资源简介

浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025九上·金东期末）若，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∴此选项符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”依次判断即可求解．
2．（2025九上·金东期末）将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
3．（2025九上·金东期末）下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，是一列两个相邻的正方形．
故答案为：D．
【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形并结合各选项即可判断求解.
4．（2025九上·金东期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故答案为：D．
【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
5．（2025九上·金东期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（　　）
A．小明夺冠的可能性较大
B．小明夺冠的可能性较小
C．小明肯定会赢
D．若小明比赛10局，他一定会赢8局
【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
C、小明赢的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据概率的意义分别对各选项进行判断即可求解．
6．（2025九上·金东期末）在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如下图所示，
中，，，，
，
．
故答案为：D ．
【分析】先用勾股定理求出BC的值，然后根据锐角三角函数sin∠A=可求解．
7．（2025九上·金东期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角互补可求得的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
8．（2025九上·金东期末）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(　　)
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵由题意可得AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴
∴
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：B．
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证△DAB∽△DEF，再由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解．
9．（2025九上·金东期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，
∴a、b异号，即，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴，
∴，
∴结论正确；
②由图知：当时，函数值小于0，
∴，
∴结论正确；
③∵抛物线与轴交于点和点，
∴抛物线的对称轴，
∴，即，
∴结论正确；
④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．
∴结论错误；
综上可得，正确的有①②③，功3个．
故答案为：C．
【分析】①根据抛物线的开口向下可得a＜0，根据抛物线的对称轴在轴右侧可得a、b异号，由抛物线交于y轴的正半轴可得，然后由有理数的乘法的符号法则可判断求解；
②观察图象可知：当时，函数值小于0，把x=-2代入函数解析式计算可判断求解；
③根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得；抛物线的对称轴，整理可判断求解；
④ 根据③的结论并结合抛物线的对称轴可判断求解.
10．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·金东期末）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
【分析】根据概率公式可得：概率等于所求情况数与总情况数之比，结合已知即可求解．
12．（2025九上·金东期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为　 　cm2.
【答案】40π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π
故答案为40π.
【分析】圆锥的侧面积=×底面周长×母线长，代入相应数据计算即可.
13．（2025九上·金东期末）如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵、是的两条切线，切点分别为，
∴，
，
，
在四边形中，
．
故答案为：．
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后用圆周角定理可得∠BOC=2∠D，再根据四边形内角和等于360°即可求解．
14．（2025九上·金东期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点可得，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解．
15．（2025九上·金东期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段　 　，阴影部分的面积为　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于点，
为等腰直角三角形，，
，，，
绕点顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
S．
故答案为：，．
【分析】连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得，，用勾股定理求得，由旋转的性质得到，，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，再根据阴影部分的面积的构成S阴影计算即可求解．
16．（2025九上·金东期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为　 　；
（2）若，则的取值范围为　 　．
【答案】4；
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）若，则点关于直线对称，
∴，
故答案为：4；
（2），
图象开口向上，与轴的交点坐标为，
图象有点，点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题意可知点A、B关于直线对称，由抛物线的对称轴的特征可求解；
（2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，然后根据函数的性质即可判断求解．
三、简答题（17~21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025九上·金东期末）计算：
【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角三角函数值计算即可.
18．（2025九上·金东期末）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：，，，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的值为15．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由已知条件计算可得，结合图形，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可求解；
（2）由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知即可求解.
（1）证明：，，，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的值为15．
19．（2025九上·金东期末）仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的中点；
（3）画出的外心．
【答案】（1）解：取格点，连接、，连接交于点，如图，设小正方形的边长为个单位长，
∴，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
∴为边上的中线，
则即为所作；
（2）如（1）图，取格点、，连接交于点，∵，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
（3）∵垂直平分，垂直平分，交于点，∴点为的外心，
则点即为所作（如（1）图）．
【知识点】确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）取格点，连接、，连接交于点即可；
（2）取格点、，连接交于点即可；
（3）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合网格图的特征即可求解．
（1）解：取格点，连接、，连接交于点，
如图，设小正方形的边长为个单位长，
∴，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
∴为边上的中线，
则即为所作；
（2）取格点、，连接交于点，
∵，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
（3）∵垂直平分，垂直平分，交于点，
∴点为的外心，
则点即为所作．
20．（2025九上·金东期末）赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
【答案】（1）50；216°．
（2）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，
所以这两名学生读书数量均为4本的概率．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
所以随机抽取学生共50名，
2本所在扇形的圆心角度数；
4本的人数为 （人），
补全折线统计图为：
故答案为50，216°．
【分析】（1）根据三本的人数为16占据了32％，并结合样本容量=频数÷百分比即可求得总人数；根据圆心角的度数=360°×百分比可求得 2本所在扇形的圆心角度数 ；根据频数=样本容量×百分比求出4本的人数，则可补全折线统计图；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，然后根据概率公式计算即可求解.
