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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时
第一章 空间向量与立体几何
数学
①理解运用向量运算求解空间距离问题的原理．
②能应用空间向量法解决距离问题．
③理解用空间向量解决立体几何中距离问题的步骤．
学习目标
问题1 :观察加油站的设计图, 大家找找里面蕴藏哪些距离问题，这些问题又可以抽象成哪些数学模型？
点、直线、平面
位置关系
度量问题
立体几何
平行
垂直
距离
夹角
空间向量
思考1：构成空间几何体的基本元素是点、线、面，这些几何元素能产生几种距离？
两点距
点线距
点面距
线线距
线面距
面面距
用
垂
直
刻
画
点到平面的距离
点到直线的距离
两平行线之间的距离
点到平面的距离
直线到平面的距离
两个平行平面间的距离
点到直线的距离
两点间的距离
1.空间两点之间的距离
已知空间中任意两点，
则
所以
思考2：如何利用空间向量解决这些距离问题呢？
空间中两点间距离
向量的模
空间中点线距、点面距
投影向量，勾股定理
例1　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, AD=1, AA1=3, ∠BAD=∠BAA1= ∠DAA1=60°, 求AC1的长.
解 设=a,=b,=c,
则由题意可知=a+b+c,
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+a·c)=4+1+9+2+3+6=25,
故AC1的长为5.
2.点到直线的距离
思考3：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.设，如何利用这些条件求点到直线的距离？
追问1：与有何关系？
是在直线上的投影向量，
且
追问2：.
.
追问3：若直线的方向向量为,如何求？
例2　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为　　　　　.
答案
解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
∴A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),=(1,-2,1),=(1,0,-2),
∴||=,
∴直线EF的单位方向向量u=(1,-2,1),
∴点A到直线EF的距离d=.
追问4：如何求两条平行直线之间的距离
求两条平行直线之间的距离,可在其中一条直线上任取一点,则两条平行直线间的距离就等于点到直线的距离.
两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解.
m
l
P

d
追问1：如图，已知平面外一点，如何用空间向量求点到平面的距离？
α
Q
d
P

3.点到平面的距离
思考4:类比点到直线距离公式的探究过程，你该如何研究点到面的距离公式？
例3 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.
解 如图,建立空间直角坐标系Cxyz.连接AC，DB.
由题设知C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0),D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2), =(2,-2,0), =(-2,-4,2),
设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z),
∵n⊥,n⊥,∴
∴n=（,1）,=(2,0,0),
∴d=故点B到平面EFG的距离为.
借助向量求点P到平面α的距离的步骤.
(1)求平面α的法向量;
(2)选择参考向量;
(3)求参考向量在法向量上的投影向量的长度.
思考5：类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？
点到平面的距离
4.直线与和它平行平面的距离
5.两个平行平面之间的距离
d=，其中n
是平面α的法向量
例4　如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
(1)证明 如图，连接AB1交A1B于点E,则E是AB1的中点,连接DE.因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE 平面A1BD,B1C 平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD.
(2)解 因为B1C∥平面A1BD,所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
所以
取z=1,则x=3,y=0,所以n=(3,0,1).
所以点B1到平面A1BD的距离为,
即直线B1C到平面A1BD的距离为.
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
（化为向量问题）
（进行向量运算）
（回到图形）
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
1.已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为（ ）
D
评价反馈
评价反馈
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,问:线段AD上是否存在一点Q,使得它到平面PCD的距离为 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
解 存在.取AD的中点O,在△PAD中,
∵PA=PD,∴PO⊥AD.
又侧面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系,
易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
则=(-1,0,1),=(-1,1,0).
评价反馈
假设存在点Q,且它到平面PCD的距离为,
设Q(0,y,0)(-1≤y≤1),则=(-1,y,0).
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),
则即x0=y0=z0,取x0=1,
则平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
∴点Q到平面PCD的距离d=,∴y=-或y=(舍去).
此时=（0,,0）,=（0,,0）,则||=,||=.
∴存在点Q满足题意,此时.
课堂小结
本节课研究的主要内容:
1.空间中的距离问题.
2.投影向量、勾股定理、向量数量积运算相结合.
3.距离的向量计算公式.
本节课我们采用的研究方法:
必做：教材第35页练习第1,2,3题.

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