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第二章 实数
2 平方根与立方根（第3课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第3课时。立方根是数与式中重要的知识点之一，立方根的计算有着广泛的应用，几何体的计算经常涉及开立方。学习立方根，学生可以更加深入地了解无理数，为后面学习实数奠定基础。
以求小立方块的棱长问题为情境，引导学生观察其空间结构，引出立方根的概念。通过对立方根与平方根的类比，探索两者之间的联系和区别。因此，除了具体的知识技能（如知道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根的运算等）学习以外，还要引导学生尝试运用类比等数学方法，并在过程中不断发展学生的空间观念。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学方根，并较为熟练地掌握了平方根的概念和性质，了解了平方运算与开平方互为逆运算，学会了求一个非负数的平方根和算术平方根的计算方法。学生在七年级上册已经学过数的立方的计算，并通过类比平方根的学习，能够更好地进行立方根的探究。
学生的活动经验基础：学生已经经历了平方根知识的学习探索，体验了用根号表示非负数的算术平方根和平方根。运用类比的思想，可以为立方根的探究提供一定的学习路径。
三、教学目标
1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；能用立方运算求某些数的立方根，体会一个数的立方根的唯一性；理解立方根与平方根的区别和联系。
2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根问题的一些基本方法和策略，培养逆向思维能力和分类讨论的意识。
3.利用类比思想，学习立方根。在开立方与立方互为逆运算的探究过程中，渗透从特殊到一般的思想，并培养运用逆向思维解决问题的能力。
教学重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
教学难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入，提出问题
1.活动内容
图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3，那么每个小立方块的棱长是多少？
提问：这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方块的体积是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？
让我们通过解决这些问题来学习新知识。
2.活动目的
通过问题情境引入，让学生感受学习新知的必要性，激发学生的求知欲望。
3.注意事项
设置上述几个问题，引导学生思考：这个几何体的边长可能是多少？引导学生通过猜想得到几何体棱长为6 cm，进而得到小立方块棱长为2 cm。另外也可以发现几何体由27个小立方块组成，每个小立方块的体积是8 cm3，从而得到小立方块棱长是2 cm。
【第二环节】理解概念，汲取新知
1.活动内容
提问：什么数的立方等于8？
追问：你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？
概念归纳：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。如2是8的立方根，是的立方根，0是0的立方根。
2.活动目的
通过情境问题的解决，引出立方根的概念，为后面研究立方根的性质做好铺垫。
【第三环节】初步探究
1.活动内容
尝试·思考
怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？
（1）( )3=8；（2）( )3=0；（3）( )3=-27。
（2）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？
（3）正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？
2.活动目的
通过具体的计算练习，让学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根互为逆运算，感受一个数的立方根的唯一性，算式中对a的取值分别选为正数、负数、0。这样的设计可以帮助学生渗透分类讨论的思想方法。
设计问题串是为了方便平方根与立方根的对比，帮助学生弄清两者的区别和联系。
3.注意事项
在上面的基础上明晰下列内容，对所学知识进行梳理。
（1）每个数a都有一个立方根，记作“”，读作“三次根号a”。例如：当x3=7时，x是7的立方根，记作x=。与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略。
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
（3）求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数。开立方与立方互为逆运算。
【第四环节】尝试反馈，巩固练习
1.活动内容
例1 求下列各数的立方根：
（1）-27；（2）；（3）0.216；（4）-5。
解：（1）因为，所以-27的立方根是-3，即；
（2）因为，所以的立方根是，即；
（3）因为(0.6)3=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即；
（4）-5的立方根是。
2.活动目的
本例让学生根据定义求立方根，巩固对立方根概念的理解。通过按照立方根的定义表述解题过程，促进学生理解立方根的概念。
3.注意事项
教师可以先行示范，规范书写要求，学生在熟练以后可以简化写法。
【第五环节】思考交流，深入探究
1.活动内容
思考·交流
（1）在例1中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？
（2）在例1中，，也就是。一般地，成立吗？