21．（2025九上·金东期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过B作于E，由已知的坡度可设米，米，由勾股定理将BC用含x的代数式表示出来，根据的长度可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）所求得，再由锐角三角函数tan∠ADE=求得的值，然后根据线段的和差即可求解．
（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
22．（2025九上·金东期末）根据以下素材，探索完成任务．
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1 已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1 填空： 售价（元/条）……每星期可卖条数（条）________…________…
任务2 当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3 当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
【答案】（1）；；
（2）依题意，得：，
∵，
∴时，，
∴每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；
（3）①由题意得：，
解得：或，
∴当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；
②由题意得：，解得：，
∵，
∴，
∴每星期至少要销售该款童装件．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条，
∵该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条，且每降价元，每星期可多卖条，
∴，
∴当时，（条），
故答案为：；；（2）（3）
【分析】
（1）根据售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可求解；
（2）设每星期利润为元，根据每星期的销售利润S=单件的利润×销售量可得s与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据（2）的结论可得关于x的不等式，解不等式可求解．
23．（2025九上·金东期末）已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
【答案】（1）解：当时，∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】
（1）①由题意，将代入二次函数解析式，并将解析式化为顶点式即可判断求解；
②由题意，结合①中的解析式，根据二次函数的图象与性质即可求解；
（2）①根据，以及开口方向向下，然后根据二次函数的性质可求解；
②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质计算即可求解．
（1）解：当时，
∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，
抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
24．（2025九上·金东期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：为等腰三角形．
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
（3）解：如（2）图，作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）延长交于点，由直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，由平行线的性质可得，结合已知可得垂直平分，由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形；
（3）作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形和四边形都是矩形，由矩形的对边相等可得，所以，而，由勾股定理求得OL的值，根据线段的和差DL=OD+OL求得DL=CH的值，于是由可求得AC的值，然后根据线段的和差可求解．
（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
（3）解：作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
1 / 1浙江省金华市金东区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）
1．（2025九上·金东期末）若，则下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·金东期末）将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·金东期末）下图是一个由6个相同的小正方体组成的立体图形，则它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·金东期末）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·金东期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小明同学顺利进入决赛．有同学预测“小明夺冠的可能性是”，则对该同学的说法理解最合理的是（　　）
A．小明夺冠的可能性较大
B．小明夺冠的可能性较小
C．小明肯定会赢
D．若小明比赛10局，他一定会赢8局
6．（2025九上·金东期末）在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·金东期末）如图，已知是的直径，，是上的两点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·金东期末）如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了(　　)
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
9．（2025九上·金东期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九上·金东期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025九上·金东期末）一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，3个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为　 　．
12．（2025九上·金东期末）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为　 　cm2.
13．（2025九上·金东期末）如图，，是的切线，点，是切点，点是圆弧上一点，连结和．若，则的度数为　 　．
14．（2025九上·金东期末）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为　 　．
15．（2025九上·金东期末）如图，在等腰直角三角形中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段　 　，阴影部分的面积为　 　．
16．（2025九上·金东期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数（，，是常数，且）的图象上有点，点，设图象的对称轴为直线．
（1）若，则的值为　 　；
（2）若，则的取值范围为　 　．
三、简答题（17~21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025九上·金东期末）计算：
18．（2025九上·金东期末）已知：如图，在中，、分别在边、上，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
19．（2025九上·金东期末）仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．
（1）画出边上的中线；
（2）画出边上的中点；
（3）画出的外心．
20．（2025九上·金东期末）赤峰市某中学为庆祝“世界读书日”，响应”书香校园”的号召，开展了“阅读伴我成长”的读书活动．为了解学生在此次活动中的读书情况，从全校学生中随机抽取一部分学生进行调查，将收集到的数据整理并绘制成如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）随机抽取学生共 名，2本所在扇形的圆心角度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，学校决定在读书数量为1本和4本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或列表法求这两名学生读书数量均为4本的概率．
21．（2025九上·金东期末）某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
（1）求点到的水平距离．
（2）教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
