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浙江省杭州市绍兴市2025-2026学年上学期10月份联考九年级数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）下列函数中，为二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意；
B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意；
C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意；
D、中，含自变量的式子作为了被开方数，故不是二次函数，此选项不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】一般地，形如“y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c是常数项，据此逐一判断得出答案.
2．（2025九上·杭州月考）抛掷一枚硬币100次，正面朝上53次，则正面朝上的频数是（　　）
A．0.53 B．47 C．53 D．100
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：解：根据题意得，正面朝上53次，
∴正面朝上的频数是53，
故答案为：C.
【分析】利用频数的定义进行求解即可.
3．（2025九上·杭州月考）二次函数的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴是直线．
故答案为：A．
【分析】由二次函数顶点式y=a(x-h)2+k可得其对称轴为直线，据此可直接得出答案.
4．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点和，
∴当或时，，即方程的根为．
故答案为：B．
【分析】求方程ax2+bx+c=0的根，从图象角度看就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，据此结合题意可得答案.
5．（2025九上·杭州月考）下列事件的发生，为必然事件的是（　　）
A．上数学课，忘记带数学课本
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州明年五一节当天最高气温35℃
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、上数学课，忘记带数学课本，这是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，这是随机事件，不符合题意；
C、杭州明年五一节当天最高气温 这是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，这是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下，不可能发生的事件，据此逐一判断即可.
6．（2025九上·杭州月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的高，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，结合平行四边形ABCD的周长为40及AB=x=9， 可求出AD的长，进而结合DE与AD的关系求出DE的长，最后根据平行四边形的面积等于底×高进行求解即可．
7．（2025九上·杭州月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率的意义
【解析】【解答】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为 种，
∴有①3，5，7； ②3，5，m； ③3，7，m； ④5，7，m
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时， 对于②3，5，4有3+4>5，5-3<4，
∴②能组成三角形，对于③3，7，4，：3+4=7，7-3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5，7，4，5+4>7，7-4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时， 对于②3，5，5有：3+5>5，5-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，5，3+5>7，7-3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，5，5+5>7，7-5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时， 对于②3，5，6有3+5>6，6-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，6，3+6>7，7-3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，6，5+6>7，7-5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时， 对于②3，5，7有：3+5>7，7-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，7，3+7>7，7-3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，7，5+7>7，7-5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可.
8．（2025九上·杭州月考）已知点，在抛物线上，则大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2x+c中，，
∴抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，纵坐标就越大，
∵点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为；
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由抛物线中二次项系数1＞0可得抛物线开口向上，由对称轴直线公式得其对称轴为直线x=1，从而得出抛物线上的点到对称轴的距离越大，纵坐标就越大，据此分别求出A、B、C三点到直线x=1的距离，再比较大小即可得出答案.
9．（2025九上·杭州月考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　）
A．y=200（x+1）2 B．y=200+200x2
C．y=200+x+x2 D．y=200（x-1）2
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂3月份的产值为y，
故答案为：A.
【分析】根据该工厂3月份的产值=该工厂1月份的产值： 平均每月产值的增长率)2 ，列出二次函数关系式即可得出答案.
10．（2025九上·杭州月考）已知，二次函数的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：①，②， ③，④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象可得，
，
对称轴，
，即，
，①正确，
，
，②正确，
当时，，由图象观察可知：当时，对应的点在y轴负半轴，即，
，③错误，
抛物线与x轴有两个交点，即，
，④错误，
综上所述，正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】由二次函数图象开口向下得出a＜0，由抛物线交y轴的正半轴得出c＞0，由对称轴直线所在的位置得，即，据此可判断①②正确，根据图象可得当x=-3时y=9a-3b+c＜0，据此可判断③；由抛物线与x轴有两个不同的交点得b2-4ac＞0，进而结合不等式性质可判断④.
11．（2025九上·杭州月考）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是　 　．
【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由题意可得抛物线的顶点坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
12．（2025九上·杭州月考）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　．
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是，
若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）．
故答案为：．
【分析】根据投中次数等于罚球总次数乘投中概率，列式计算即可估算出投中的次数.
