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1.3.1空间直角坐标系
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①了解空间直角坐标系．
②能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
空间向量基本定理
基底
空间向量基本定理
单位正交基底
正交分解
不共面，则对，唯一有序实数组，使得
空间任意三个不共面的向量
反设共面，，
若有解，则共面，不能作为基底；
若无解，则不共面，能作为基底．
两两垂直，且长度都为1的基地
平面向量与平面直角坐标系
在平面内选取一点和一个单位正交基底以为原点，分别以, 的方向为轴,轴的正方向建立平面直角坐标系.
O
A(x,y)
如图，对平面内任一向量，存在唯一实数对，使 a=
类似地，能否建立空间直角坐标系，建立空间向量坐标与空间点的坐标的一一对应呢？
x
y
定点 单位正交基底 原点 正方向 单位长度 数轴 坐标系
平面 直角 坐标系 { 的方向 的长度 轴 轴
空间 直角 坐标系
{
的方向
的长度
轴
轴
轴
x
y
z
O
j
i
k
O叫做原点， 都叫做坐标向量.通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面， Oyz平面， Oxz平面。它们把空间分成八个部分
在空间选定一点O和一个单位正交基底{},以点O为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
探究一　空间直角坐标系的定义
x
y
z
O
①画轴 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
O
O
探究二　空间直角坐标系的画法
在单位正交基底{, j, k} 下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中
x叫做点A的横坐标, y叫做点A的纵坐标,
z叫做点A的竖坐标.
x
y
z
O
A(x,y,z)
i
j
k
在空间直角坐标系Oxyz中, , j, k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x+yj+zk.
Ⅶ
面
面
面
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅷ
点P所在卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
坐标符号
点P所在卦限 Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ
坐标符号
(+,+,+)
(-,+,+)
(-,-,+)
(+,-,+)
(+,+,-)
(-,+,-)
(-,-,-)
(+,-,-)
探究三　空间直角坐标系的八个卦限及坐标的符号
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a ，作OA= a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z) ，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a=(x,y,z).
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
x
y
z
O
i
j
k
A(x,y,z)
探究四　向量的坐标
(x,0,0)
(0,y,0)
(0,0,z)
(x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
探究五　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
（a,－b,c）
（－a,b,－c）
（a,－b,－c）
（a,b,－c）
（－a,－b,c）
（－a,b,c）
（－a,－b,－c）
探究六　在空间直角坐标系中，点对称问题
在空间直角坐标系中，点 和点 的中点坐标为:
在空间直角坐标系中，已知点 ，点 ，点
，则△ABC的重心坐标为:
探究七　空间中点坐标公式和重心坐标公式
√
√
×
×
【跟踪训练】
3、在空间坐标系Oxyz中， ( 分别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则AB的坐标为 ，点B的坐标为 。
4、点M（2,-3,-4）在坐标平面xOy、xOz、yOz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，
关于x轴的对称点为 ，
关于y轴的对称点为 ，
关于z轴的对称点为 ，
(1,-2,-3)
不确定
（2,-3,0）
（2,0,-4）
（0,-3,-4）
（-2, 3,4）
（2, 3, 4）
（-2,-3,4）
（-2,3,-4）
在坐标平面的正投影，缺哪个轴，则该值为0.
关于哪个轴对称，则该值不变，其余互为相反数.
【跟踪训练】
如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标.
解 (1)因为，所以，
因为，所以，
点在轴、轴、轴上的射影分别为, 且在坐标轴上的坐标分别为, 所以
点在轴、轴、轴上的射影分别为, 且在坐标轴上的坐标分别为, 所以.
【例题1】
解 (2)，
.
如图，在长方体中，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出四点的坐标；
(2)写出向量，，，的坐标.
【例题1】
5、如图一个正方体，若以为坐标原点，以棱，，所在的直线分别为轴、轴、轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系,则
①顶点， 的坐标分别为________________；
②棱中点的坐标为___________；
③正方形对角线的交点的坐标为___________；
④顶点关于轴对称的点的坐标为________________；
⑤顶点关于平面对称的点的坐标为________________；
⑥顶点关于点对称的点的坐标为________________.
i
j
O
k
x
y
z
A
B
C
D
C1
A1
B1
D1
(0,0,0)，(0,1,1)
【跟踪训练】
【例题2】
6、如图所示，在四棱锥D OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标．
A
B
C
O
D
M
z
x
y
法一：点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)．
【跟踪训练】
法二：
( )
()
归纳新知
归纳新知
1.点(2,3,4)关于Oxz平面的对称点为(　　)
A.(2,3,-4) B.(-2,3,4)
C.(2,-3,4) D.(-2,-3,4)
C
2.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的单位正交基底,并且=-i+j-k,则点B的坐标为(　　)
A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.不确定
D
3.已知在长方体ABCD-A1B1C1D中,向量a在基底{}下的坐标为(2,1,-3),则向量a在基底{}下的坐标为(　　)
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
B
4.在空间直角坐标系Oxyz中,点M(x,y,2 020)(x,y∈R)构成的集合是(　　)
A.一条直线
B.平行于平面Oxy的平面
C.两条直线
D.平行于平面Oxz的平面
B
5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是(　　)
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量的坐标与向量的坐标相同
D.向量的坐标与向量的坐标相同
D
课堂小结
总结归纳
1.这节课你收获了哪些知识？
2.你是如何获得的？
3.你在获得知识的过程中用到了哪些数学思想方法？
4.你还有哪些疑惑
必做题：完成教材第18~19页练习第1~4题.

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