资源简介

(共21张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2空间向量基本基本定理
数学
学习目标
①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解．
②会用空间三个不共面向量作为基底表示空间中任意向量．
③体会向量方法在解决立体几何问题中的作用．
复习引入-平面向量基本定理
如果 e1， e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量，有且只有一对实数λ1 ， λ2 ，使 .
不共线　
a＝λ1e1＋λ2e2
任一　
若e1，e2 不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
注:由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示
问题:类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a, b, c来表示呢
e1
e2
A
=
= λ1e1＋λ2e2
λ1e1
λ2e2
探究一　空间向量基本定理
O
P
Q
如图，设 i， j，k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量，设为在i， j所确定的平面上的投影向量，则 = + ．
又向量, k共线，因此存在唯一的实数z
使得= zk (共线向量定理)，
从而，在i， j所确定的平面α上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得.
从而= + zk= .
探究一　空间向量基本定理
O
P
Q
思考1：在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c代替两两垂直的i，j，k，你能得出类似的结论吗
故可得如下结论
如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
=
我们称分别为向量在i，j，k上的分向量.
探究一　空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得
=
O
P
Q
=
a
探究二　基底与基向量
由空间向量基本定理可知:
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底, a，b，c 都叫做基向量.
注:空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
探究二　单位正交基底与正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用，表示由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量均可以分解为三个向量,
使=
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
O
P
Q
i
①单位正交基底: ,其中 三个基向量两两垂直，且长度都为1
②正交分解: = .
【例题1】
若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a+b，b+c，c+a}能否作为该空间的一个基底
解 (方法1)假设有一组实数x，y，z，使得x(a+b)+y(b+c)+z(c+a)=0，即(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c=0，
因为a，b，c不共面，所以x+z=0，x+y=0，y+z=0，解得x=y=z=0，所以a+b，b+c，c+a不共面，
所以可以作为空间的一个基底.
(方法2　反证法)
假设{a+b，b+c，c+a}不能作为空间的一个基底.
则存在实数x，y使得a+b=x(b+c)+y(c+a)，
即(1-y)a+(1-x)b-(x+y)c=0，
所以此方程组无解，
因此假设不成立，故{a+b，b+c，c+a}能作为空间的一个基底.
【例题2】
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4， ADAB=60°，
BA=60°， DA=60°，M，N分别为D1C1，C1B1，的中点.
求证MN⊥A.
选取基底(不共面且已知长度夹角)
用基向量表示相关向量
把相关向量的运算转化为基向量的运算得到向量问题的解
得到向量问题的解
还原为几何问题的解
设a ，b ， c，这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们可以用它们表示，
则= + a b ,
+ + = a +b+c
=· =0
a
b
c
【例题3】
j
如图，正方体ABCD-A B C D 的棱长为1，E,F,G分别为 ，
（1）求证:EF∥AC；
（2）求CE与AG所成角的余弦值.
证明：（1）设
∵
∴ i j (i j)
i j ，
∴ ，
∴ ∥ （向量共线定理），∴EF ∥ AC.
（2）∵ j，
+ - + ，
，
故CE与AG所成角的余弦值为
归纳新知
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　)
A. B.
C. D.
C
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且+m-n，则m，n的值分别为(　　)
A.，- B.-，- C.- D.
A
3.设p:a，b，c是三个非零向量;q:{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
B
4.下列说法正确的是(　　)
A.任意三个不共线的向量可构成空间的一个基底
B.空间的基底有且仅有一个
C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D.基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等
C
5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若=a，=b，=c，则=　 .
a-b+c
1.这节课你收获了哪些知识？
2.你是如何获得的？
3.你在获得知识的过程中用到了哪些数学思想方法？
4.你还有哪些疑惑
课堂小结
总结归纳
必做题：教材习题1.2 第3，4，5题.
选做题：教材习题1.2 第7，8题.

展开更多......

收起↑