13．（2025九上·杭州月考）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后所得抛物线的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后所得抛物线的表达式是，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移规律“括号内左加右减，括号外上加下减”直接解答即可.
14．（2025九上·杭州月考）若抛物线与x轴交于和，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于、，
∴将点代入解析式：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】将点(1，0)与(3，0)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，将将b、c的值代入待求式子按含有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
15．（2025九上·杭州月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满 100 元就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得 80 元、30 元、10 元的购物券．若转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，则获得 30 元购物券的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，
∴获得30元购物券的概率为：，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用B区域的份数比上总份数即可求出获得30元购物券的概率．
16．（2025九上·杭州月考）如图，在四边形中，，．点E从点B出发，沿边向点C以的速度移动；点F从点C出发，沿边向点D以的速度移动．E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．连接，设运动的时间为，若使的面积为最小，则t 的值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作交延长线于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理求出，
∵，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴的面积为，
令的面积为，则，
∵，
∴当时，有最小值，
即当时，的面积为最小．
故答案为：．
【分析】连接AC、BD交于点M，过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H， 由等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=30°，由“SSS”证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABM=∠CBM=60°，∠BAD=∠BCD，根据三角形的内角和定理推出 ∠ AMB= ∠ CMB=90°，由含30°角直角三角形性质得BM=3cm，同理CM=3cm，则AC=6cm，由三边相等的三角形是等边三角形得△ACD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得∠ADC=60°，再根据含30°角直角三角形的性质求出HD、BG的长，进而利用勾股定理算出AH、AG的长；由S△AEF=结合三角形面积公式建立出S关于t的函数解析式式，再利用二次函数的性质解答即可．
17．（2025九上·杭州月考）已知二次函数．
（1）求顶点坐标；
（2）求对称轴．
【答案】（1）解：，
顶点坐标是；
（2）解：由（1）得二次函数的对称轴为：直线．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，根据其顶点坐标为(h，k)，即可确定顶点坐标；
（2）由y=a(x-h)2+k 中其对称轴直线为x=h可直接确定对称轴．
（1）解：，
顶点坐标是；
（2）解：由（1）得二次函数的对称轴为：直线．
18．（2025九上·杭州月考）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘.
（1）用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果；
（2）求两人搭乘同一辆车的概率。
【答案】（1）解：小王与小叶搭乘车所有可能的树状图如图所示：
∴小王与小叶搭乘车所有可能性有9种．
（2）解：P两人搭乘同一辆车＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)画出树状图即可得到所有等可能性的结果数；
(2)找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．（2025九上·杭州月考）下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值：
x … 0 3 …
y … 0 3 0 …
根据上表的数值，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据．
【答案】（1）解：由表观察可知：当或时，；当时，，
∴设，
把代入得，，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴把代入得．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）观察表格数据可得抛物线与x轴两交点坐标为(-1，0)与(3，0)，故利用待定系数法求解析式的时候，设交点式较为简单，据此求解即可；
（2）将x=-3代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值即可答案.
（1）解：由表观察可知：当或时，；
当时，，
∴设，
把代入得，，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴把代入得．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为．
20．（2025九上·杭州月考）小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法．
课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线．
在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示．
迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位．例如：如图，二次函数图象沿北偏东方向移动4个单位得到二次函数的图象．
（1）仿照迁移方法，把抛物线沿 方向移动 个单位得到抛物线；
（2）比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）．
【答案】（1）西北；
（2）解：迁移方法的优点：可以一次性就移到位；迁移方法的缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：根据平移的性质，由到，
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得，
∴把抛物线沿西北方向移动个单位得到抛物线，
故答案为：西北；；
【分析】（1）从原抛物线顶点(0，0)到新抛物线顶点(-1，1)，先是水平方向，向左平移1个单位（西方向），再竖直方向，向上平移1个单位（北方向），故对应的方向就是“西北方向”；顶点的平移路径就是直角三角形的斜边，利用勾股定理计算即可；
（2）迁移方法可以一次性完成平移，无需分“水平+竖直”两步操作，简化了平移过程；但当平移的水平与竖直距离不是特殊比值时，对应的角度不是特殊角，难直接计算方向角度，导致无法确定平移方向.
