资源简介

第二章 实数
2 平方根与立方根（第4课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上）第二章“实数”第二节的第4课时。估算是数与式中的一个重要知识点，本节课主要研究无理数的估算，即能用有理数估计一个无理数的大致范围。在这个过程中可以让学生体会如何运用所学知识去解决实际问题，体会数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展学生的估算意识和数感。
本节课内容安排1课时完成，估算的探究从求公园的宽出发，经历从直觉估计，再到验证估计，接着进一步精细估计，再到验证的过程。借用求梯子长度的例子，建构数学模型问题，这体现了“问题情境—建立模型—求解验证”的过程，有利于帮助学生有效理解知识与方法，积累活动经验，从而达到培养学生在不同的情境中，从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：通过前几节课的学习，学生对平方根和立方根已经有了一定的了解，并且在无理数的学习中，通过用二分法或“夹逼”法，确定某些无理数的范围，这都为学习“估算”这节课奠定了基础。学生在生活中接触用“估算”解决实际问题相对较少，因而对“估算”相对陌生，学起来会有点困难。通过学生熟悉的情境，引入问题进行数据估计，帮助学生初步形成估算的意识，发展学生的数感。
学生的活动经验基础：八年级学生具备了一定的数感、推理能力和运算能力，能在简单的真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜想、推理、验证以及数据分析等方法分析问题并解决问题，这些都为学习“估算”积累了基本活动经验。
三、教学目标
1.会估算一个无理数的大致范围，通过估算比较两个数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题。
2.经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感。
3.运用模型观念，把实际问题，并渗透数形结合和分类讨论思想。
4.通过实际例子，建立模型分析实际情境，感受现实生活中的算。
教学重点：通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围。
教学难点：能估计一个无理数的大致范围。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入，提出问题
1.活动内容
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容——估算。
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2。
（1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？
给出这个问题情境后，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少。
给出引导问题：公园的宽有1000 m吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽？
2.活动目的
情境引入以求公园的宽为背景，力图通过学生熟悉的背景，进行数据的估计。本环节设置的问题顺序反映了研究的顺序，估算的第一步应有一个大致的直觉，所以问了第一个问题，然而估计得准不准，是估大了还是估小了，还需要进一步精确估计。通过与现实生活中的长度进行比对，一方面让学生体会到数学在生活中的应用，另一方面也培养了数感。
3.注意事项
在课堂教学中要鼓励学生用自己的语言表述估计的过程，教师及时进行总结反馈。这样，学生通过与生活紧密联系的问题情境，经历“直觉估计—验证估计—进一步精细估计”的过程，初步感受到估算的实用价值。
【第二环节】理解概念
1.活动内容
思考·交流
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流
≈0.66； ≈96； ≈60.4。
（2）你能估算的大小吗（结果精确到1）？
（3）宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”。你能比较与的大小吗？你是怎么想的？
2.活动目的
学生在计算（2）中的问题时，常常出现小数点位置错误的情况。如计算时，可能将近似数9.6误写成96，而面对这样的错误，很多学生没有察觉。为此，设计了以上的问题，希望学生养成检验计算合理性的习惯。（3）的设置有一定的难度，让学生辨析两个不同的分数，并同时为后面黄金分割的学习，埋下伏笔。
3.注意事项
在解决问题“估计的大小”中，可以考虑通过确定数量的级别，从而确定数值小于10，但又接近于10，最终得到10。而在解决 “比较与中，通过分析法进行比较，或者比较与2的大小，从而得出结果。同伴间进行交流解决问题时，教师可以适时引导。在解决问题的同时，教师可以引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法。让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力。通过对简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备。
【第三环节】活动探究
1.活动内容
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
尝试·思考
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.000 1）：①；②。
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。
2.活动目的
通过例题让学生进一步感受现实生活中的估算，感受估算应用的广泛性。“尝试·思考”主要引导学生利用计算器进行开平方和开立方计算，通过让学生独立思考并与同伴合作交流的方式解决提出的问题，让学生体会估算的方法和估算的实际应用，调动学生探究的积极性。
3.注意事项