22．（2025九上·金东期末）根据以下素材，探索完成任务．
临近春节，天气寒冷，美美服装店购进一批加绒裤进行销售．
素材1 已知该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条．
素材2 为了促销，该店决定降价销售，经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖条．设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条．
【问题解决】
任务1 填空： 售价（元/条）……每星期可卖条数（条）________…________…
任务2 当每条售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
任务3 当每条加绒裤售价定为多少元时，该店一星期可获得元的利润？若该店每星期想要获得不低于元的利润，则每星期至少要销售该款加绒裤多少条？
23．（2025九上·金东期末）已知二次函数（为常数，且）．
（1）当时，
①求函数图象的顶点坐标；
②当时，求的取值范围；
（2）当时，．
①若，求的最小值；
②若，求的最大值．
24．（2025九上·金东期末）如图，为是直径，弦交于点，，过点作的垂线，垂足为点，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）求证：为等腰三角形．
（3）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∴此选项符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”依次判断即可求解．
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位所得的抛物线函数表达式为，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的平移规律"上加下减，左加右减"即可求解．
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，是一列两个相邻的正方形．
故答案为：D．
【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形并结合各选项即可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故答案为：D．
【分析】据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解．
5．【答案】A
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：根据题意，有人预测李东夺冠的可能性是，结合概率的意义，
A、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项符合题意；
B、小明夺冠的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
C、小明赢的可能性较大，
∴此选项不符合题意；
D、若小明比赛10局，他可能会赢8局，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据概率的意义分别对各选项进行判断即可求解．
6．【答案】D
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如下图所示，
中，，，，
，
．
故答案为：D ．
【分析】先用勾股定理求出BC的值，然后根据锐角三角函数sin∠A=可求解．
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】由邻补角互补可求得的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵由题意可得AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴
∴
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：B．
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证△DAB∽△DEF，再由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，
∴a、b异号，即，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴，
∴，
∴结论正确；
②由图知：当时，函数值小于0，
∴，
∴结论正确；
③∵抛物线与轴交于点和点，
∴抛物线的对称轴，
∴，即，
∴结论正确；
④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．
∴结论错误；
综上可得，正确的有①②③，功3个．
故答案为：C．
【分析】①根据抛物线的开口向下可得a＜0，根据抛物线的对称轴在轴右侧可得a、b异号，由抛物线交于y轴的正半轴可得，然后由有理数的乘法的符号法则可判断求解；
②观察图象可知：当时，函数值小于0，把x=-2代入函数解析式计算可判断求解；
③根据抛物线与x轴的两个交点坐标可得；抛物线的对称轴，整理可判断求解；
④ 根据③的结论并结合抛物线的对称轴可判断求解.
10．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连结，
是的半径，弦，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
或（不符合题意，舍去），
故答案为：B．
【分析】连结，由题意，根据垂径定理“垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧
”可得，则，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一个布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球，
从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率．
故答案为：．
【分析】根据概率公式可得：概率等于所求情况数与总情况数之比，结合已知即可求解．
12．【答案】40π
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π
故答案为40π.
【分析】圆锥的侧面积=×底面周长×母线长，代入相应数据计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵、是的两条切线，切点分别为，
∴，
，
，
在四边形中，
．
故答案为：．
【分析】由圆的切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后用圆周角定理可得∠BOC=2∠D，再根据四边形内角和等于360°即可求解．
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点可得，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解．
15．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；扇形面积的计算；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于点，
为等腰直角三角形，，
，，，
绕点顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，，
，
在中，，
，
，
S．
故答案为：，．
【分析】连接，延长交于点，如图，根据等腰直角三角形的性质得，，用勾股定理求得，由旋转的性质得到，，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，所以，从而可判断垂直平分，所以，，接着勾股定理计算出，则可求，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，再根据阴影部分的面积的构成S阴影计算即可求解．
16．【答案】4；
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（1）若，则点关于直线对称，
∴，
故答案为：4；
（2），
图象开口向上，与轴的交点坐标为，
图象有点，点，且，
∴
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题意可知点A、B关于直线对称，由抛物线的对称轴的特征可求解；
（2）根据，可知函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，图象有点，点，然后根据函数的性质即可判断求解．
17．【答案】解：原式
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角三角函数值计算即可.
18．【答案】（1）证明：，，，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的值为15．
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由已知条件计算可得，结合图形，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可求解；
（2）由相似三角形的对应边成比例可得比例式，结合已知即可求解.
