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第四章一求函数
认识一次函数（第1课时）
课堂精要·梳理内容
所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是
的。
思爱骄装·发及和刀
基础巩固
1.百货大楼购进了一批花布，出售时要在进价的基础上加收一定的利润，其长度x()与售
价y(元)的部分对应关系如下表所示，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是
()。
长度x/m
3
售价y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2…
A.y=8x+0.3
B.y=(8+0.3)x
C.y=8+0.3x
D.y=8+0.3+x
2.为了测试一种皮球的弹跳高度与下落高度之间的关系，通过试验得到下列一组数据（单
位：cm).
下落高度/cm
￥0
50
80
100
150
弹跳高度/cm
2
25
o
50
75
在这个问题中，如果该皮球的下落高度为180cm,估计相应的弹跳高度为()。
A.90 cm
B.85 cm
C.80 cm
D.100 cm
3.汽车由北京驶往相距120km的天津，它的平均速度是30km/h,则汽车距天津的路程s
(km)与行驶时间t(h)之间的关系式及自变量的取值范围是()。
A.s=120-30t(0≤t4)
B.s=30t(0≤t≤4)
C.s=120-30t(t>0)
D.s=30t(t=4)
4.学校食堂按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，若用x表示餐桌的数量，y表示椅子的数
量，请你写出椅子数y(把)与餐桌数x(张)之间的关系式：
(第4题)
5.某地出租车的收费标准是：起步价10元（即行驶距离不超过3km需付费10元），超过
3km以后，每增加1km加价2元（不足1km按1km计算）。那么当行驶距离为5.4km
时，乘客需要支付的车费为
元。
学人车级上品
6.某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润。下表记录了销售数量x(个)与
售价y(元)的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是
销售数量x/个
1
2
5
售价y/元
3+0.26+0.49+0.612+0.815+1
7.汽车开始行驶时，油箱内有油40L,如果每小时耗油5L,那么油箱内剩余油量Q(L)与行
驶时间t(h)之间的关系式为
强化提高
8.如图，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有
盆花，每个图案的花盆总数是S,按此推断S与n之间的关系式为()。
=2,S-3
=3,S-6
(第8题)
A.S=3n
B.S=3(n-1)
C.S=3n-1
D.S=3n+1
9.如图，某人驱车在离A地10km的P地出发，向B地匀速行驶，30min后离P地50km,
设出发xh后，汽车离A地ykm(未到达B地前)，则y与x之间的关系式为()。
A P
B
(第9题)》
A.y=50.x
B.y=100x
C.y=50x-10
D.y=100x+10
10.一支蜡烛长20cm,每分钟燃烧的长度是2cm,蜡烛剩余长度y(cm)与燃烧时间x(min)
之间的关系式为
1l.周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的关系式为
,自
变量的取值范围是
12.如图，正方形ABCD的边长为4，点P是正方形边上的一个动点，以C为起点，沿C-B
A的路径移动，设点P经过的路径长为x,△APD的面积为y,则y与x之间的关系式
为
(第12题)
-2
一第四章 一次函数
2 认识一次函数（第1课时）
一、学习任务分析
数学是研究变化中的不变关系，函数是刻画变化中不变关系的直接工具，它既是一种思维方式，也是一种数学工具。认识一次函数的内容分为3个课时，它们的主要关系如下：
本课时为第1课时，主要是通过对实际问题的分析，理解“均匀”变化，感悟线性关系。
从教材呈现的位置分析，本节课的内容位于“函数概念”之后和“一次函数概念”之前，其核心是加深对“一次函数”与“函数”关系的理解，为下一课时定义一次函数作思维铺垫；从教材内容来看，以凸显“均匀”变化的生活实例为载体，其核心是通过分析实例中的变化特征，理解“均匀”变化，进而理解一次函数“变化率恒定”的本质；从素材呈现方式来看，通过采用操作、思考、交流等活动形式，让学生经历“用数学的眼光观察现实世界”的过程，进而深层次地理解函数是描述现实世界事物变化规律的重要模型。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经理解了“常量”与“变量”等基础概念，并熟练掌握了代数式的运算以及表示变量之间关系的方法等相关技能。同时，学生对“函数”以及“函数值”等概念有了初步的认识，并能够运用表格、图象和关系式等多种方式表示函数。学生已经理解了函数概念的“整体性”，但对其“特殊性”理解不深，还未了解“变化特征”的概念，未建立特定变化特征与特定函数之间的内在联系。
学生的活动经验基础：函数是常量数学向变量数学过渡的重要载体，学生们已掌握分析现实情境中数量关系、描述变量间关系的能力。在实践探究的学习模式下，学生已经积累了收集、整理、分析数据的丰富经验。然而，学生在将生活问题抽象化为数学问题的过程中，缺乏足够的观察能力与表达能力。现阶段学生的学习愿望较强，并勤于动手、乐于表达自我；学生已具备良好的合作交流习惯和分享表达能力；在思维方面，学生展现出较强的活跃性，其抽象思维能力正处于逐渐形成但尚未达到成熟的阶段。
