资源简介

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6.5
三角计算的应用
我们本单元学习过的重要公式
回顾
三角形面积公式
正弦定理
余弦定理
建筑和工程
物理和天文学
电子技术
03
02
01
三角计算在许多领域中都有广泛的应用
同学们，三角计算不仅仅是数学课本上的理论，它在我们的日常生活中扮演着重要的角色。今天，我们就来一起探索三角计算的奥秘！
问题
解决生活中的数学问题，一般分为哪些步骤呢？
理解问题
确定已知信息和未知信息
建立数学模型
运用公式求解
01
02
03
04
为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径为10m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积．
分析情境1
“内接于扇形”意味着矩形的四个顶点都位于扇形的边界上。
矩形面积=边长×边长
在日常生活中，我们的家庭用电都是交流电(如图) ．若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用
U=220sin来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻．
分析情境2
开始时的电压是指当t=0 时的电压值。
电压值重复出现一次的时间间隔就是交流电的周期。
求正弦型函数的振幅和取最大值时t的取值。
如图所示,在河的岸边选定两点A、B，对岸选定点C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m ．试根据测量结果，求河的宽度．
分析情境3
求高CD.
高铁隧道能缩短隔山相望的两地之间的路程，并且避免大坡道，我国的高铁路线中有很多隧道．某隧道开凿前，需测量隧道两端的距离．如图所示，为测量D、E之间的距离，在山的一侧选取点C，并测得CA=500m，CB=800m，∠ACB=60°．又测得点A、B到隊道口的距离AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算隊道DE的长．
分析情境4
已知AD和BE
DE=AB AD BE
求AB.
解：
在一块半径为10m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积．
设扇形圆心为O，矩形为 ABCD，如图所示．
连接 OD，记∠COD=θ，则在Rt△COD中，CD=10sinθ，OC=10cosθ ．
在Rt△AOB中，
分析情境1
解：
在一块半径为10m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积．
解：
在一块半径为10m，圆心角为的扇形空地上修建一个矩形花坛．矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积．
答：按照∠COD = 设计，可使得花坛的面积最大，最大面积为 m .
解：
若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用U=220sin来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻．
（1）取t=0，得开始时的电压U=220sin
答：该交流电开始时的电压为110 V
（2）由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为T= = 0.02(s)
答：电压值经过0.02s重复出现.
分析情境2
解：
若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用U=220sin来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次达到最大值的时刻．
（3）当sin=1时，得电压的最大值Umax
此时， = 2kπ+(k为非负数)
因此，电压第一次达到最大值的时刻为s
答：电压的最大值是，s时第一次达到最大值.
当k=0时， = 解得t= (s)
解：
∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m ．求河的宽度．
在△ABC中，作CD⊥AB，交AB于点D．
在Rt△CDB中，sin∠CBD=
又=+)=sin 45°cos+cos 45°sin
45°
75°
分析情境3
解：
∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m ．求河的宽度．
在Rt△CDB中，sin∠CBD=
又=+)=sin 45°cos+cos 45°sin
45°
75°
因此，CD=BCsin75°=40 × =20(+3)(m) ．
答：河宽约为20(+3)m.
解：
CA=500m，CB=800m，∠ACB=60°．AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算DE的长．
在△ABC 中，CA=500，CB=800， ∠ACB=60°．
根据余弦定理可得，
AB =AC +BC -2·AC·BC cos∠ACB
= 500 +800 -2×500×800×cos60°
= 490000 ．
因此，AB=700(m) ．
于是，DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m) ．
答：隧道DE 的长为 280m.
分析情境4
对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案．例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果．学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题．
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