资源简介

2.1 代数式的概念
4.3.2 课时2 余角和补角
第四章 图形的认识
1.理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能用规范的几何语言进行表述；
2.会运用余角和补角的性质解决简单的几何计算和证明问题；
3.通过观察、操作、思考、讨论等活动，经历余角和补角概念及性质的探究过程，培养学生的观察能力、动手能力、归纳总结能力和逻辑推理能力.
如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
1.∠1和∠2有什么数量关系？
2.∠3和∠4有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
当两个角之和等于特殊值（90° 或 180°）时，它们具有重要的性质.
探究一：了解余角和补角的概念
活动1 测量下面的角，小组讨论回答下列问题
∠1 = 30°,∠2 = 60°
∠3 = 120°,∠4 = 60°
问题1：a组、b组这两个角的度数之和有什么特点？
∠1 +∠2 = 90°.∠3 +∠4 = 180°.
(a)
(b)
1
如果两个角的和等于一个直角（90°），那么就说这两个角互为余角（简称互余），也说其中一个角是另一个角的余角.
如图，可以说 ∠1 是 ∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和 ∠2互余.
2
反之也成立吗？
几何语言：因为∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互余，
如果两个角的和等于一个平角（180°），那么就说这两个角互为补角（简称互补），也说其中一个角是另一个角的补角.
如图，可以说 ∠3 是 ∠4 的补角，或 ∠4是 ∠3 的补角，或 ∠3 和 ∠4 互补.
4
3
几何语言：因为∠3+∠4=180°，所以∠3与∠4互补.
反之也成立吗？
问题2：根据定义，思考一个角可以单独称为余角或补角吗？为什么？
“互余”“互补” 是两个角之间的数量关系.
问题3：当角不相邻或不在同一图形中时，两个角的度数之和等于90°时，这两个角互为余角吗？同理和为180°时，互为补角吗？
互余、互补反映的是数量关系，与位置无关.
活动2 余角和补角概念的辨析
问题4：根据辨析过程，思考余角和补角概念的关键点是什么？.
两个角之间的数量关系.
和为特殊角（90°、180°）.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°
45°
60°
77°
81°15′
x°（0＜x＜90）
85°
175°
45°
135°
30°
120°
13°
103°
8°45′
98°45′
(90-x)°
(180-x)°
锐角的补角比它的余角大______.
90°
1.填表：
(1) 一个角的余角必为锐角.
(2) 一个角的补角必为钝角.
(3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
(4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
(5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角.
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
√
×
×
2.判断：
（1）余角（补角）是成对出现的；
（2）两个角互余（互补）是两个角之间的数量关系，只与它们的度数有关，与它们的位置无关；
（3）若三个角的和等于90°或180°，不能称为互余或互补；
（4）特别地，当互补的两个角有公共顶点和公共边时，又称这两个角互为邻补角.
探究二：推导余角和补角的性质
问题1:如图 (a)，∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补.∠2 与∠3有什么大小关系？图(b)∠4与∠5互余，∠4与∠6互余，∠5与∠6又有什么大小关系呢？为什么？小组讨论，试着用等式的性质说明理由.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
等量代换是指“如果a=b且c=b,那么a=c”.
同理，∠5 =∠6（等量代换）.
活动 观察下图，回答问题
问题2:根据推导过程，试着提炼出文字表达.
同角 (或等角) 的余角相等.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°
所以∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
同角 (或等角) 的余角相等.
由于 ∠4 +∠5 = 90°，∠4 +∠6 = 90°
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠5 =∠6（等量代换）.
4.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
（1）图中有哪几对互余的角？
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
解：（1）因为∠ACB=90°，所以∠1+∠2=90°，∠A+∠B=90°，
又因为∠CDB=90°，所以∠ADB=180°-∠CDB=90°，∠1+∠B=90°，所以∠A+∠2=90°，
故互余的有：∠1和∠2，∠A和∠B，∠1和∠B，∠A和∠2；
（2）根据同角的余角相等可知：∠A=∠1，∠2=∠B.
A
C
D
1
2
B
活动1 如图 ，∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的平分线，∠AOB=29.66°，求∠COD的度数.
探究三：余角和补角的性质的应用
29.66°
60.34°
30.17°
解：因为∠AOB与∠BOD互为余角，
所以∠BOD = 90°-∠AOB
= 90°-29.66°= 60.34°.
又因为OC是∠BOD的平分线，
所以∠COD = ∠BOD = 12 × 60. 34° = 30. 17°.
因此，∠COD的度数为30. 17°.
?
活动2 若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，补角为(180-x)°，
依题意有：180-x=4(90-x)，
解得x=60，
故这个角为60°.
涉及到倍数关系，可借助方程求解.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
互余
互补
两角间的
数量关系
对应的图形
性质
∠1+∠2=90°
(90°-∠1=∠2)
∠3+∠4=180°
(180°-∠3=∠4)
同角（或等角）
的余角相等
同角（或等角）
的补角相等
1.若∠A=48°，则∠A的补角的度数为( ).
A. 42° B. 52° C. 132° D. 142°
C
2.已知∠1和∠2互余，且∠1 =40°17'，则∠2 的补角是( ).
A.49°43' B.80°17' C.130°17' D.140°43'
C
3.下列说法正确的有 (　　)
①锐角的余角是锐角，锐角的补角是锐角；
②直角没有补角；
③钝角没有余角，钝角的补角是锐角；
④直角的补角还是直角；
⑤一个角的补角与它的余角的差为90°；
⑥两个角相等，它们的补角也相等．
A．3个　　B．4个　　C．5个　　D．6个
B
4.把一副三角板按如图所示方式放置在一起，∠α和∠β的关系是( )
A. 互余
B. 互补
C. 差是3°
D. 相等
D
5.下列推理错误的是( ).
A.因为∠1=∠2，∠2= ∠3，所以∠1=∠3
B.因为∠1= ∠2，∠1+∠2= ∠3，所以∠3 =2∠1
C.因为∠1+∠2=2∠3，所以∠1=∠3，∠2=∠3
D.因为∠1 与∠2 互补，∠1= ∠3，所以∠2与∠3 互补
C
6.下列说法中，正确的有________．(填序号)
①钝角与锐角互补；
②∠α的余角是90°－∠α；
③∠β的补角是180°－∠β；
④若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．
②③
7. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 (180－x)°，
余角是 (90－x)°.
根据题意，得 180－x = 4(90－x).
解得 x = 60.
答：这个角是 60°.
8.如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，
所以∠AOC=180°-x．
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
所以12(180°-x)-12x=40 °，解得x=50°，
则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
?
O
D
A
B
C
N
M
9.如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起.
[观察分析]
(1)①若DCE =35°，则∠ACB=________;
②若∠ACB =150°，则∠DCE= _________.
145°
30°
9.[猜想探究]
(2)请你猜想∠ACB与∠DCE有何关系，并说明理由.
解:(2) ∠ACB 与∠DCE 互补.理由如下:
因为∠ACE+ ∠DCE =90°，∠DCE+ ∠DCB =90°，
所以∠ACE + ∠DCE +∠DCE + ∠DCB =180°，
因为∠ACE + ∠DCE +∠DCB=∠ACB，
所以∠ACB + ∠DCE =180°，
即∠ACB 与∠DCE 互补.

展开更多......

收起↑