（1）解：根据平移的性质，由到，
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得，
∴把抛物线沿西北方向移动个单位得到抛物线，
故答案为：西北；；
（2）解：优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向．
21．（2025九上·杭州月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成.
（1）共有多少种可能密码？
（2）小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？
（3）若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由.
【答案】（1）解：∵这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种，
∴密码的可能性有：9×10＝90（种）．
（2）解：P＝．
（3）解：不是．理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有．随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码．
【知识点】概率的意义；概率公式；用列举法求概率
【解析】【分析】(1)根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果；
(2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可；
(3)用概率的意义解答即可.
22．（2025九上·杭州月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]．
（1）求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？
（3）销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？
【答案】（1）解：①当时，根据题意得，
整理得：，
②时，根据题意得，
整理得，
综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：．
（2）解：由（1）得：，
∴，开口向下，有最大值，
∴对称轴为：，
∴当时，取最大值，
（元）
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利，
∴，即．
∵令，
∴解得，，
∵二次函数开口向下，
∴当时，，
∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量的关系式分别列出当或时y关于x的函数关系式即可，再化简整理可得结论；
（2）根据（1）所求抛物线解析式中二次项系数-5＜0可得抛物线开口向下，则在对称轴的位置取得最大值，从而得到答案；
（3）由于店铺销售该运动鞋要盈利，故，从而找出该二次函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围即可.
（1）解：（1）①当时，根据题意得，
整理得：，
②时，根据题意得，
整理得，
综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：．
（2）解：由（1）得：，
∴，开口向下，有最大值，
∴对称轴为：，
∴当时，取最大值，
（元）
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利，
∴，即．
∵令，
∴解得，，
∵二次函数开口向下，
∴当时，，
∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
23．（2025九上·杭州月考）已知函数的图象与函数的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题：
（1）当时，求函数表达式；
（2）求证：函数的顶点在函数图象上；
（3）小慧说函数的图象与函数的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值．
【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
∴当时，函数表达式为．
（2）证明：设，
∴的顶点坐标为，
把代入得，，
∴的顶点在直线上．
（3）解：如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点．显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值．
∴当时，，
整理得，
则，
，
，
∴．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入，计算整理即可得函数表达式；
（2）把利用配方法变形为成顶点式，可得顶点坐标，把顶点横坐标代入，得等于顶点纵坐标，即可证得结论；
（3）与相交于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，长是点、的横坐标之差的绝对值，长是点、的纵坐标之差的绝对值；令y1=y2可得关于字母x的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系得， 进而求出AC、BC，根据勾股定理可得AB，AB的长为常数，即可说明小慧的说法是正确的，且长即为两个交点之间的距离．
（1）解：∵，
∴当时，，
∴当时，函数表达式为．
（2）证明：设，
∴的顶点坐标为，
把代入得，，
∴的顶点在直线上．
（3）如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点．
显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值．
∴当时，，
整理得，
则，
，
，
∴．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为．
24．（2025九上·杭州月考）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：存在，理由如下：
∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于O、A两点纵坐标相同，故O、A两点关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用中点坐标公式即可求解；
（2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，根据两点间的距离公式求出OB、OA、AB，可得BO=AB再根据勾股定理的逆定理证明△ABO为直角三角形即可；
（3）先利用待定系数法求出该抛物线的解析式（用顶点式）；要使是正三角形，根据点的坐标与图性性质，可设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可．
（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
1 / 1浙江省杭州市绍兴市2025-2026学年上学期10月份联考九年级数学试卷
1．（2025九上·杭州月考）下列函数中，为二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·杭州月考）抛掷一枚硬币100次，正面朝上53次，则正面朝上的频数是（　　）
