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2.1 代数式的概念
4.3.1 角与角的大小比较
第四章 图形的认识
1. 理解角的定义及相关概念，认识几种特殊的角，会用不同的方式表示角；
2. 掌握角的大小比较方法，知道角的平分线的定义及几何语言表示；
3. 经历观察、探究、动手操作角与角的大小比较过程，培养学生的观察、归纳、猜测、验证等能力.
在小学已经认识角，观察下图从中抽象出一些角.这些角都有什么共同特征?描述一下角的定义.
由具有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
探究一：角的定义和表示方法
活动 根据情境回答下面的问题：
问题1：将一条射线绕着起始端点旋转，会得到一个怎样的图形呢?结合这一过程，尝试给角的下一个定义.
B
O
A
把一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针(或顺时针)旋转到另一个位置时所成的图形称为角.
(动态定义)
B
O
A
射线原来所在的位置 OA
旋转后的位置 OB
射线的端点 O
角的______
角的________
角的________
顶点
始边
终边
角的边
从始边旋转到终边所扫过的区域
角的________
内部
角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的大小决定.
始边
终边
角的内部
问题2：阅读教材160面，填空.
顶点
根据角的动态定义，角的大小由什么决定?
1.判断正误．
(1)有公共端点的两条射线叫做角．(　　)
(2)两条射线组成的图形叫做角．(　　)
(3)角的大小与角画出的两边的长短无关．(　　)
(4)由一条射线绕一点旋转而形成的图形叫做角．(　　)
×
×
√
×
2.下列图形哪些是角?并说出它们是什么角?
√
×
锐角
直角
钝角
√
×
×
√
问题3：射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成多大的角度?继续旋转，OA 和 OB 重合时，又形成什么角度?
O
A
B
O
A
(B)
180° 的角被称为平角
360°的角被称为周角
O
A
B
(B)
当射线绕端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫作平角；当射线绕端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫作周角.
问题4：阅读教材161面，判断下列角的表示方法是否正确并说明理由.
A
O
B
α
∠AOB
α
β
O
∠α
∠O
A
B
∠B
√
×
角的顶点字母必须写在中间
√
×
唯有在顶点处只有一个角的情况，才可只用顶点的一个字母来记角.
3.下列四个图中，能用 ∠1、∠AOB、∠O 三种方法表示同一个角的是 ( )
B
O
A
1
O
B
A
1
1
O
B
A
B
A
O
B
1
A B C D
活动1 根据下列情境回答问题
探究二：比较角的大小
问题1：类比线段长短的比较，有哪些方法可以比较两个角的大小?
度量法
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
用量角器分别量出两个角的度数，然后比较大小.
叠合法
问题3：比较角的大小，归纳此时射线 O'C与射线OA的相对位置关系.
先将∠AOB移动，使它的顶点O与∠CO'D的顶点O'重合，并且使∠CO'D的一条边O'D与∠AOB的一条边OB重合，边OA，O'C都在OB的同侧.
问题2：回顾用叠合法比较线段长短时的步骤，小组讨论试着说说用叠合法比较角的大小时的具体步骤有哪些?
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
叠合法
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
O'
C
D
O
A
B
2. 若射线 O'C 与射线 OA 重合，那∠AOB___∠DO'C.
1. 若射线 O'C 在∠AOB 内部，那∠AOB___∠DO'C.
3. 若射线 O'C 在∠AOB外部，那∠AOB___∠DO'C.
=
>
<
这时可能出现的情形如下：
如图，设画出的两角分别为∠ABC，∠DEF.
1.分别以两角的顶点 B，E 为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两边分别相交于点M，N 及点 P，Q.
2.再将圆规尖移至点 M 处，使另一脚落在点 N 处，
3.在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处.
尺规作图法
如图(1),若另一脚可与点Q重合,则∠ABC=∠DEF;
如图(2),若另一脚落在∠DEF内部,则∠ABC<∠DEF;
如图(3),若另一脚落在∠DEF外部,则∠ABC>∠DEF.
活动2 在纸上画一个角然后把角的两边对折，展开后发现折痕把角分成了两个角，这两个角有什么关系呢?它们和原来的角有着怎样的数量关系?
A
O
B
C
∠AOC=∠BOC
∠AOC+∠BOC=∠AOB
从一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.
如图，若OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=∠BOC=12∠AOB.
?
如图，OC 是∠AOB 的平分线，OD 是∠BOC 的平分线，那么下列各式中正确的是 ( )
A
O
A
B
C
D
1.比较角的大小的三种方法：度量法、叠合法、尺规作图法.
2.角平分线必须同时满足的三个条件：
(1)是从角的顶点引出的射线；
(2)在角的内部；
(3)将已知角平分.
3.角的平分线把角分成了两个相等的角，因此它是判断角的相等关系或倍分关系的重要依据之一.
角与角的大小比较
角的相关概念和表示方法
角平分线
度量法
尺规作图法
角的大小比较
叠合法
1. 下列语句正确的是 ( )
A. 两条直线相交，组成的图形叫做角
B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角
C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角
D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
D
2. 下列说法不正确的是 ( )
A. ∠AOB 的顶点是 O
B. 射线 BO，AO 分别是∠AOB 的两条边
C. ∠AOB 的边是两条射线
D. ∠AOB 与∠BOA 表示同一个角
B
3. 判断
(1) 直线是一个平角 ( )
(2) 如图①，点 P 不在 ∠AOB 的内部 ( )
(3) 如图②， ∠ABC 与∠DBE 是同一个角 ( )
A
O
B
·
P
D
A
B
C
·
E
·
×
×
√
图① 图②
4.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠BOD，若∠BOC=34°，则∠AOD等于( ).
A.34°
B.68°
C.144°
D.112°
D
5.如图，写出图中符合下列条件的角.
(1)能用一个大写字母表示的角;
(2)以B为顶点的角.
B
A
D
C
解：(1)因为图中以A，C 为顶点的角分别
只有一个，所以能用一个大写字母表示的
角为∠A，∠C.
(2)以B为顶点的角有3个，分别为∠ABD，∠DBC，∠ABC.
6.如图，已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是( )
A. ∠AOC=∠BOC
B. ∠AOB =2∠AOC
C. ∠AOC + ∠COB= ∠AOB
D. 2∠BOC=∠AOB
C
7.如图，O 是直线AB上一点，∠AOC =45°，OE 是∠BOC内部一条射线，且OF平分∠AOE.
(1)若∠COF =35°，求∠EOB的度数;
解：因为∠AOC =45°，∠COF =35°，
所以∠AOF= ∠AOC +∠COF=80°.
因为OF平分∠AOE，所以∠AOE=2∠AOF=160°，
所以∠EOB =∠180°- ∠AOE=20°.
7.如图，O 是直线AB上一点，∠AOC =45°，OE 是∠BOC内部一条射线，且OF平分∠AOE.
(2)若∠EOB =40°，求∠COF 的度数;
解：因为∠EOB =40°,
所以∠AOE=180°?40°=140°.
因为OF平分∠AOE，所以∠AOF=∠EOF=70°，
所以∠COF=∠AOF - ∠AOC=25°

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