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第一章 空间向量与立体几何
1.4.1 用空间向量研究直线、 平面的位置关系 第1课时
数学
学习目标
①能用向量语言表示点、直线、平面．
②理解与掌握直线的方向向量．
③理解与掌握平面的法向量．
问题1.你如何确定每一架无人机在空中的位置
问题2.多架无人机如何组成一条直线或一个平面
问题3.你会用空间向量法表示空中变幻的无人机吗
情境
几何中
点
线
面
向量中
？
？
？
点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.
因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．
如何用向量表示空间中的一个点？
（提示：向量的坐标表示）
O
P
如图，在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 来表示。
点→点+位置向量
点P 的位置向量
问题1
我们知道，空间中给定一个A和一个方向就能唯一确定一条直线l. 如何用向量表示直线l
（用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点）
A
B
追问1 点A与向量 能否确定直线AB上的任意一点P的位置？
P
过点A作 ，则A，B两点即可确定一条直线
点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得
追问2 假设O是空间任意一点，又可以怎样表示 ？
将 代入①式，得
O
空间直线的向量表示式
线→点+方向向量
问题2
回忆 在立体几何中，如何确定一个平面？
基本事实 不共线的三点确定一个平面.
（1）直线和直线外一点确定一个平面.
（2）两条相交直线确定一个平面.
（3）两条平行直线确定一个平面.

推论
问题3.1 一个定点和两个定方向能否确定一个平面 如何用向量表示这个平面
两条相交直线的方向向量
如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为 和 ，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一 的有序实数对(x, y)，
使得
α

O

P
这样，点O与向量 不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点. 这种表示在解决几何问题时有重要作用.
进一步地, 如图, 取定空间任意一点O, 可以得到, 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x, y, 使
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
α
P
C
O
A
B
空间平面ABC的向量表示式
一个定点和两个定方向能否确定一个平面 如何用向量表示这个平面
面→点+两个不共线向量
问题3.1
问题3.2 空间中一点与一个向量是否可以表示一个平面 如果可以，如何表示？
（给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.）
如图，直线l⊥α， 取直线l的方向向量 , 我们称向量 为平面α的法向量. 给定一个点A和一个向量 , 那么过点A,且以向量 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合
α
A
l

追问 如果另有一条直线m⊥α，在直线m上任取向量 ， 与 有什么关系
m
P

面→点+一个平面法向量
注意：1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都互相平行;
3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有
空间中的要素 向量表达式 备注
点
点+位置向量
直线
平面
点+直线方向向量
点+两个不共线向量
点+一个平面法向量
探究一　空间中的点、直线和平面的向量表达式
例 如图，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求直线CD的方向向量
(2)求平面BCC1B1的法向量;
(3)求平面MCA1的法向量.
A
C
D
B
C1
D1
B1
A1
M
分析：求直线的方向向量，就是找到一个向量，满足它所在的直线与已知直线平行或重合；求平面的法向量，就是要找到一个向量，满足它所在的直线与已知平面垂直.
问题4 如何求直线的方向向量与求平面的法向量？
A
C
D
B
C1
D1
B1
A1
M
AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点,求：(1) 直线CD的方向向量;
(2)平面BCC1B1的法向量.
解:
(1)依题意可知，D(0，0，0)，C(0，4，0)，所以直线CD的一个方向向量是=(0，4，0).
(2)因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有DC⊥平面BCC1B1，所以直线DC的方向向量就是平面BCC1B1的法向量，即=(0，4，0)是平面BCC1B1的一个法向量.
【例题】
A
C
D
B
C1
D1
B1
A1
M
AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点,求： (3)平面MCA1的法向量.
解:
(3)∵AB=4, BC=3, CC1=2, M是AB的中点,
∴M(3,2,0), C(0,4,0), A1(3,0,2).
设 =（x, y, z）是平面MCA1 的法向量，则
于是 =（2, 3, 3）是平面MCA1 的一个法向量.
取z =3, 则x=2, y=3.
待定系数法
【例题】
向量名称 图 示 求 法
直线的方向向量
平面的法向量
① 设平面α的法向量
③ 列方程组
④解方程组，得出结论.
① 找到l⊥α；
② l 的方向向量即为平面α的法向量.
① 取两点；
② 定向量.
② 求平面α内的两个不共线向量
探究一　直线的方向向量和平面的法向量的求法
1.已知向量a=(2,-1,3)和b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　)
A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1
A
2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,-1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,-2)
D
3.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是(　　)
A. B. C. D.
C
4.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1)写出直线BC的一个方向向量;
(2)设平面α经过点A,且是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.
解 (1)∵B(2,0,0),C(0,2,-2),
∴=(-2,2,-2),即(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.
(2)由题意,得=(x-2,y-2,z-2),
∵⊥平面α,AM α,
∴,
∴(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0.
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0,
化简,得x-y+z-2=0.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.空间中点、直线和平面的向量表示
2.求直线的方向向量
3.求平面的方向向量
必做：完成教材习题1.4第1,2题.
选做：空间向量由平面向量推广而来，空间向量与平面向量有许多共同的性质.如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不能把向量的概念推广到四维“空间”呢 它们是否也与平面向量、空间向量有共同的性质 课后搜索资料，展示你的成果.

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