A．0.53 B．47 C．53 D．100
3．（2025九上·杭州月考）二次函数的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·杭州月考）如图，抛物线与x轴交于点和，则方程的根是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·杭州月考）下列事件的发生，为必然事件的是（　　）
A．上数学课，忘记带数学课本
B．射击运动员射击一次，命中10环
C．杭州明年五一节当天最高气温35℃
D．在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下
6．（2025九上·杭州月考）如图，的周长是40，边上的高．设，的面积为y，若，则y的值是（　　）
A．147 B．111 C．93 D．33
7．（2025九上·杭州月考）从长度为3，5，7，m（其中m为整数）的四条线段中任取三条，使它们首尾顺次相接能组成三角形的概率为，则m的值应为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2025九上·杭州月考）已知点，在抛物线上，则大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九上·杭州月考）某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　）
A．y=200（x+1）2 B．y=200+200x2
C．y=200+x+x2 D．y=200（x-1）2
10．（2025九上·杭州月考）已知，二次函数的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：①，②， ③，④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025九上·杭州月考）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是　 　．
12．（2025九上·杭州月考）已知，在“浙”篮球赛中，由大数据推送发现某地号运动员比赛中罚球投中的概率是．若他在一场比赛中，有次罚球机会，则他估计能投中的次数是　 　．
13．（2025九上·杭州月考）将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后所得抛物线的表达式是　 　．
14．（2025九上·杭州月考）若抛物线与x轴交于和，则的值是　 　．
15．（2025九上·杭州月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满 100 元就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得 80 元、30 元、10 元的购物券．若转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，则获得 30 元购物券的概率是　 　．
16．（2025九上·杭州月考）如图，在四边形中，，．点E从点B出发，沿边向点C以的速度移动；点F从点C出发，沿边向点D以的速度移动．E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．连接，设运动的时间为，若使的面积为最小，则t 的值是　 　．
17．（2025九上·杭州月考）已知二次函数．
（1）求顶点坐标；
（2）求对称轴．
18．（2025九上·杭州月考）学校组织春游，安排给九年级同学甲、乙、丙三辆车，小王与小叶都可以从这三辆车中任选一辆搭乘.
（1）用树状图表示小王与小叶搭乘车所有可能的结果；
（2）求两人搭乘同一辆车的概率。
19．（2025九上·杭州月考）下表是二次函数自变量x与函数y的部分对应值：
x … 0 3 …
y … 0 3 0 …
根据上表的数值，解答下列问题：
（1）求二次函数的表达式；
（2）在上表中，求出被墨水涂黑那格的数据．
20．（2025九上·杭州月考）小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法．
课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线．
在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示．
迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位．例如：如图，二次函数图象沿北偏东方向移动4个单位得到二次函数的图象．
（1）仿照迁移方法，把抛物线沿 方向移动 个单位得到抛物线；
（2）比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）．
21．（2025九上·杭州月考）某密码锁由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的两个不同数字组成.
（1）共有多少种可能密码？
（2）小明随机输入一次，解锁成功的概率是多少？
（3）若他尝试随机输入100次仍未成功，是否说明这把锁的密码根本不存在？说明理由.
22．（2025九上·杭州月考）某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为元/双时，月平均销售量为双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]．
（1）求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？
（3）销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？
23．（2025九上·杭州月考）已知函数的图象与函数的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题：
（1）当时，求函数表达式；
（2）求证：函数的顶点在函数图象上；
（3）小慧说函数的图象与函数的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值．
24．（2025九上·杭州月考）已知抛物线的图象经过原点和点，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求证：是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；
（3）设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、中，的指数是，故是一次函数，不是二次函数，此选项不符合题意；
B、中，自变量在分母上，故不是二次函数，此选项不符合题意；
C、中，的指数是，是整式，故是二次函数，此选项符合题意；
D、中，含自变量的式子作为了被开方数，故不是二次函数，此选项不符合题意.
故答案为：C ．
【分析】一般地，形如“y=ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c是常数项，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：解：根据题意得，正面朝上53次，
∴正面朝上的频数是53，
故答案为：C.
【分析】利用频数的定义进行求解即可.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴是直线．
故答案为：A．
【分析】由二次函数顶点式y=a(x-h)2+k可得其对称轴为直线，据此可直接得出答案.