（1）证明：，，，，
，，
，，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的值为15．
19．【答案】（1）解：取格点，连接、，连接交于点，如图，设小正方形的边长为个单位长，
∴，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
∴为边上的中线，
则即为所作；
（2）如（1）图，取格点、，连接交于点，∵，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
（3）∵垂直平分，垂直平分，交于点，∴点为的外心，
则点即为所作（如（1）图）．
【知识点】确定圆的条件；尺规作图-垂直平分线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）取格点，连接、，连接交于点即可；
（2）取格点、，连接交于点即可；
（3）根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”并结合网格图的特征即可求解．
（1）解：取格点，连接、，连接交于点，
如图，设小正方形的边长为个单位长，
∴，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
∴为边上的中线，
则即为所作；
（2）取格点、，连接交于点，
∵，，，，
∴，，
∴垂直平分，
∴点为的中点，
则点即为所作；
（3）∵垂直平分，垂直平分，交于点，
∴点为的外心，
则点即为所作．
20．【答案】（1）50；216°．
（2）画树状图为：（用1、4分别表示读书数量为1本和4本的学生）
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，
所以这两名学生读书数量均为4本的概率．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1），
所以随机抽取学生共50名，
2本所在扇形的圆心角度数；
4本的人数为 （人），
补全折线统计图为：
故答案为50，216°．
【分析】（1）根据三本的人数为16占据了32％，并结合样本容量=频数÷百分比即可求得总人数；根据圆心角的度数=360°×百分比可求得 2本所在扇形的圆心角度数 ；根据频数=样本容量×百分比求出4本的人数，则可补全折线统计图；
（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可得共有12种等可能的结果数，其中这两名学生读书数量均为4本的结果数为4，然后根据概率公式计算即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）过B作于E，由已知的坡度可设米，米，由勾股定理将BC用含x的代数式表示出来，根据的长度可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）所求得，再由锐角三角函数tan∠ADE=求得的值，然后根据线段的和差即可求解．
（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
22．【答案】（1）；；
（2）依题意，得：，
∵，
∴时，，
∴每条售价定为元时，每星期的销售利润最大，最大利润是元；
（3）①由题意得：，
解得：或，
∴当每条加绒裤售价定为元或元时，该店一星期可获得元的利润；
②由题意得：，解得：，
∵，
∴，
∴每星期至少要销售该款童装件．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）设该款加绒裤每件售价元，每星期的销售量为条，
∵该款加绒裤每条成本元，刚开始每条售价为元，每星期可卖条，且每降价元，每星期可多卖条，
∴，
∴当时，（条），
故答案为：；；（2）（3）
【分析】
（1）根据售量（件）与售价（元/件）之间的函数关系即可求解；
（2）设每星期利润为元，根据每星期的销售利润S=单件的利润×销售量可得s与x之间的函数关系式，将解析式配成顶点式并结合二次函数的性质可求解；
（3）根据（2）的结论可得关于x的不等式，解不等式可求解．
23．【答案】（1）解：当时，∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】
（1）①由题意，将代入二次函数解析式，并将解析式化为顶点式即可判断求解；
②由题意，结合①中的解析式，根据二次函数的图象与性质即可求解；
（2）①根据，以及开口方向向下，然后根据二次函数的性质可求解；
②根据得出抛物线的开口方向向上，再结合抛物线的性质计算即可求解．
（1）解：当时，
∴．
①∵，
∴函数图象的顶点坐标为；
②由①得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
又∵，
∴当时，，当时，，
∴此时y的取值范围是：；
（2）解：由得，
抛物线与x轴的交点坐标为和．
∴对称轴是直线．
∴当时，；
当时，；当时，，
①当时，抛物线开口向下．
又当时，则，
∴此时二次函数在顶点处取得最大值为．
∴，则．
当时，则，
∴，
∴．
∴若，a的最小值为；
②当时，抛物线开口向上，
∴．
∵当时，，
∴．
∴．
∴若，a的最大值为1．
24．【答案】（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
（3）解：如（2）图，作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）因为过点作直线的垂线，垂足为点，所以，由，得，推导出，而，所以，则，求得，然后根据圆的切线的判定可求解；
（2）延长交于点，由直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，由平行线的性质可得，结合已知可得垂直平分，由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等腰三角形的定义可得为等腰三角形；
（3）作于点，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形和四边形都是矩形，由矩形的对边相等可得，所以，而，由勾股定理求得OL的值，根据线段的和差DL=OD+OL求得DL=CH的值，于是由可求得AC的值，然后根据线段的和差可求解．
（1）证明：过点作直线的垂线，垂足为点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）证明：延长交于点，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形．
（3）解：作于点，则，
，
四边形和四边形都是矩形，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
的长为．
1 / 1

展开更多......

收起↑