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第4章 三角形
4.4 尺规作图
4.4 第2课时 尺规作图(2)
1.掌握基本尺规作图：已知两角及其夹边作三角形.
2.掌握基本尺规作图：已知两角及其中一角的对边作三角形.
3.掌握基本尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
想一想：如图，利用不同的工具，你能将一个角从一个位置移到另一个位置吗？有哪些办法？
方法：平移法、折叠法等.
能用尺规作图得到吗？
如图，已知∠α，∠β 和线段 a .
求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
例1 已知两角及其夹边作三角形.
提示：先作夹边，再两角.
A
作法：
(1) 作线段 BC = a；
α
β
E
D
C
B
思考：这里用了哪些作图方法?
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 BC 的同侧，分别作
∠DBC =∠α， ∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于点 A.
议一议：上述例题中作出的△ABC 唯一吗？试说明理由.
A
α
β
E
D
C
B
作出的△ABC 唯一.
理由如下：
因为作图过程中，确定了BC = a，
∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，
符合三角形全等判定的角边角条件，满足该条件的三角形都全等，即形状和大小都一样，所以△ABC 是唯一的.
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学
作出的三角形能完全重合吗？为什么？
α
β
a
做一做：
(1) 如图，已知∠α，∠β 和线段 a.
求作△ABC，使∠ABC =∠a，
∠ACB =∠β，AB = a.
α
β
a
作法：
(1) 作线段 AB = a；
则△ABC 为所求作的三角形.
(2) 在 AB 的同侧，分别作∠ABD =∠α， ∠BAE = 180°－∠β－∠α，
BD 与 AE 相交于点 C.
C
α
E
D
A
B
C
α
E
D
A
B
理由：根据三角形全等判定定理中的角角边.
在作出的△ABC 中，都有∠ABC =∠α，∠ACB =∠β，AB = a. 两角和其中角的对边分别相等的两个三角形全等.
所以△ABC 是唯一的.
(2) 你根据 (1) 作出的△ABC 与其他同学作出的三角形能完全重合吗？为什么？
能完全重合.
例2 过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线 AB，点 P 不在 AB 上.
求作过点 P 且与直线 AB 平行的直线.
A
B
P
提示：根据以下七年级学过的平移三角板画平行线的过程，尝试用尺规画一画.
已知:直线 l 和直线外一点 P.
求作:直线 l 的平行线,使它经过点P.
P
A
B
1
????
?
????'
?
2
一放:把三角尺的一边放在已知直线????上；
?
二靠:把直尺紧靠在三角尺的一条直角边上;
三移:沿直尺移动三角尺,使三角尺的边经过已知点;
四画:沿三角尺过已知点画直线????'.
?
例2 过直线外一点作这条直线的平行线.
如图，已知直线 AB，点 P 不在 AB 上.
求作过点 P 且与直线 AB 平行的直线.
分析：受利用平移三角板画平行线的启发，可先过直线外一点 P 画一条直线与直线 AB 相交，构造出∠α，再以点 P 为顶点作∠α 的同位角，使它等于∠α，最后根据“同位角相等，两直线平行”.
可知：在点 P 处所作的角的另一边所在直线即为所求作的平行线.
A
B
P
(1) 如图，过点 P 作直线 EF，与直线 AB 相交于点 M；
A
B
P
M
E
F
(2) 以点 M 为圆心，以小于 MP 的长度为半径画圆弧，交 MB 于点 G，交 MF 于点 H；
(3) 以点 P 为圆心，以 MG (或MH )的长为半径画圆弧，交 PF 于点 C；
(4) 以点 C 为圆心，以 HG 的长为半径画圆弧，与前弧交于点 D；
C
D
作法与示范：
H
G
(5) 连接 PD，则直线 PD 为所求作的平行线.
1. 下列尺规作图能得到平行线的是 .(填序号)
①
解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意.
②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意.
③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意.
②
③
①②③
2．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A．已知三边
B．已知两边及夹角
C．已知两角及夹边
D．已知两边及其中一边的对角
D
3.如图，已知线段 a，b，求作一个直角三角形，使它的两直角边分别为 a 和 b.
解：如图所示，
① 作∠MCN = 90°；
② 在射线 CM 上截取 CA = b，
在射线 CN 上截取 CB = a；
③ 连接AB，则△ABC 就是所求
作的三角形.
b
a
C
M
A
B
N
·
a
b
4. 如图，已知线段 a 和锐角∠α，求作一个 Rt△ABC，使∠ACB = 90°，∠B =∠α，BC = a.
解：如图所示，
① 作∠MCN = 90°；
② 在射线 CM 上截取 CB = a；
③ 以 B 为顶点，BC 为一边，
在 CM 的上侧作∠CBA = ∠α，
交 CN 于 A.
则△ABC 就是所求作的三角形.
M
N
C
B
A
·
尺规作图
已知两角及其中一角的对边作三角形，依据：AAS
已知两角及其夹边作三角形，依据:“ASA”
过直线外一点作这条直线的平行线

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