对于实际问题，教学中可以鼓励学生用不同的方式（出发点）进行估算和比较。
【第四环节】尝试反馈，巩固练习
1.活动内容
巩固练习
1.估算下列数的大小：
（1）（结果精确到0.1） ； （2）（结果精确到1）
2.比较与2.5的大小。你是怎么做的？
3.提升练习：（1）与； （2）与3.85．
4. 一个人平均每天要饮用大约0.0015 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？
【第五环节】课堂小结，反思归纳
1.活动内容
（1）用自己的语言表达学习这节内容的感想。
①通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
②通过学习这些知识，对你有怎样的启发？
③对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
（2）你能描述一下如何使用计算器进行开方运算吗？
2.活动目的
通过小结，引导学生回顾本节课所学的内容，让学生及时反思，厘清知识脉络。从而加深学生的理解，帮助学生掌握本节课的基本知识和基本技能，体会的思想与方法，从而获得更多的基本活动经验。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
基础作业：
1.估算下列各数的大小：
（1）（结果精确到1）；（2）（结果精确到0.1）。
2.下列计算结果正确吗？说说你的理由。
；（2）。
3.当人站在离地面h km的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为d km。某人站在810m的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？
拓展作业：
1.通过估算，比较下列各组数的大小：
（1），；（2），3.85；（3），。
2.物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为，其中g=9.8 m/s2，R=6.37×106 m，第一宇宙速度（结果精确到10 m/s）。
3.阅读材料：因为，所以，即，所以的整数部分为2，小数部分为。请根据上述信息解答下列问题：
（1）若的整数部分为x，小数部分为y， x=__________y=__________；
（2）已知的整数部分为m，且(x+1)2=m，请求出满足条件的未知数x的值。
2.活动目的
通过对作业进行分层安排，让不同层次的学生根据自己的水平进行选择，使每个学生
都能得到不同的提升。
五、教学设计反思
1.突出重点、突破难点的策略
“估算”这节课的内容是让学生掌握估算的方法，提升他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以对此类内容比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣。为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，此类问题情境与学生平时的生活联系密切，容易把学生的积极性调动起来。当然，还可以结合所在地区的特点创设相关的问题情境引入，如“鱼塘有多宽”“试验田有多宽，“体育馆有多宽”等问题情境。在探究估算方法的时候，教师要注重进行适时的引导，以免让学生无从下手。在教学过程中要让学生体会估算的实用价值，感受“数学既来源于生活，又回归到生活为生活服务”。
2.课堂评价的一些思考
在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的探究过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心。作为教师，要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励学生在学习过程中探究方式、表达方式和解题方法多样化。<<<<<<<<
第二章
实数
平方根与立方根（第4课时）
课堂精要·梳理内容
1.估计开方开不尽的数的算术平方根或立方根时，可借助
运算或
运算，通
过
的办法估计它们的值的大致范围。
2.(1)方根的比较：如果a>b>0,那么√a
(2)如果a>b,那么a
石。
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.若a<7)。
A.1,2
B.2,3
C.3,4
D.4,5
2.下列整数中，比3大、比√7小的数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
3.如图，数轴上的点P表示的数可能是(
)
P
-3-2-l0123
(第3题)
A.√5
B.-√5
C.-3.8
D.-/10
4.估计√73的大小应在(
）。
A.8.58.6
B.8.68.7
C.8.78.8
D.8.48.5
5.满足一√3)。
A.1
B.2
C.3
D.4
6.与900最接近的整数是
7.已知a,b为两个连续的整数，且a<√348.比较大小：2√5一1。（填“>”“<”或“=”）
强化提高
9.估计√30一2的值在()。
A.1与2之间
B.2与3之间
C.3与4之间
D.4与5之间
10.比较/月-1与号的大小，结果是(
A.前者大
B.后者大
C.一样大
D.无法确定
11.在实数0，一√5，一π√2中，最小的数是
12.若√19的整数部分是a,小数部分是b,则a2十b一√19=
13.通过估算，比较下面各组数的大小：
(1)W3
1.7;
(2)y10+2
5
3
14.如图，一根旗杆AC高10m,旗杆顶部A与地面一固定点B之间要拉一根笔直的铁丝
(不计损耗)，已知固定点B到旗杆底部C的距离是7m,一工人准备了长为12.5m的
铁丝，你认为这根铁丝够用吗？说明理由。
(第14题)
据奖哭停·提升套养
15.【数学应用】观察：因为√4<√7<√9，即2<√7<3，
所以√7的整数部分为2，小数部分为√7一2。
请你根据上述式子，解决下列问题：
(1)规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]=0[]=3。填空：
[√/10+2]=；[5-√/13]=
