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第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
数学
学习目标
①理解空间向量的有关概念．
②掌握空间向量的线性运算及其运算律，理解共线向量和共面向量的概念及判定条件．
③能用空间向量的线性运算解决一些简单的立体几何问题．
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢
类比
思考：类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容
概念 —— 运算 —— 基本定理 —— 坐标表示 —— 应用
情境
平面向量的概念 空间向量的概念
平面内，既有大小又有方向的量，叫做平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，
空间中，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，
平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
问题1
平面向量的表示法 空间向量的表示法
(1)有向线段
A (起点)
B
(终点)
(2)字母 …
(3)坐标表示：＝(x，y)
(1)有向线段
(2)字母 …
(3)坐标表示：＝(x，y，z)
其模记作 .
或
其模记作 .
或
空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。
问题2
如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
平面向量的相关概念 空间向量的相关概念
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
共线向量：
模为0的向量，记作 ；零向量的方向任意；
模为1的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作 ；
模相同，方向相反的两个向量，记作；
方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 ；
规定：零向量和任意向量平行.
若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ；
规定：零向量与任意向量平行.
概念的本质是一样的
问题3
在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
(1)下列关于空间向量的命题中,真命题的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量都不相等;
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;
③平行且模相等的两个向量是相等向量;
④若a≠b,则|a|≠|b|;
⑤两个向量相等,则它们的起点与终点相同.
A.0 B.1 C.2 D.3
B
【例题1】
(2)下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.若a,b为相反向量,则a+b=0
C.零向量是没有方向的向量
D.若a,b是两个单位向量,则a=b
B
【例题1】
(1)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1的中点为O,则下列命题正确的是(　　)
A.是一对相等向量
B.是一对相反向量
C.是一对相等向量
D.是一对相反向量
D
【跟踪训练】
(2)给出下列命题:
①空间向量就是空间中的一条有向线段;
②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;
③|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件;
④若空间向量m,n,p满足m∥n,n∥p,则m∥p.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.0
B
【跟踪训练1】
A
O
B
如图，已知空间向量
以任意点O为起点，
作 ， ，
我们就可以把它们平移到同一个平面α内。
α
空间向量的线性运算
转化
平面向量的线性运算
空间向量问题
平面向量问题
问题4
空间向量的线性运算如何进行？
把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:
②
O
A
B
C
O
A
P
Q
N
M
(1)加法：
(2)减法：
(3)数乘：
实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作 λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
追问 向量线性运算的结果与向量起点的选择有关系吗？
归纳新知
①首尾相接的若干向量之和，
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形, 则它们的和为:
等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
零向量.
归纳新知
平面向量线性运算的运算律 空间向量线性运算的运算律
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
问题5
类比平面向量线性运算的运算律，你能得出空间向量线性运算的运算律吗？
a
b
c
O
A
B
C
a
b
+
a
b
c
O
A
B
C
b
c
+
空间向量
a
b
+
c
+
(
)
a
b
+
c
+
(
)
( a + b )+ c = a +( b + c )
向量加法结合律
证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同.
归纳新知
想一想：如图，在平行六面体中，分别标出 ,
表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
一般地，对于三个不共面的向量 ， ， ，以任意点O为起点， ， ， 为邻边作平行六面体，则 ， ， 的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
a
c
b
利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到:
有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
归纳新知
化简下列各式：
【例题2】
解：
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
【例题3】
如图，已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.
A
B
M
C
G
D
空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD边的中点，化简：
【跟踪训练2】
解：
如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心.求下列各式中x，y的值:
评价反馈
课堂小结
总结归纳
1.通过本节课的学习，我们学到了哪些知识？
2.我们是如何获取这些知识的？
3.在获取知识的过程中都用到了哪些思想方法？
4.同学们还有什么疑惑？
复习本节内容,梳理知识脉络,完成学案素养专练.
预习空间向量共线、四点共面的充要条件.
查阅资料,体会物理在空间向量发展史上所起的作用,以及向量问题的物理解释,加深对向量概念及其运算的理解.

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