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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第2课时
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
②能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的有关定理.
③能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.
问题 生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，
比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，
我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行.
1. 如何用空间向量表示空间中的点、直线与平面？
点
直线
平面
点+位置向量
点+直线方向向量
点+一个平面法向量
O
P
P
A
B
O
l
A
P
2. 如何求直线的方向向量与平面的法向量？
向量名称 图 示 求 法
直线的方向向量
平面的法向量
① 设平面α的法向量
③ 列方程组
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量.
① 找到l⊥α；
② l 的方向向量即为平面的法向量.
① 取两点；
② 定向量.
② 求平面α内的两个不共线向量
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢 首先来看平行的问题.
问题1 由直线与直线平行的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？
如图(1)所示，设 分别是直线l1, l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，所以
l1
l2
(1)
转化
直线
方向向量
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λ u2
问题2 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？
如图(2)所示，设 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量， 则
u
n
α
l
(2)
m
直线
方向向量
平面
法向量
转化
问题3 由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？
如图(3)所示，设 分别是平面α, β的法向量，则
α
(3)
β
P
m
n
直线
方向向量
平面
法向量
转化
1.若两条直线的方向向量分别是a=(3,-2,x),b=(-6,y,4),且这两条直线平行,则x=　　　　　,y=　　　　　.
答案 -2 4
2.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是(　　)
A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)
B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)
C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)
D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)
答案 D
解析 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.
例1　证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
证明 设直线a,b的方向向量分别为u,v,取平面α的法向量n.
∵a∥α,b∥α,∴u·n=0, n·v =0.
∵a β,b β,a∩b=P,
∴对任意一点Q∈β,存在x,y∈R,使得=xu+yv,
∴n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0,
∴n也是平面β的法向量.故α∥β.
例2　如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1
解 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(3,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(3,4,2),=(-3,4,0),=(-3,0,2),=(0,4,0),=(-3,0,-2).
设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,则有n·=0,n·=0,
即所以取x=4,则y=3,z=6.
所以n=(4,3,6)是平面ACD1的一个法向量.
因为∥,所以存在λ(0≤λ≤1)使得=λ=(-3λ,0,-2λ),
所以=(-3λ,4,-2λ).
令n·=0,得-12λ+12-12λ=0,解得λ=,此时A1P 平面ACD1,这样的点P存在.
所以,当,即P为B1C的中点时,∥平面ACD1.
例3　如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法1)设正方体的棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C'(0,1,1),
于是=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,1,0),=(0,1,1),
设平面AB'D'的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1⊥,n1⊥,即
令y1=1,则x1=-1,z1=-1,可得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
设平面BDC'的法向量为n2=(x2,y2,z2).
则n2⊥,n2⊥,即
令y2=1,则x2=-1,z2=-1,可得平面BDC'的一个法向量为n2=(-1,1,-1).
因为n1=n2,所以n1∥n2,故平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法2)由方法1知=(-1,0,1),=(-1,0,1),=(0,1,1),=(0,1,1),
所以,
即AD'∥BC',AB'∥DC',
所以AD'∥平面BDC',AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A,所以平面AB'D'∥平面BDC'.
(方法3)同方法1得平面AB'D'的一个法向量为n1=(-1,1,-1).
易知=(1,1,0),=(0,1,1).
因为n1·=(-1,1,-1)·(1,1,0)=0,
n1·=(-1,1,-1)·(0,1,1)=0,
所以n1也是平面BDC'的一个法向量,
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列各项中能使l∥α的是(　　)
A.a=(1,0,1),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
D
评价反馈
2.已知平面α的一个法向量是(2,-1,1),α∥β,则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　)
A.(4,2,-2) B.(2,0,4) C.(2,-1,-5) D.(4,-2,2)
D
3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(　　)
A.与坐标平面Oxy平行
B.与坐标平面Oyz平行
C.与坐标平面Oxz平行
D.与坐标平面Oyz相交
B
4.已知直线l∥平面α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为（1,,2）,则m=　　　　　.
-8
评价反馈
5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是平面AB1,平面A1C1的中心.求证:EF∥平面ACD1.
评价反馈
如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,0,2),
设n=(x,y,z)是平面ACD1的法向量,
则有n·=0,n·=0,即∴
取x=1,则y=1,z=1.于是n=(1,1,1).
E(2,1,1),F(1,1,2),=(-1,0,1),
则有n·=-1×1+0×1+1×1=0,
∴n⊥,∴EF∥平面ACD1.
线面的 位置关系 向量的 位置关系 向量的运算 向量运算的
坐标表示
其中， 分别是直线 的方向向量；
分别是平面 的法向量.
本节课主要学习了哪些知识内容？
课堂小结
x2=λx1,y2=λy1,z2=λz1
存在λ,使得u2=λu1
存在λ,使得n2=λn1
a2=λa1,b2=λb1,c2=λc1
（一）建系；
（二）设点；
（三）表示相关向量；
（四）进行向量运算；
（五）把向量运算的结果翻译为几何结论.
数学运算
直观想象
逻辑推理
请你总结用向量法解决几何问题的步骤.
课堂小结
必做：教材第31页练习第1,2题.
选做：教材习题1.4第3,4题.

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