(2)如果5十√13的小数部分为a,5-√13的小数部分为b,求a2一b的值。
-2
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第二章实数
16.【综合与实践】如图，在一张面积为30cm的大正方形卡纸上，剪去四个面积为2cm的
小正方形（阴影部分），用以制作一个无盖的长方体纸盒，请你尝试用计算器确定该长方
体纸盒的底面边长α的大小。（结果精确到百分位）
(第16题)
-3一(共20张PPT)
第二章 实数
2 平方根与立方根（第4课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
1. 能通过估算检验计算结果的合理性。
2. 能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。
3. 会求一个无理数的整数部分和小数部分。
展示学习目标
情境引入，提出问题
某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2。
（1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。
（3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？
引例
答:（1）公园的宽大约是几百米，它没有1 000 m。
（2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是450 m。
（3）它的半径大约是16 m。
情境引入，提出问题
理解概念
【思考·交流】
（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
≈0.66， ≈96， ≈60.4。
答： ≈0.66是错误的， ≈96是错误的， ≈60.4是错误的。
（2）你能估算 的大小吗（结果精确到1）？
理解概念
【思考·交流】
答： ≈10。
（3）宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较 与 的大小吗？你是怎么想的？
理解概念
【思考·交流】
答：因为2， 所以1，因此 。
例 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？
活动探究
活动探究
解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为 x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的 。根据勾股定理 ，有
x2+()2=62,
即 x2=32，x=。
因为5.62=31.3632，所以5.6。
因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。
活动探究
（1）观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键？利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.000 1）：① ；② 。
（2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开平方次数的增加，你发现了什么？改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律。
【尝试·思考】
尝试反馈，巩固练习
1. 估计下列各数的大小：
（1） （结果精确到0.1）；
（2） （结果精确到1）。
尝试反馈，巩固练习
解：（1）因为913.6，即 313.6 ，所以34。
又因为3.6=12.96， 3.7=13.69，可知13.6更接近13.69，
因此， ≈ 3.7 。
（2）因为93=999=729， 103=101010=1000，且728，
所以9 。
又因为800更接近729，因此， ≈ 9。
尝试反馈，巩固练习
2. 比较与2.5的大小。你是怎么做的？
3. 一个人平均每天要饮用大约0.0015 m3的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总量大约为40 m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（π取3.14，结果精确到1 m）？
尝试反馈，巩固练习
解：2. 因为2.52=6.256，所以2.5。
3. 设这个容器高xm，据题意，得 2 x=40。
解得x= ≈ 4。
因此，这个容器大约有4 m高。
课堂小结，反思归纳
1. 如何估计一个无理数的近似值？
答：估计一个无理数的近似值，可以采用“两头逼近”的方法，逐步确定这个无理数的整数部分，小数部分的十分位，百分位……
2. 如何比较两个无理数的大小（或一个无理数与一个有理数的大小）？
答：估算法、作差法、平方法、运用计算器等。
布置作业
基础作业
1. 估计下列各数的大小：
（1） （结果精确到1）；
（2） （结果精确到0.1）。
2. 下列计算结果正确吗？说说你的理由。
（1） ；（2） 。
布置作业
3. 当人站在离地面h km的高处时，肉眼能看到的地面最远距离为d km，d≈112。某人站在810 m的高处，在没有障碍物影响的情况下，肉眼能看到的地面最远距离大约是多少千米？
布置作业
拓展作业
1. 通过估算，比较下列各组数的大小：
（1） ， ；（2） ，3.85；（3） ， 。
2. 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，叫作第一宇宙速度，它的计算公式为 ，其中 m/s, m，求第一宇宙速度（结果精确到100 m/s）。
布置作业
3. 阅读材料：因为4<7<9，所以，即2<<3，所以的整数部分为2，小数部分为-2。请根据上述信息解答下列问题：
（1）若的整数部分为x，小数部分为y，则 x= ， y= ；
（2）已知的整数部分为m，且(x+1)2=m，请求出满足条件的未知数x的值。
谢谢

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