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1.4. 1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①用向量语言描述线线、线面、面面垂直的关系．
②用向量语言证明直线、平面垂直的相关判定定理．
③用向量语言解决立体几何直线、平面垂直的相关问题．
1.如何用空间向量表示空间中的直线与平面？
2.上节课我们讨论了几种平行关系？用空间向量是如何解决的？
(1)线→点+方向向量
(2)平面→点+法向量
(1)线线平行：
(2)线面平行：
(3)面面平行：
类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；
直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；
平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
问题1 由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？
如图(1)所示，设直线l1, l2的方向向量分别为 则
α
(1)
l1
l2
问题2 由直线与平面垂直的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？
如图(2)所示， 设直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则
α
(2)
l
A
B
C
问题3 由平面与平面垂直的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？
如图(3)所示， 设平面α, β的法向量分别为 则
α
(3)
β
m
例1　如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.
证明 设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,
且=a+b-c,=b-a,=c.
∵AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,
∴a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=.
在平面BDD1B1上,取为基向量,则对于平面BDD1B1上任意一点P,存在唯一的有序实数对{λ,μ},使得=λ+μ.
∴=λ+μ
=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=λ(-a2+b2-b·c+a·c)+μ(a·c+b·c-c2)=λ（-1+1-）+μ（-1）=0.∴是平面BDD1B1的法向量.
∴直线A1C⊥平面BDD1B1.
用向量法证明线面垂直的步骤
（1）利用线线垂直：
①将直线的方向向量用坐标表示；
②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
③判断直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
（2）利用平面的法向量：
①将直线的方向向量用坐标表示；
②求出平面的法向量；
③判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知:如图,l⊥α,l β,求证:α⊥β.
证明:取直线l的方向向量u,平面β的法向量n.
因为l⊥α,所以u是平面α的法向量.
因为l β,而n是平面β的法向量,
所以u⊥n.所以α⊥β.
一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；
二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直.
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：
例3　如图,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证明 (方法1)设平面A1BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理,存在实数λ,μ,使m=λ+μ.
令=a,=b,=c,显然它们不共面,且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2.以它们为空间的一个基底,
则=a+c,a+b,=a-c,
于是m=λ+μ=λ(a+c)+μ（a+b）=（λ+μ）a+μb+λc,
则·m=(a-c)·[(λ+μ)a+μb+λc]=4(λ+μ)-2μ-4λ=0,
所以⊥m,即AB1与平面A1BD内的任意直线都垂直.
故AB1⊥平面A1BD.
(方法2)取棱BC的中点O,则AO⊥BC.取棱B1C1的中点O1,则OO1∥BB1.所以OO1⊥平面ABC.所以OO1⊥AO,OO1⊥BC.
因此以O为坐标原点,OB,OO1,OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
可得=(-1,2,),=(-2,1,0),=(1,2,-),
设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=2,z=-,所以n=(1,2,-).所以n=,则n∥.所以AB1⊥平面A1BD.
(方法3)建系过程同方法2.
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
可得=(-1,2,),=(-2,1,0),=(1,2,-),
由
得所以直线AB1⊥平面A1BD.
1.(多选题)下列命题中,真命题为(　　 )
A.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2 α∥β
B.若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β n1·n2=0
C.若n是平面α的法向量,a是直线l的方向向量,若l与平面α垂直,则n∥a
D.若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直
BCD
2.若直线l的方向向量a=(1,0,2),平面α的法向量n=(-2,0,-4),则(　　)
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
B
评价反馈
3.已知两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为a=(3λ+1,0,2λ),
b=(1,λ-1,λ),l1⊥l2,则λ的值为　　　　　.
-1或-
4.已知平面α与平面β垂直,平面α与平面β的法向量分别为u=(-1,0,5),v=(t,5,1),则t的值为　　　　　.
5
评价反馈
课堂小结
总结归纳
记u=(x,y,z),ui=(xi,yi,zi),i=1,2分别是直线l,li的方向向量;ni=(ai,bi,ci),i=1,2分别是平面α,β的法向量.
线面的位 置关系 向量的位 置关系 向量的 运算 向量的坐
标运算
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0
l⊥α u∥n1 存在λ,使得u=λn1 x=λa1,y=λb1,z=λc1
α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0 a1a2+b1b2+c1c2=0
必做：1.教材第33页练习第1,2,3题.
选做：2.教材习题1.4第5题.
必做：1.教材第33页练习第1,2,3题.
选做：2.教材习题1.4第5题.

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