五
复习题三
　　10.已知函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，求a的值.
　　11.某企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中x是仪器的月产量.
　　(1)将利润表示为月产量的函数；
　　(2)当月产量为何值时，企业所获利润最大？最大利润是多少元？
五
复习题三
温故而知新
　　12.已知函数f(x)满足ff(x+y)= f(x)+ f(y) (x，y∈R).
　　(1)求f(0)的值；
　　(2)求证： f(－x)= － f(x)；
　　(3)若f(2)=　 ，求f(200)的值.
　　13.某市对家庭每月用水的收费规定为：若用水量不超过基本月用水量am3，则只付基本费8元和损耗费c元(c <5)； 若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按b元/m3进行付费．已知该市某家庭1—3月的用水量分别为9m3，15m3和22m3，其支付的费用分别为9元，19元和33元．试写出每月支付费用y(元)关于月用水量x(m3)的函数，并画出函数的图象．
五
复习题三
　　14.已知某函数在区间(－∞，1］上递减，在区间［1，＋∞)上递增， f(0)不是这个函数的最小值．　试写出一个这样的函数解析式．
　　15.若函数　　　　　 在区间(0，2］上是减函数，求实数m的取值范围.
　　16.若偶函数f(x)在区间［－8，－5］上递减且在区间［－5，－1］上递增，试讨论f(x)在区间［2，7］上的增减性，并进一步讨论f(x)为奇函数的情形.
五
复习题三
　　17.已知函数y= f(x)与y=g (x)的图象如图所示，则函数y= f(x)·g(x)的图象可能是（　　　　　）
　　　
（第17题）
（A）　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　　（D）
五
复习题三
上下而求索
　　18.探索并回答下列问题：
　　(1)把 的图象向右平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
　　(2)把 的图象向左平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式；
　　(3)把 的图象向上平移1个单位长度，求所得图象的函数解析式；
　　(4)把 的图象向下平移2个单位长度，求所得图象的函数解析式.
　　19.探索函数 (常数c>0)的奇偶性、值域以及单调性，并说明理由；若函数为 (常数c>0)时，该函数的性质有何变化？
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结束

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