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(共17张PPT)
幂函数
一
幂函数
　　大雾天，海陆空的交通运输都会受到影响.
　　雾是大量小水滴在空气中悬浮而形成的. 小水滴为什么
不掉下来呢？
　　近似地把水滴看成小球，用球的直径x来刻画它的大小.
当x变小时，水滴所受的重力和空气阻力都在变小，但程度不同.
　　水滴所受的重力和体积成正比，即和x3成正比；但它所受的空气阻力却和表面积成正比，即和x2成正比.
　　当直径x从1 mm变小到0.1mm时，水滴所受的重力减小到0.1%，而阻力减小到1%.相对来说，阻力与重力的比值增加到10倍.同理，x从1mm变小到0.01mm时，阻力与重力的比值增加到100倍.随着直径x的变小，水滴所受的重力比起阻力来，很快就变得微不足道了.这就是小水滴成雾的原因.
　　上面的讨论中用到的变量x，x2和x3 ，都是自变量x的函数.这三种函数我们已经很熟悉了.
　　一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y=xα叫作(α次)幂函数．上面提到的1，2，3次幂函数，都是正整数次幂函数y=xn (x∈R，n是正整数)的例子．
一
幂函数
　　应用幂运算的基本不等式，可推出
　　对任意的正数r和两正数a＞b，有　　　　　　，即ar＞br.
　　对任意的负数r和两正数a＞b，有 　　　　　 ，即ar＞br.
　　由此可确定幂函数的增减性；而正整数次幂函数的奇偶性，则与幂指数的奇偶性一致.
　　多个正整数次幂函数与常数通过相乘相加组成的多项式函数，在理论和实际应用上极为重要.
　　正整数次幂函数的倒数　　　是负整数次幂函数.一般写成y=x－n，这里n是正整数，x≠0.
一
幂函数
　　我们已学过的倒数函数　　 ，以及平方倒数函数　　 ，是最常用的负整数次幂函数.
　　从点光源发出的射线，如果没有介质的屏
蔽，其强度随到达位置与光源的距离x的增大而
变弱，强度与x2成反比.
　　根据万有引力定律，与地心距离为x的物体
所受的重力的大小，与x2成反比.这是宇宙飞行技术的最基本的理论依据.
　　负整数次幂函数还有一个特点:其图象向上(下)与y轴正(负)向无限接近，向右(左)与x轴正(负)向无限接近.这一点无法用有限的图形来检验，但是可以通过幂运算的性质推理得知.
一
幂函数
　　负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数.
　　自变量x的平方根　 或立方根 ，是最常见的分数次幂函数.
　　工业生产过程排放的烟尘，在没有风的日子，会长时间笼罩在一片地方的上空.这是因为，悬浮的颗粒在不流动的空气中扩散的速度与时间的平方根成正比，这是缓慢的运动.
　　一般地，对于实数次幂函数y=xα (α≠0)：
　　(1)当α＞0时，它在［0，+∞)有定义且递增，值域为［0，+∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点；
　　(2)当α＜0时，它在(0，+∞)有定义且递减,值域为(0，+∞)，函数图象过(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近.
一
幂函数
　　图4.1-1是我们熟悉的五个幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象，它们中的后四个，各代表了一类幂函数.
一
幂函数
图4.11
　　对于一般的非零实数α，幂函数y＝xα只在x＞0时才能都有意义.对于整数次幂函数，由于图象的对称性，把它们在(0，＋∞)上的图象和性质说清楚了，其他部分的情形也就容易知道.所以我们主要关心幂函数y＝xα在x＞0时的图象和性质.
一
幂函数
一
幂函数
　　　　比较下列各组中两个数的大小：
　(1) 1.51.4，1.61.4； (2) 1.50.4，1.60.4；
　(3) 1.5－1.5，1.6 －1.5.
　解　(1) 1.51.4，1.61.4可看作幂函数y=x1.4的两个函数值.该函数在［0，+∞)上递增，由于底数1.5＜1.6，所以1.51.4 ＜ 1.61.4.
　　 （2） 1.50.4，1.60.4可看作幂函数y=x0.4的两个函数值.该函数在［0，+∞)上递增，由于底数1.5＜1.6 ，所以1.50.4 ＜ 1.60.4.
　　（3） 1.5－1.5，1.6 －1.5可看作幂函数y=x－1.5的两个函数值.该函数在(0，+∞)上递减，由于底数1.5＜1.6，所以1.5－1.5＞1.6－1.5.
　　由例8可以看到，利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.
例
1
一
幂函数
　　　　设f(x)是幂函数，已知f(8)＝16，求f(9)， f(64).
　解　设f(x)=xα.
　由已知条件得f(8)=8α=16=8·2＝　　
　由8＞1知，若　　　，则f(8)＝　　　 =16；
　若 ，则f(8)= =16.两者皆与条件不合，故确定
　于是f(9)= ， f(64)= =256.
例
2
一
幂函数
　　1.结合图4.1-1中的五个函数图象回答问题：
　　(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？
　　(2)写出每个函数的定义域、值域.
　　(3)写出每个函数的单调区间.
　　(4)从图中你发现了什么？
练 习
一
幂函数
　　2.对幂函数y= xα ，填空：
　　(1)当α＞1，x≥0时，图象恒过　　　和　　　两点；其中当0＜x＜1时，幂函数图象在y＝x图象的　　　方；当x＞1时，幂函数图象在y＝x图象的　　　方.
　　(2)当0＜α＜1，x≥0时，图象也恒过　　和　　两点；其中当0＜x＜1时，幂函数图象在y＝x图象的　　　方；当x>1，幂函数图象在y＝x图象的　　　方.
　　(3)当α＜0，x＞0时，图象恒过点　　　　.
　　3.已知幂函数f(x)= xα的图象经过点　　　，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性.
　　4.已知m(x)是幂函数，若m(9)=27m(1)， 求m(25)和m(8).
练 习
二
习题4.1
学而时习之
　　1.求下列各式的值：
　　(1) 　　　 ； (2) ； (3) ； (4) .
　　2.用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a，b均为正数) ：
　　(1) ； (2) ； (3) .
3
4
5
3
二
习题4.1
　　3.用计算器求值(结果精确到0.001)：
　　(1) ； (2) ； (3) .
　　4.计算下列各式(式中字母均为正数)：
　　(1) ； (2) ；
　　(3) ； (4) ；
　　(5) ； (6) ；
　　(7) ； (8)
3
二
习题4.1
　　5.计算：
　　6.化简下列各式：
　　(1) ； (2)
　　7.比较下列各组中两个数的大小：
　　(1) 3.51.7，3.41.7 ； (2) 3.50.3，3.40.3；
　　(3) 3.5－1.6，3.4－1.6 ； (4) 0.12－0.6，0.11－0.6.
　　8.已知幂函数f(x)= xα的图象经过点 ，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性.
3
5
4
二
习题4.1
温故而知新
　　9.若2x+2－x=5，求　　　 的值.
　　10.已知x＞1，且x+x－1 =3，求下列各式的值：
　　(1) ； (2) ； (3)
　　11.已知f(x)是奇函数，当x≥0时， f(x)= ，求当x＜0时， f(x)的解析式.
　　12.已知 ， ， ，试比较a，b，c的大小.
　　13.已知幂函数f(x)= (m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数.
　　(1)求函数f(x)的解析式；
　　(2)讨论函数f(x)的奇偶性和单调性；
　　(3)求函数f(x)的值域.
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结束

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