三、教学目标
1.理解“均匀”变化的概念，掌握判断某一变化是否遵循“均匀”变化规律的方法。
2.经历收集数据、整理数据的活动过程，积累将生活问题数学化的经验，理解函数是描述现实世界事物变化规律的重要数学模型。
3.在交流分享中，了解“均匀变化的程度”在表格、图象和关系式中的直观体现，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力。
4.初步培养基于科学数据进行分析问题、解决问题的良好习惯，强调以事实为依据的思维方式。
教学重点：理解“均匀”变化的概念，掌握判断某一变化是否遵循“均匀”变化规律的方法。
教学难点：理解“均匀”变化的概念。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入
1.活动内容
（1）教师给出如下信息：
第四十七届联合国大会作出决议，确定每年的3月22日为“世界水日（World Water Day）”。1988年，《中华人民共和国水法》颁布后，水利部即确定每年的7月1日至7日为“中国水周”，考虑到世界水日与中国水周的主旨和内容基本相同，因此从1994年开始，“中国水周”的时间改为每年的3月22日至28日。2019年4月，经中央深改委审议通过的《国家节水行动方案》印发实施，标志着节水上升为国家意志和全民行动。据调查，2020年，我国人均生活用水量为：城镇（含公共用水）207L/d，农村100L/d。节约用水，人人有责，在生活中做好每一件小事，用行动践行节约用水。
（2）提出问题：一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
2.活动目的
将教材中的问题引入置于合适的背景下呈现，既能与德育进行融合，也可以使学生感受研究此问题的现实价值。
3.注意事项
为解决这个问题，可以提前将学生分组，要求每小组在课前完成以下任务：
将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出(t，V)对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？
时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
漏水量V/mL
布置任务后，为保障实验效果，教师要指导学生合理设置水龙头的滴水速度，同时要对学生收集数据的过程进行指导，一是给予方案可行性判断的标准，如数据收集方案是否可行？估算方法（数据的精度选择）是否科学？二是给予收集数据工具的选择，如烧杯、量筒等；三是给予采集的数据准确性的判断，如怎样判断数据是否存在较大误差？误差较大的数据如何处理？出现较大测量误差的原因是什么？如何优化实验减小测量误差？
在此环节，教师需要对学生提出的要求是：在真实的实验过程中收集数据，在具体的实验操作中积累经验。
【第二环节】数据分析
1.活动内容
操作·思考
（1）各小组展示课前完成的任务，汇报各自收集到的数据，以及在坐标纸上描出的（t，V）对应点的图象，并据此估计：自己小组实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
（2）分析自己组的实验数据，你能写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？
（3）不同组的实验结果有何异同？
2.活动目的
在具体情境中认识“均匀”变化，感悟线性关系。本环节的设计在学生深化函数概念的理解，体会自变量与因变量之间的关联，以及熟悉函数的三种表述形式等方面均具有重要意义。在辨识共性特征时，通过对表格数据的分析，学生可以初步认识到在单位时间漏水量恒定的情境下，水量的递增呈现出均匀变化特性；借助对关系式结构的剖析，学生能够初步领悟此类变化规律可通过特定代数式加以表达；而通过对图象特征的解读，学生则可以初步感知此类变化规律在图象上的独特展现。在进行归因分析时，此举不仅深化了对一次函数的理解，还直观揭示了其“均匀”变化的本质特征，经历借助表格、图象和关系式这三种不同表示方式表达相同的对应关系的过程，让学生对内在一致性有了更深刻的认识。
3.注意事项
（1）教师提炼各组展讲要点，整合各组展讲内容，明晰各组展讲维度（如单位时间漏水量、漏水量V与时间t之间的关系式、平面直角坐标系中（t，V）对应点的分布特征、漏水量变化规律等）。
（2）在教学活动的设计上，应引导学生首先进行同组数据的深入分析，随后再进行不同组数据之间的细致观察，以便从中提炼出共同点。对于共同点的观察，应特别聚焦于相同时间间隔内数据变化的一致性，即进行等差特性的观察与分析。同时，在描述情境中的“均匀”变化时，教师应指导学生运用简洁明了的语言进行表达。
（3）没有条件开展课前实验的班级，可以在本环节采用教材呈现的小明的实验数据，利用小明的数据观察、描点、估算，写出V与t的关系，并分析如果自己做实验，实验结果是否会与小明的一致？教师也可以自己做一下课前实验，把收集的数据用于在教学中与小明数据进行观察和比较。
【第三环节】寻找异同
1.活动内容
思考·交流
分享各组的实验结果，并交流下列问题：
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处？
（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面？