4．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点和，
∴当或时，，即方程的根为．
故答案为：B．
【分析】求方程ax2+bx+c=0的根，从图象角度看就是求抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，据此结合题意可得答案.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、上数学课，忘记带数学课本，这是随机事件，不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中10环，这是随机事件，不符合题意；
C、杭州明年五一节当天最高气温 这是随机事件，不符合题意；
D、在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下，这是必然事件，符合题意；
故答案为：D.
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，随机事件指在一定条件下，可能发生，也有可能不发生的事件，不可能事件指在一定条件下，不可能发生的事件，据此逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的周长，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的高，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的周长等于两邻边之和的2倍，结合平行四边形ABCD的周长为40及AB=x=9， 可求出AD的长，进而结合DE与AD的关系求出DE的长，最后根据平行四边形的面积等于底×高进行求解即可．
7．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；概率的意义
【解析】【解答】解：∵四条线段任取三条所有的情况为4种，
∴当能组成三角形的概率为
∴满足条件任取三条能组成三角形的情况为 种，
∴有①3，5，7； ②3，5，m； ③3，7，m； ④5，7，m
∴能组成三角形，①能组成三角形；
A、当m=4时， 对于②3，5，4有3+4>5，5-3<4，
∴②能组成三角形，对于③3，7，4，：3+4=7，7-3=4，
∴③不能组成三角形，
对于④5，7，4，5+4>7，7-4<5，
∴④能组成三角形，
∵满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，
∴A选项符合题意；
B、当m=5时， 对于②3，5，5有：3+5>5，5-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，5，3+5>7，7-3<5，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，5，5+5>7，7-5<5，
∴④能组成三角形，
∴B选项不符合题意；
C、当m=6时， 对于②3，5，6有3+5>6，6-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，6，3+6>7，7-3<6，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，6，5+6>7，7-5<6，
∴④能组成三角形，
∴C选项不符合题意；
D、当m=7时， 对于②3，5，7有：3+5>7，7-3<5，
∴②能组成三角形，
对于③3，7，7，3+7>7，7-3<7，
∴③能组成三角形，
对于④5，7，7，5+7>7，7-5<7，
∴④能组成三角形，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得满足条件任取三条能组成三角形的情况只有3种，再根据三角形三边关系进行逐一判断即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2-2x+c中，，
∴抛物线开口向上，其对称轴为直线，
∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，纵坐标就越大，
∵点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为；
点到对称轴的距离为；
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由抛物线中二次项系数1＞0可得抛物线开口向上，由对称轴直线公式得其对称轴为直线x=1，从而得出抛物线上的点到对称轴的距离越大，纵坐标就越大，据此分别求出A、B、C三点到直线x=1的距离，再比较大小即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：∵某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，该工厂3月份的产值为y，
故答案为：A.
【分析】根据该工厂3月份的产值=该工厂1月份的产值： 平均每月产值的增长率)2 ，列出二次函数关系式即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数的图象可得，
，
对称轴，
，即，
，①正确，
，
，②正确，
当时，，由图象观察可知：当时，对应的点在y轴负半轴，即，
，③错误，
抛物线与x轴有两个交点，即，
，④错误，
综上所述，正确的有两个，
故答案为：B．
【分析】由二次函数图象开口向下得出a＜0，由抛物线交y轴的正半轴得出c＞0，由对称轴直线所在的位置得，即，据此可判断①②正确，根据图象可得当x=-3时y=9a-3b+c＜0，据此可判断③；由抛物线与x轴有两个不同的交点得b2-4ac＞0，进而结合不等式性质可判断④.
11．【答案】（2，1）
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：由题意可得抛物线的顶点坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
【分析】根据抛物线的顶点式直接写出顶点坐标即可。
12．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：该运动员比赛中罚球投中的概率是，
若有次罚球机会，则他估计能投中的次数是（次）．
故答案为：．
【分析】根据投中次数等于罚球总次数乘投中概率，列式计算即可估算出投中的次数.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则平移后所得抛物线的表达式是，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移规律“括号内左加右减，括号外上加下减”直接解答即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于、，
∴将点代入解析式：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】将点(1，0)与(3，0)分别代入y=x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，将将b、c的值代入待求式子按含有理数加减乘除混合运算的运算顺序计算即可.
