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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 第3课时
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①掌握用向量方法解决立体几何问题的思想和一般步骤．
②理解如何求解直线上的相关动点坐标．
③综合运用“基底法”“坐标法”“综合法”解决立体几何问题．
学习重难点
重点：
如何让立体几何问题合理转化为向量问题来进行求解．
难点：
解决立体几何问题时,如何运用综合法和向量法．
立体几何
空间向量
点、直线、平面
位置关系
度量问题
垂直
平行
距离
角度
前面我们学习了如何用向量方法求解立体几何中的距离和角度问题.这节课我们应用这些知识解决综合性较强的问题.
解决立体几何问题时,如何运用综合法和向量法
某种礼物降落伞的示意图如图所示,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的垂线的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
思考:
1.降落伞在匀速下落的过程中，8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系？
2.降落伞在匀速下落的过程中，8根绳子拉力的总和与礼物重力有什么关系？
3.如何用向量方法解决这个问题？
8根绳子的拉力总和与礼物重力的关系是大小相等，方向相反.
【例题1】
解：
∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N.
某种礼物降落伞的示意图如图所示,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的垂线的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)．
【例题1】
又降落伞匀速下降，
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1) 求证: PA//平面EDB;
(2) 求证: PB⊥平面EFD;
(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
B
C
D
A
P
E
F
x
y
z
G
解：
【例题2】
(1)证明 如图,连接AC,交BD于点G,连接EG,由正方形ABCD可得AG=GC.
因为E是PC的中点,
所以PA∥EG,
又因为PA 平面EDB,EG 平面EDB,
所以PA∥平面EDB.
B
C
D
A
P
E
F
x
y
z
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(2) 求证: PB⊥平面EFD;
【例题2】
依题意得P(0,0,1),B(1,1,0),E(0,,),则() =(1,1,-1),()=(0,).
故=0+-=0.所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,EF 平面EFD,DE 平面EFD,所以PB⊥平面EFD.
B
C
D
A
P
E
F
x
y
z
(3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
【例题2】
(3)解 已知PB⊥EF,由(2)可知PB⊥DF,故∠EFD是平面CPB与平面PBD的夹角.
设点F的坐标为(x,y,z),则=(x,y,z-1).因为 =k,
所以(x,y,z-1)=k(1,1,-1)=(k,k,-k),
即x=k,y=k,z=-k+1,
由（2）可知·=(1,1,-1)·(k,k,1-k)=3k-1=0,所以k=,点F的坐标为(,,),又点E的坐标为(0,),所以(,)，所以
即cos∠EFD=
所以∠EFD=60°,
即平面CPB与平面PBD的夹角大小为60°.
【例题3】
如图,二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,求平面α与平面β的夹角.
解 由题图可知=++,
所以|=+++2·+2·+2·
因为⊥,⊥,
所以·=0,·=0,
因为AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,
所以68=36+16+64+0+0+2·6·8·cos<,>,
所以平面α与平面β的夹角是60°.
即cos<>=-,
所以<>=120°,
即<,>=60°,
解 由图可知=++,
则||2=2+2+2+2·+2· +2·,
于是有1=8+1+8+(-2)+0+2·8·cos< ,>,可得cos< >=-,
所以异面直线AN与CM所成角的余弦值是.
1.通过本节的学习，向量方法解决立体几何问题的基本步骤是什么？你能用框图表示吗？
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
2.解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各自的特点吗？
综合法以逻辑推理作为工具解决问题；
向量法利用向量的概念及其运算解决问题；
坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用．
对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法．
1.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),有下列结论:①||=6;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④.其中正确的结论有(　　)
A.②④ B.②③ C.①③ D.①②
B
评价反馈
2.如图,ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足,则点P到AB的距离为(　　)
A. B. C. D.
C
评价反馈
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为AB的中点,则点B到平面D1EC的距离为　　　　　.
4.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为（1,,2）,且l⊥α,则m=　　　　　.
4
评价反馈
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M和N分别是B1D1和B1C1的中点,
则异面直线AM和CN所成角的余弦值为　　　　　.
评价反馈
1.通过这节课的学习,我们对立体几何中的向量法是否有了新的认识
(1)通过对空间立体几何问题的分析研究,寻找对应的向量关系来解决;
(2)找到对应的向量关系后,再进行空间向量的运算得到向量关系的结果;
(3)再根据向量关系的结果,得出空间立体几何的几何意义,从而解决问题.
以上就是利用向量法解决立体几何问题的步骤.
2.相信通过这节课的学习,我们已经提高了应用向量知识来解决综合性较强的立体几何问题的能力.
(1)特别是对直线上的动点研究及其运算方法;
(2)就是利用四条线段的长及相邻两边夹角大小来求异面直线所成角的大小.
课堂小结
必做：1.教材习题1.4第14,16,18题.

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