（3）成立吗？与同伴进行交流。
例2 求下列各式的值：
（1）（2）（3）；（4）。
解：（1）=；（2）=；
=；（4）=9。
巩固练习
（1）求下列各式的值：
（2）一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
2.活动目的
“思考·交流”环节进一步讨论如何对各式进行化简，求立方根。例2则根据“思考·交流”的所学内容求立方根，进一步巩固立方根的求法。
3.注意事项
学生通过练习掌握立方根的概念和计算方法，并通过对计算结果的分析得出立方根的性质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，引导学生观察被开方数、根指数及运算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示学生发现的规律，若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论。
【第六环节】课堂小结，反思归纳
1.活动内容
通过本节课的学习你学到了哪些内容？
归纳、总结学生的回答，得出下列内容：
（1）了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根；
（2）在学习中应注意以下5点：
① 符号中根指数“3”不能省略；
② 对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根，即一个数的立方根是唯一的；
③ 平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；
负数没有平方根，但却有一个立方根；
④ 灵活运用公式：()3=a，，=；
⑤ 立方与开立方互为逆运算。可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根。
2.活动目的
引导学生自己总结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化。
3.注意事项
通过小结，对所学知识进行了梳理，学生进一步巩固了立方根的概念和求解方法，加深了类比等学习方法，有助于学生理解、掌握数学的基本知识和基本技能，形成数学基本思想，积累数学活动经验。
如有时间，学生学有余力，还可以安排学生探究下列问题：
求下列各式中的x。
（1）x3-64=0；（2）8x3+27=0。
【第七环节】布置作业
1.活动内容
基础作业：
1.求下列各数的立方根：
0.001，-1，，8000，，-512。
2.求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）。
3. 一个人每天平均要饮用大约0.0015m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？
4.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？
拓展作业：
1.求下列各式中的x：
（1）x3+125=0；（2）64(x-2)3-216=0。
2.已知：，，则 。
3.若5x+9的立方根是4，求2x+3的平方根。
2.活动目的
通过对作业进行分层安排，让不同层次的学生根据自己的水平进行选择，使每个学生
都能得到不同的提升。
五、教学设计反思
1.关注类比思想的渗透以及学习方法的指导
类比是在两类不同的事物之间进行的对比，在找出若干相同或相似点之后，推测在这两类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。当然，类比的结果是猜测的，不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数学结论，沟通数学知识，进而解决生活中的一些实际问题，有助于培养学生的创新能力。因此，学习过程中要注意类比思想的渗透。实际上，类比学习法可以让学生省时省力，在学习新知的同时巩固已学的知识，通过新旧对比更好地掌握知识。为此，本节课通过类比的方法让学生自然、顺畅地建构立方根的概念、性质与运算。
2.关注学生的个体差异，构建学生探究过程
根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法多样化。在教学活动中，教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是学生对“尝试·思考”“思考·交流”的探究情况和学生反馈练习的完成情况。教师要关注学生是否能够理解立方和开立方互为逆运算，是否会用根号正确地表示一个数的立方根。在教学过程中，教师应给足学生思考和计算的时间，使学生用原有知识进行新知识建构。这一过程以学生自主探究为主线，让他们在亲历发现与建构知识的同时，既张扬了个性，又切实提升了探究能力。课堂教学中，教师要充分发挥评价的教育功能，对于学生的回答应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我，建立学习数学的自信心。
3.需要说明的几个问题
在第四环节中的例1中可以补充带分数的立方根求法。在教学中只要讲明将带分数转化为假分数，再求立方根，学生就容易掌握相关知识；例2则为第五环节探究立方根性质的3个公式（ ()3=a，，=）打下了基础，若学生基础较差，教师也可删去这3个公式；第六环节中的探究与思考，将平方根、立方根的求法拓展到求四次方根、五次方根的学习中，教师在教学过程中可以根据学生的学习情况确定是否补充这部分内容，也可以留给学生课后思考，进行分层要求，调动不同学生的学习热情。在第七环节的作业安排中，布置不同层次的作业，目的是让不同层次的学生都能得到不同的提升。
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第二章 实数
2 平方根与立方根（第3课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
展示学习目标
1. 了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。（重点）