15．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，
∴获得30元购物券的概率为：，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用B区域的份数比上总份数即可求出获得30元购物券的概率．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接交于点，过点作交延长线于点，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理求出，
∵，
∴的面积为，
∵，
∴，
∴的面积为，
∴的面积为，
∴的面积为，
令的面积为，则，
∵，
∴当时，有最小值，
即当时，的面积为最小．
故答案为：．
【分析】连接AC、BD交于点M，过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H， 由等边对等角及三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=30°，由“SSS”证△ABD≌△CBD，由全等三角形的对应角相等得∠ABM=∠CBM=60°，∠BAD=∠BCD，根据三角形的内角和定理推出 ∠ AMB= ∠ CMB=90°，由含30°角直角三角形性质得BM=3cm，同理CM=3cm，则AC=6cm，由三边相等的三角形是等边三角形得△ACD是等边三角形，由等边三角形三个内角都是60°得∠ADC=60°，再根据含30°角直角三角形的性质求出HD、BG的长，进而利用勾股定理算出AH、AG的长；由S△AEF=结合三角形面积公式建立出S关于t的函数解析式式，再利用二次函数的性质解答即可．
17．【答案】（1）解：，
顶点坐标是；
（2）解：由（1）得二次函数的对称轴为：直线．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，根据其顶点坐标为(h，k)，即可确定顶点坐标；
（2）由y=a(x-h)2+k 中其对称轴直线为x=h可直接确定对称轴．
（1）解：，
顶点坐标是；
（2）解：由（1）得二次函数的对称轴为：直线．
18．【答案】（1）解：小王与小叶搭乘车所有可能的树状图如图所示：
∴小王与小叶搭乘车所有可能性有9种．
（2）解：P两人搭乘同一辆车＝＝．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)画出树状图即可得到所有等可能性的结果数；
(2)找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
19．【答案】（1）解：由表观察可知：当或时，；当时，，
∴设，
把代入得，，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴把代入得．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）观察表格数据可得抛物线与x轴两交点坐标为(-1，0)与(3，0)，故利用待定系数法求解析式的时候，设交点式较为简单，据此求解即可；
（2）将x=-3代入（1）所求的函数解析式算出对应的函数值即可答案.
（1）解：由表观察可知：当或时，；
当时，，
∴设，
把代入得，，解得：，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴把代入得．
∴表中被墨水涂黑的那格数据为．
20．【答案】（1）西北；
（2）解：迁移方法的优点：可以一次性就移到位；迁移方法的缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）解：根据平移的性质，由到，
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得，
∴把抛物线沿西北方向移动个单位得到抛物线，
故答案为：西北；；
【分析】（1）从原抛物线顶点(0，0)到新抛物线顶点(-1，1)，先是水平方向，向左平移1个单位（西方向），再竖直方向，向上平移1个单位（北方向），故对应的方向就是“西北方向”；顶点的平移路径就是直角三角形的斜边，利用勾股定理计算即可；
（2）迁移方法可以一次性完成平移，无需分“水平+竖直”两步操作，简化了平移过程；但当平移的水平与竖直距离不是特殊比值时，对应的角度不是特殊角，难直接计算方向角度，导致无法确定平移方向.
（1）解：根据平移的性质，由到，
可以看作向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到，
∴平移的方向为西北方向，
由勾股定理得，
∴把抛物线沿西北方向移动个单位得到抛物线，
故答案为：西北；；
（2）解：优点：可以一次性就移到位；缺点：当碰到不是特殊角时，无法计算角度，确定不了方向．
21．【答案】（1）解：∵这密码锁由两个不同数字组成，每个数位上的数字的可能性分别是10种、9种，
∴密码的可能性有：9×10＝90（种）．
（2）解：P＝．
（3）解：不是．理由：每次尝试解锁是独立的随机事件，且成功概率较小，只有．随机尝试100次仍未成功在概率上是可能的，他可能多次尝试了相同的错误密码，未覆盖到正确的密码．
【知识点】概率的意义；概率公式；用列举法求概率
【解析】【分析】(1)根据每个数位上的数字的可能取值计算出所有可能出现的结果；
(2)用输入一次除以所有可能出现的结果数即可；
(3)用概率的意义解答即可.
