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义务教育教科书 数学 八年级上册
第二章 实数
3 二次根式（第1课时）
问题1 观察下列代数式：
， ， ， ， （其中b＝24，c＝25）。
上述式子有什么共同特征？
认知概念
问题2 你能用统一的数学符号表示上述的代数式吗？请同学们尝试写一写。
一般地，形如 （a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。
问题3 二次根式的运算有怎样的规律呢？
认知概念
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
＝ 　 ，
＝ 　 ；
＝ 　 ，
＝ 　 ；
＝ 　 ，
＝ 　,
＝ 　 ；
＝ 　 。
（2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。
与 ，
与 。
探究法则
【尝试·思考】
（3）用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？
二次根式的乘法法则和除法法则
（a≥0 ，b≥0）, （ a≥0 ，b＞0 ）。
探究法则
例1 计算：（1） ； （2） 。
解：（1） ；
（2） 。
例题巩固
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） 。
例题巩固
例2 计算：
（5） ；
（4） ；
（3） ；
（2） ；
解：（1）3；
（6） 。
例题巩固
完成教科书第42页“随堂练习”。
练习提高
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） 。
计算：
本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式计算：
（2）理解本节课中运用的数学方法：类比法、合情猜想、归纳总结等。
课堂小结
（a≥0 ，b≥0）, （ a≥0 ，b＞0 ）。
1.必做题：教科书习题2.3 第1题。
2.选做题：计算 。
作业布置
谢谢二次根式的定义
知识精讲
二次根式的定义
(
a
)一般地，形如
（a≥0）的式子叫作二次根式，a 叫作被开方数。
二次根式的特征：（1）都含有开方运算；（2）被开方数都是非负数。
名师点睛
(
a
)二次根式 中，被开方数 a 可以是一个数，也可以是一个代数式，但其
取值范围一定是非负数。
判断一个式子是否为二次根式，要严格从根指数为 2，被开方数大于等于
0，这两方面入手。
典型例题
(
5
) (
3
32
) (
9
) (
6
x
2
) (
3
a
2

1
) (

3
x
2

1
)例 在 ， ， ， ， ， 中，属于二次根式的
有（ ）。
A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3 个
解析：明确二次根式的特点：（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于 0。
(
5
) (
6
x
2
) (
3
a
2