2. 能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。（难点）
情境引入，提出问题
引例
图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体积为216 cm3，那么每个小立方块的棱长是多少？
图1
情境引入，提出问题
引例
这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方块的体积是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？
答：这个几何体是由27个小立方块搭成的，每个小立方块的体积是8 cm3。
情境引入，提出问题
怎样求出小立方块的棱长呢？
理解概念，汲取新知
问题
什么数的立方等于8？
0
8
一般地，如果一个数 x 的立方等于a，即 x3＝a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根（也叫作三次方根）。
立方根定义
如：2是 的立方根， 是 的立方根 ，0是 的立方根。
理解概念，汲取新知
怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？
问题
（1）( )3＝8；（2）( )3＝0；（3）( )3＝－27。
初步探究
初步探究
答：（1）( 2 )3＝8；（2）( 0 )3＝0；（3）( －3 )3＝－27。
（1）一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？
【尝试·思考】
（2）正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？
初步探究
（1）每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”。
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
（3）求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方 , a 叫作被开方数。
初步探究
立方根的表示方法：
a叫作被开方数
3叫作根指数
注意：这个根指数3不可省略。
初步探究
例1 求下列各数的立方根：
（1）－27；（2） ；（3）0.216；（4）－5。
尝试反馈，巩固练习
解:（1）因为 ，所以－27的立方根是－3，即 ；
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 ；
（3）因为0.63＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 ；
（4）－5的立方根是 。
例1 求下列各数的立方根：
（1）－27；（2） ；（3）0.216；（4）－5。
尝试反馈，巩固练习
【思考·交流】
（1）在例1中，一些数的立方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点？
（2）在例1中， ，也就是 。一般地， 成立吗？
思考交流，深入探究
（3） 成立吗？与同伴进行交流。
【思考·交流】
思考交流，深入探究
思考交流，深入探究
（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。
例2 求下列各式的值：
解：（1） ＝ ；（2） ＝ ；
（3） ＝ ；（4） ＝9。
1. 求下列各式的值：
2. 一个正方体，它的体积是棱长为3 cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
思考交流，深入探究
巩固练习
正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数 x 就叫作a的立方根（也叫作三次方根）。
课堂小结，反思归纳
立方根的概念
立方根的性质
基础作业：
1. 求下列各数的立方根：
0.001，－1， ，8000， ，－512。
布置作业
2. 一个人平均每天要饮用大约0.0015 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？
基础作业：
3. 一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的n倍呢？
布置作业
拓展作业：
1.求下列各式中的x：（1）x3+125＝0；（2）64(x－2)3－216＝0。
2.已知： ， ，则 。
3.若5x+9的立方根是4，求2x+3的平方根。
布置作业
谢谢算术平方根
知识精讲
算术平方根的概念
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x 2 a ，那么这个正数 x 就叫作
(
a
)a 的算术平方根，记作 ，读作“根号 a”。
算术平方根的表示因为 x2＝a （a≥0），
所以 x＝ a 。
例如：
因为42＝16 ，
所以 16＝4 ，即 16 的算术平方根为 4。 3.算术平方根的性质
（1）一个正数的算术平方根是一个正数；
（2）0 的算术平方根是 0；
（3）负数没有算术平方根。
注意：只有非负数才有算术平方根，它的算术平方根仍为非负数。
4.算术平方根的“双重非负性”含义
(
a
)被开方数 a 是非负数，即 a≥0；
(
a
)算术平方根
本身是非负数，即
≥0。
考点分析
算术平方根是中考中的常考点，主要考查正确求解一个非负实数的算术平方根，会用根号表示非负数的算术平方根，运用算术平方根的非负性进行幂运算或参数的求值。题型主要涉及填空题、选择题和计算题，常与勾股定理、算术平方根的“双重非负性”等知识综合进行考查。
名师点睛
负数没有算术平方根；算术平方根等于本身的数只有 0 和 1。
因为
a2＝ a ，且
a 2 ＝a （a≥0），所以当 a≥0 时，
a2＝
a 2 。
常见的非负数的形式有三种： a ， （a a ≥ 0）， a 2 。
(
c
)几个非负数的和为 0，则这些非负数同时为 0。如 a b2
a b c 0。
典型例题
例 1 下列式子没有意义的是（ ）。
0 ，则
(