22．【答案】（1）解：①当时，根据题意得，
整理得：，
②时，根据题意得，
整理得，
综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：．
（2）解：由（1）得：，
∴，开口向下，有最大值，
∴对称轴为：，
∴当时，取最大值，
（元）
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利，
∴，即．
∵令，
∴解得，，
∵二次函数开口向下，
∴当时，，
∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量的关系式分别列出当或时y关于x的函数关系式即可，再化简整理可得结论；
（2）根据（1）所求抛物线解析式中二次项系数-5＜0可得抛物线开口向下，则在对称轴的位置取得最大值，从而得到答案；
（3）由于店铺销售该运动鞋要盈利，故，从而找出该二次函数图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围即可.
（1）解：（1）①当时，根据题意得，
整理得：，
②时，根据题意得，
整理得，
综上所述：月销售总利润关于销售单价的函数关系式为：．
（2）解：由（1）得：，
∴，开口向下，有最大值，
∴对称轴为：，
∴当时，取最大值，
（元）
答：当销售单价定为85元时，可获得最大月利润，最大月利润为6125元．
（3）解：∵店铺销售该运动鞋要盈利，
∴，即．
∵令，
∴解得，，
∵二次函数开口向下，
∴当时，，
∴销售单价在至之间时，店铺销售该运动鞋才能盈利．
23．【答案】（1）解：∵，
∴当时，，
∴当时，函数表达式为．
（2）证明：设，
∴的顶点坐标为，
把代入得，，
∴的顶点在直线上．
（3）解：如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点．显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值．
∴当时，，
整理得，
则，
，
，
∴．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）把代入，计算整理即可得函数表达式；
（2）把利用配方法变形为成顶点式，可得顶点坐标，把顶点横坐标代入，得等于顶点纵坐标，即可证得结论；
（3）与相交于点、，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点，长是点、的横坐标之差的绝对值，长是点、的纵坐标之差的绝对值；令y1=y2可得关于字母x的一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数的关系得， 进而求出AC、BC，根据勾股定理可得AB，AB的长为常数，即可说明小慧的说法是正确的，且长即为两个交点之间的距离．
（1）解：∵，
∴当时，，
∴当时，函数表达式为．
（2）证明：设，
∴的顶点坐标为，
把代入得，，
∴的顶点在直线上．
（3）如图所示，与相交于点，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线相交于点．
显然，长是点，的横坐标之差的绝对值，长是点，的纵坐标之差的绝对值．
∴当时，，
整理得，
则，
，
，
∴．
因此，小慧的说法是正确的，这个定值为．
24．【答案】（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：存在，理由如下：
∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由于O、A两点纵坐标相同，故O、A两点关于抛物线的对称轴直线对称，从而利用中点坐标公式即可求解；
（2）由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画出图象，根据两点间的距离公式求出OB、OA、AB，可得BO=AB再根据勾股定理的逆定理证明△ABO为直角三角形即可；
（3）先利用待定系数法求出该抛物线的解析式（用顶点式）；要使是正三角形，根据点的坐标与图性性质，可设点为，过点作轴，交轴于点，分三种情况：当时， 当时， 当时，分别求解即可．
（1）解：∵的图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可计算得二次函数图象的顶点坐标为，可画图象如图．
，
，
又∵，
，
，
∴是等腰直角三角形．
（3）解：∵点在抛物线上，且抛物线经过与三点，设，
将代入，可解得．
，
要使是正三角形，
设点为，过点作轴，交轴于点，
分三种情况：
当时，，
，
，
∴，
解得（与点重合，舍去），（不符合题意舍去）．
当时，则有：，
，
解得，
根据正三角形对称性，点在轴上，
∴点坐标为．
当时，则有：，
，
解得，
，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为：或．
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