1
)， 9 ， ，答案：C
都属于二次根式，共 4 个。
北京师范大学出版集团
BEWING NORMAL UNIERSITY PUBLISHING第二章 实数
3 二次根式（第1课时）
一、学习任务分析
本节是北师大版初中数学第二章“实数”的第三节，主要是通过对二次根式概念、性质和运算的学习，培养学生的抽象思维能力和提升学生的运算能力。本节共设计3个课时，旨在引导学生通过归纳不同类型二次根式问题的解题方法，掌握二次根式运算中的解题技巧。本节课是第1课时，主要是让学生初步认识二次根式的概念，探索二次根式的乘法法则和除法法则，利用运算法则进行二次根式的简单运算。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在七年级上学期已学习了有理数的运算，本学期又认识了实数，并学习了如何求某个有理数的平方根和立方根。这些都为本课时学习二次根式的运算提供了知识基础。
学生活动经验基础：不论是几何学习，还是代数学习，学生都已经积累了从特殊到一般、从具体到抽象的活动经验，这为本课时学习二次根式的乘法法则和除法法则奠定了经验基础。
三、教学目标
1.认识二次根式的概念。
2.探索二次根式的乘法法则和除法法则。
3.利用运算法则进行二次根式的简单运算。
4.经历探索、猜想、发现、总结、验证等活动过程，体会从特殊到一般的数学思想方法，发展推理意识。
5.在运算过程中体会运算法则与算式的联系，增强运算能力。明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系。
教学重点：探索二次根式的乘法法则和除法法则，并根据运算法则进行简单的运算。
教学难点：探索二次根式的乘法法则和除法法则，并根据运算法则进行简单的运算。
四、教学过程设计
【第一环节】认知概念
1.活动内容
问题1 观察下列代数式：
，，，，（其中b=24，c=25）。
上述式子有什么共同特征？
问题2 你能用统一的数学符号表示上述的代数式吗？请同学们尝试写一写。
问题3 二次根式的运算有怎样的规律呢？
2.活动目的
借助前两个问题的探讨，自然引出二次根式的概念；通过最后一个问题，揭示本节课的核心任务——探究二次根式的乘法法则和除法法则。
3.注意事项
对于（其中b=24，c=25），虽然算式中含有字母，需要引导学生明确二者本质仍为数，是可计算出得数的。
【第二环节】探究法则
1.活动内容
尝试·思考
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；＝ ，＝ 。
（2）根据上面的猜想，估计下面每组中的两个式子是否相等，借助计算器进行验证。
与，与。
（3）用字母表示你发现的猜想，你能说说这个猜想为什么正确吗？
2.活动目的
问题（1）从特殊数入手，通过计算若干算式，引发学生猜想，进而帮助学生获得一定的感性经验。问题（2）进一步强化问题（1）获得的经验和猜想，并借助计算器验证自己的猜想，经历归纳推理的过程。问题（3）引导学生利用实数的运算法则和运算律说明自己猜想的正确性，并总结归纳得到二次根式的乘法法则和除法法则。
3.注意事项
通过猜想得到，后，学生可以再选一些数来验证猜想是否正确。验证的过程中，教师可以依次提问“能否选负数？”“字母a，b有限制条件吗？”，进而得到二次根式的乘法法则和除法法则。
（，），（，）。
【第三环节】例题巩固
1.活动内容
例1 计算：
（1）； （2）。
例2 计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
（例1、例2解答略）
2.活动目的
通过两组例题强化学生对二次根式的乘法法则和除法法则的运用，并且在计算的过程中，引导学生观察最后计算得到的结果是否能进行开方运算，为下一节学习最简二次根式做铺垫。其中例2承接例1的运算法则的使用，在强化二次根式的乘法法则和除法法则运用的基础上，又增加了加减运算，让学生总结归纳二次根式和有理数在运算法则、运算律的相同点。
3.注意事项
对于例2中的各题，
（1）；
题（1）强调：二次根式相乘注意分清有理数和无理数部分，运算时可以有理数和有理数相乘，无理数和无理数相乘，最后写成积的形式。
（2）；
题（2）强调：二次根式的运算也要遵循运算法则和运算律。
（3）；
（4）；
题（3）、题（4）强调：二次根式的运算可以使用乘法公式，例如完全平方公式和平方差公式。
（5）；
（6）。
题（5）、题（6）强调：对二次根式进行运算时，可以运用实数的运算律，例如乘法分配律。
【第四环节】练习提高
1.活动内容
计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）。
2.活动目的
通过随堂练习，加深学生对二次根式运算的理解和掌握。
3.注意事项
练习时，需再次引导学生应用实数的运算法则和运算律进行计算，不涉及将结果化为最简二次根式的情形。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
复习概括本节课主要内容：
（1）掌握并会运用公式计算：
（，），（，）。
（2）理解本节课中运用的数学方法：类比法、合情猜想、归纳总结等。
2.活动目的
让学生通过总结进一步积累活动经验，完善对二次根式运算的认知结构。
3.注意事项
引导学生梳理本节课的知识框架和研究路径，以培养学生核心素养。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
（1）必做题：教科书习题2.3第1题。
（2）选做题：计算。
2.活动目的
通过作业练习检测并巩固本节课所学；设置不同层次的作业练习，为不同层次的学生提供不同的发展空间。
五、教学反思
1.设计理念
本节课在归纳二次根式概念与二次根式的乘法法则和除法法则的过程中，都遵循了启发式的教学理念，通过设置问题，让学生经历合情猜想、计算及计算器验证等探究过程，从而总结得到相关概念及法则，充分体现了学生是课堂的主体。
2.教学建议
本节课把学生能否依据算理正确进行计算，能否判断结果的合理性等作为课程重点，不追求技巧型运算，而是重点关注学生对运算法则的理解，以及能否根据问题的特征选择合理、简便的算法。因此，在二次根式运算的起始课，务必把技能要求定位于“理解算理、算对即可”，切忌拔高技巧要求。分母有理化
知识精讲
分母有理化
当分母含有二次根式时，为了运算的需要，往往要通过恒等变形将分母变为有理数或有理式这就是分母有理化。即把分式的分子、分母同乘分母的有理化因式。
有理化因式
(
b
) (
a
) (
b
)两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，这两个代
(
a
)数式叫作互为有理化因式。比如
与 互为有理化因式。
名师点睛
(
a
) (
a
) (
a
) (
b
) (
a
b
)分母有理化关键在于正确寻找分母的有理化因式，常先把分母化为最简二次根式，再简化算式。
化简后，
的有理化因式为 ，而
的有理化因式为 。
典型例题
(
3
3
)例 1 化简 的结果是 。
(
3
)解析：解题的关键在于找出分母 的有理化因式。
(
3