3
) (
0
) (
2
) (


1

2
)A. B. C. D.
(
0
)解析：因为
， 2 ， 1 2 中被开方数均为非负数，所以有意义；因为
(

3
)中被开方数为负数，所以没有意义。答案：A
例 2 16的算术平方根是（ ）。
A.±4 B.4 C.±2 D.2
解析：一个正数的算术平方根仍为正数。因为 16＝4
所以 16 的算术平方根为 4＝2 。答案：D
例 3 若
A. 2
+（b 2）2 ＝0，则 ab 的值等于（ ）。
(
a

1
)B.0 C.1 D.2
解析：根据几个非负数的和为 0，则这些非负数同时为 0，即 x y2
z＝0 ，
则 x ＝y ＝z ＝0 。
(
a

1
)因为 b 2 2 ＝0 ，
所以a 1＝b 2＝0 ，即a＝1， b＝2 。
所以ab＝2 。答案：D<<<<<<<<
第二章
实数
平方根与立方根（第3课时）
课堂精要·流理内容
1.
立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a,即
,那么这个数x就叫
作a的
,也叫作
2.立方根的表示：每个数a都有一个立方根，记作
,读作
3.立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是
,负数的立方根是
,即任意数都有一个
0
4.开立方的概念：求一个数a的
的运算叫作开立方，a叫作
三云
课堂精练·发厩能力
基础巩固
1.一8的立方根是(
)。
A.2
B.-2
C.±2
D.-2
2.下列说法中，不正确的是()。
A.27的立方根是3
B.一27的立方根是一3
C.0的立方根是0
D.(-8)的立方根是一8
3.下列说法中，正确的是()。
A.一个正数的立方根有两个，它们互为相反数
B.负数没有立方根
C.任何数的立方根都是非负数
D.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0
4.计算一0.001的结果是(
)。
A.-0.1
B.0.1
C.-0.01
D.0.01
5.立方根等于它本身的数是
6.√64的立方根是
7.正方体A的体积是正方体B的体积的27倍，那么正方体A的棱长是正方体B的棱长的
倍。
8.小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的x的值是64时，输出的y的
值是
是有理数
是无理数
取算术
是有理数
输入x
平方根
取立方根
输出y
是无理数
(第8题)》
1-
人年级上R
强化提高
9.要使4一a有意义，那么a的取值范围是(
A.a<4
B.-a≤4
C.a≥4
D.任何数
10.一个数的平方是64，则这个数的立方根是(
)。
A.2
B.-2
C.2或-2
D.4或一4
11.若实数x,y满足(2x十3)2十|9一4y=0,则xy的立方根为
12.(1)填表：
0.000001
0.001
1
1000
1000000
a
(2)根据你发现的规律填空：
①已知3≈1.442，则3000≈
,/0.003≈
②已知90.000456≈0.07697，则/456≈
(3)由上表你发现了什么规律？请用文字描述这个规律。
13.求下列各式中x的值：
(1)125x3=8;
一
<<<<<<<<
第二章实数
(2)(3x-2)3=0.343:
(3)x-2=-2。
课堂延伸·提升素养
14.【数学应用】依照平方根（二次方根）和立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方
根的定义：(1)如果x=a,那么x就叫作a的四次方根；(2)如果x5=a,那么x就叫作a
的五次方根。请依据以上两个定义，解决下列问题。
(1)81的四次方根是多少？
(2)一32的五次方根是多少？
(3)求下列各式中x的值：
①x=16:②100000.x5=243。
-3一

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