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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①理解两条异面直线所成的角与两条异面直线的方向向量的夹角之间的关系,会用向量方法求两条异面直线所成角的大小.
②理解直线与平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角的大小.
③理解两个平面的夹角与两个平面的法向量的夹角之间的关系,会用向量方法求两个平面夹角的大小.
问题：如何利用空间向量研究夹角问题？
直线与直线所成的角
直线与平面所成的角
平面与平面的夹角
直线方向向量的夹角
直线方向向量与平面法向量的夹角
平面法向量的夹角
①线线角
问题1：若直线a与b的方向向量分别为，，则直线a与b所成角θ与向量夹角<, >的区别与联系是什么？
判断：两直线所成角就是它们的方向向量所成角。
本质：两条直线所成的角就是它们的方向向量的夹角或其补角.
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
A
C
D
B
M
N
向量与的夹角
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
基底法
几何法
坐标法

①线线角
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？
基底法
几何法
坐标法

解：取的中点，过作⊥平面，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
请同学们课后完成！
,
.
例1 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
向量与的夹角
将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.
途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.
实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底.
用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法：
化为向量问题
进行向量运算
转化为求两条直线，的方向向量，的夹角
计算的值
回到图形问题
两条直线，夹角的余弦值
②线面角
问题2：若直线a的方向向量分别为，平面α的法向量为，则直线a与平面α所成角θ与向量夹角<,>的区别与联系是什么？
基底法
几何法
坐标法

向量与平面的法向量的夹角
所以直线与平面所成的角正弦值为
因为
例1如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线CN平面所成角的正弦值.
用空间向量求直线与平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
转化为求直线的方向向量与平面的法向量的夹角
计算的值
直线与平面所成角的正弦值
③面面角
(1)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
①记作二面角α-l-β、α-AB-β、P-l-Q.
②二面角θ的取值范围是[0，π]
(2)平面与平面的夹角的定义：平面α与平面β相交所形成的4个二面角中，把其中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
③面面角
例2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1，BB1上，A1Q= 2AQ，BR= 2RB1. 求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
A
C
B
A1
C1
B1
Q
P
R
x
y
z
用空间向量求平面与平面角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
转化为法向量的夹角
计算的值
根据,求出的夹角
1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　)
A. B. C. D.
D
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1C1,AB的中点,则直线A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
A
评价反馈
3.已知正方形ABCD所在平面外有一点P,PA⊥平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面PCD的夹角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
B
4.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为　　　　　.
评价反馈
5.如图,已知正方形ABCD和正方形DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点,若平面ABCD⊥平面DCEF,求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值.
评价反馈
解 设正方形的边长为2,以D为原点,DC,DF,DA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.
则点D(0,0,0),A(0,0,2),M(1,0,2),N(0,1,0),
=(-1,1,-2),=(0,0,2).易知为平面DCEF的一个法向量,cos<>==-.
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值|cos<>|=.
评价反馈
1.这节课你收获了哪些知识？
2.你是如何获得的？
3.你在获得知识的过程中用到了哪些数学思想方法？
4.你还有哪些疑惑？
课堂小结
小结：空间角的向量求法
设直线a与b的方向向量分别为，，平面α与平面β的法向量分别为，
而定)
求法：求两向量夹角的余弦值→设空间角为θ→下结论(取绝对值或定正负)
必做：教材习题1.4第8,9,10题.

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