3
3

3
) (
3
)原式 3 3 。
3
(
3
)答案：
(
14
20

6
) (
6
)例 2 化简 。
(
20
)解析：解题的关键在于利用平方差公式，找出分母
的有理化因式。
14
14 2
6
14 2
6
(
5
) (
5
)原式＝ ＝ ＝
＝ 2 6 。
(
5
) (
6
) (
5
) (
5
)2 2 6 2 6
20 6
(
5
) (
5
) (
6
)答案： 2 <<<<<<<<
第二章
实数
二次根式（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.二次根式：一般地，形如
的式子叫作二次根式，
叫作被开方数。
2.二次根式的乘法法则：
a·b=
(a
0,b
0)。
3.二次根式的除法法则：
a
(a
0,b
0)。
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.当a=一2时，二次根式√2-a的值为(
)。
A.2
B.√2
C.士√2
D.±2
2.如果√3一x是二次根式，那么x应满足的条件是()。
A.x≠3
B.xs3
C.x≥3
D.x>0且x≠3
3.计算√（一3）的结果是(
)。
A.-3
B.3
C.-9
D.9
4.下列各式，一定有意义的是()。
A.√a
B.√x3+1
C.√1-x
D.√/2x2+1
5.当x=
时，√5十x的值为0。
6.如果一个无理数a与√8的积是一个有理数，写出a的一个值是
7.计算：
1(v4o-√层)×vm
?人年级上R
(2)V27+12
3
(3)(7+√3)（√7-√3）-√16。
强化提高
8.下列计算正确的是()。
A.√25=士5
B.W2X√5=10
C.√2X8=16
D.(2√3)2=6
9.计算6÷2×√2
的结果是()。
A.4
B.2
C.√7
D.±2
10.计算(2十√3)(W3一2)的结果是()。
A.1
B.0
C.-1
D.-7
11.计算：
1
1)V4压÷5×3：
(2)35X23
√5
(3)(2√3-1)2；
一2
<<<<<<<<
第二章实数
(6)1⑧-6-V25.
②
12.一个直角三角形的两直角边长分别是(3一√2)cm和(3十√2)cm。求这个三角形的面积
和周长。
课堂延伸·捉升素养
13.【数学应用】在初中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当
分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化。比如：
(1)2=2×323
√3√5X√3
3
2
(2)
2(3-1)=2(5-1D=5-1.
3+1(3+1)(V3-1)
2
试试看，你能将下列各式进行化简吗？
(1)1
2
(2)1
√2+1
(3)1
1
1+√2√2+√3
-3一
参考答案
课堂精要·梳理内容
1.a(a≥0)a2.ab≥≥3.√6
≥>
课堂精练·发展能力
1.A2.B3.B4.D
5.-56.√2（答案不唯一）7.(1)18(2)3(3)0
8.B9.B10.C
1.1w5(26v5(313-45(42-1(5)-5-212.7cm.(6+V2)cm
课堂延伸·提升素养
13.解：(1)1=1×2=2
√2√2X√2
28
1
√2-1
2+12+1)2-D-v2-1.
(2)
(3)因为，1
√2-1
=2-1=2-1,
1+√2(1+√2)(W2-1)2-1
1
√3-√2
=B-2=3-2,
√2+√3(w2+√3)(3-√2)3-2
1
⑨-√⑧
-⑨-8=-⑧，
V8+√9(w8+√5)(9-√8)9-8
所以原式=(W2-1)十(W3-√2)十（√4一√3）+…十(5-√⑧)
=√2-1十3-√2+√4-√3+…十9-√8
=√9-1
=3-1
=2

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