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3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时
第三章 圆锥曲线的方程
数学
学习目标
①能熟练掌握抛物线的几何性质--范围、顶点、离心率、对称性等．
②能掌握抛物线的焦点弦长的求法．
学习重难点
重点：
抛物线的简单几何性质，利用抛物线的几何性质求方程，对通径与焦半径公式的初步探究．
难点：
利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究．
其中定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
定义告诉我们：
(1)判断抛物线的一种方法
(2)抛物线上任一点的性质：|MF|=d
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
l
F
M
d
H
课堂导入
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 焦点位置
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2=2px
(p＞0)
y2=-2px
(p＞0)
x2=2py
(p＞0)
x2=-2py
(p＞0)
2.四种抛物线及其标准方程
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
问题1：类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 ① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？
范围、对称性、顶点、离心率......
l
F
y
x
O
范围、对称性、顶点、离心率......
课堂探究
1.抛物线的简单几何性质：
（1）范围
由抛物线
有
所以抛物线的范围为
x
y
O
K
F
M


H
l

问题2：那其他的形式的抛物线方程呢？
课堂探究
关于轴对称
即点也在抛物线上,
故抛物线关于轴对称.
则,
若点在抛物线上,即满足，
K
F
M(x,y)


x
y
O
H


M′(x,-y)
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
（2）对称性
课堂探究
（3）顶点
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
∴ 中，令，则.
即抛物线的顶点.
x
y
O
K
F
M


H
l

课堂探究
（4）离心率
x
y
O
K
F
M


H
l

抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离之比 ，叫做抛物线的离心率，用表示．
由抛物线的定义可知，.
课堂探究
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y≤0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
课堂探究
辨析：判断正误.
(1)抛物线有一条对称轴为轴.( )
(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( )
(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( )
(4)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线.( )
【答案】√，√，√，×.
课堂探究
例1 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程.
.
问题3：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程.
解：有两条，抛物线的标准方程是或
课堂探究
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
课堂探究
解：方法二：设A(,), B(,),
直线l的方程为抛物线方程，得
x2-6x+1=0
∴ +=6, =1
=8.
(x1, y1)
(x2, y2)
课堂探究
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：方法三：由题意可知，，，焦点F的坐标为（1，0），准线方程为.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，可知，，
.
因为直线的斜率为1，且过焦点，
所以直线的方程为. ①
将①代入方程，得，化简，得.
所以，.所以，线段AB的长是8.
课堂探究
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.
焦半径公式：
(5)焦半径
x
l
F
M
y
O
(x0,y0)
课堂探究
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
焦点弦公式：
(6)焦点弦
x
l
F
A
y
O
B
(x1,y1)
(x2,y2)
课堂探究
课堂探究
A
B
y2=2px
2p
过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.
|AB|=2p
2p越大，抛物线张口越大
(7)通径
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.
x
l
F
y
O
课堂探究
（1）抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
（2）抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
（4）抛物线的离心率是确定的,为1;
（5）抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
p越大,开口越开阔
课堂探究
2.抛物线的特点：
评价反馈
1.若抛物线的焦点到顶点的距离为6,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A.(6,+∞) B.[6,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)
答案 B
解析 ∵抛物线的焦点到顶点的距离为6,
∴=6,解得p=12.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[6,+∞).
评价反馈
2.若抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线y=kx+2与C交于A,B两点,且|AF|·|BF|=25,则k的值为(　　)
A.±2 B.-1 C.±1 D.-2
答案 A
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+2代入x2=4y,消去x,得y2-(4+4k2)+4=0, 所以y1y2=4,y1+y2=4+4k2,
抛物线C:x2=4y的准线方程为y=-1,
因为|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=4+4+4k2+1=4k2+9=25,解得k=±2.
1.掌握抛物线的几何性质:
范围、对称性、顶点、离心率、焦半径、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其他问题.
课堂小结
方程
图形
范围
对称性 顶点 焦半径
焦点弦
通径 y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
抛物线的简单几何性质
（1）教材第136页，课后习题.
（2）思考：你还能有几种方法说明“通径就是抛物线最短的焦点弦”
布置作业
谢谢大家！

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