（3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化？为什么？
2.活动目的
本环节让学生通过分享感受更多的线性关系，形成对线性关系更全面的认识。学生通过充分的比较、分析，认识“均匀”变化，感悟线性关系，体会关系式中的系数对表格、图象的影响。
3.注意事项
（1）各组实验数据不同，在分析比较时，可以借助表格、图象等不同表示方式进行异同点的比较分析。
（2）在进行原因分析时，应鼓励学生充分比较，大胆分析原因，并结合不同组的数据判断寻找的因果关系是否正确。
【第四环节】类比应用
1.活动内容
操作·思考
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：
燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
（2）估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式。
思考·交流
在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流。
2.活动目的
通过燃香实验的“操作·思考”，让学生进一步感受线性关系，丰富学生对线性关系的实际体验。通过与“水龙头滴漏问题”进行对比，让学生感知“均匀”变化包括“均匀增加”和“均匀减少”，即斜率可正可负，也可以让学生感知初始量可以非零。
通过“思考·交流”引导学生进一步思考燃香实验中变量之间关系呈现线性关系的内在原因，积累分析、判断线性关系的经验。
3.注意事项
本环节的“操作·思考”部分，鼓励学生先自己完成，然后由教师进行点评指导。“思考·交流”部分要结合生活实际中的具体情境，剖析产生“均匀”变化的原因，使学生能够更好地认识生活中的“均匀”变化现象。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）师生共同交流总结，归纳“均匀”变化的规律；一个变量增加固定的数值时，另一个变量的变化量是相同的。
（2）总结归纳对“均匀”的解读，以及“均匀”在表格、图象和关系式等表示方式中的体现。
2.活动目的
回顾并深化对“均匀”变化规律的理解，使学生能够透彻地把握其内在含义，并敏锐地捕捉到“均匀”变化在外部世界中的具体表现。同时，通过本次活动，学生能够认识到“均匀”变化的函数作为一类具有特殊性质的函数，在数学领域中占据着重要的地位。
3.注意事项
鼓励采用多样化的总结方式，如引导学生主动分享符合“均匀”变化特征的实例等，以加深对知识点的记忆和理解。此外，还需引导学生保持清晰、准确的语言表达，以确保信息传递的准确性和有效性。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）根据下列信息，判断是否为“均匀”变化。
①
自变量x 0.5 1 1.5 2 2.5 …
因变量y －1 －1.8 －2.6 －3.4 －4.2 …
②
③。
（2）“驱蚊线香可燃烧时间”问题中，为什么香的可燃烧部分的长度会“均匀”变化？
（3）生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
2.活动目的
会通过表格、图象和关系式判断某变量之间的变化是否“均匀”；能够在情境中分析变化是否“均匀”的现实原因；能够将对“ 均匀”变化的理解迁移到生活情境之中。
3.注意事项
用表格、图象和关系式表示时，每一类中若出现多组数据，数据要易于比较；对“驱蚊线香的燃烧”为什么会“均匀”的分析要全面；对“均匀”变化所举例子可结合现实生活。
五、教学设计反思
1.学习重点的选择
本节课聚焦于基本技能、基本思想方法及基本活动经验的传授，对基本知识的涉及相对较少。因此，在教学过程中，应重点提升学生在具体实践操作中的感知与表达能力。为达成此目标，教师需要为学生提供更多手脑并用的机会，例如，在观察表格、图象及关系式的特征时，鼓励学生边写、边画、边阐述，以此深化理解并巩固所学内容。
2.学习难点的突破
本节课的难点聚焦于深入理解并精确描述变化过程中的“均匀”特性。在实验操作环节中，首先，让学生通过观察数据的变化规律，初步感知其独特性质；随后，通过详尽的数据分析，揭示并认识“等差”这一核心规律；最终，借助标准化的语言表述模式（如以固定时间间隔增加固定数值），准确传达此规律，以加深学生对“均匀”变化的理解。在教学过程中，教师应当树立典范，提供规范的语言模型供学生参考，并注重引导学生形成严谨、准确的表达习惯。
3.课堂活动的选择
课堂活动的设计理念为“教师主导、学生主体”，旨在构建一种“分享·创生”型的课堂教学模式。该模式的核心课堂活动包括课前调查、小组展示、合作交流等，这些活动均要求学生展现出探索的欲望、合作的意识、表达的勇气以及分享的习惯。
若学生因客观条件限制无法自主完成课前调查，教师可以主动提供相关数据，但在提供数据的同时，应重视展示数据收集的过程，如通过播放过程性视频等方式，使学生了解数据的来源。
在小组展示环节，教师应积极鼓励并引导学生参与，通过设定明确的任务、提供必要的支持以及给予及时的反馈，激发学生的参与热情，确保每位学生都能在活动中发挥积极作用，共同促进课堂目标的实现。
4.学生能力的培养
培养学生“用数学的眼光观察现实世界”的能力。素材要尽可能地来源于生活，且具有一定的现实价值，旨在使学生深刻认识到数学与现实生活之间的紧密联系，进而体会到数学的实际价值。
在教学过程中，教师要着重引导学生进行观察活动，具体包括在同一组数据中辨识出共性的元素（即变化过程中保持不变的量），以及在不同组别间捕捉差异性特征（即在不变之中探寻变化之处）。此外，教师还可以通过创设新颖的情境进行观察示范，随后呈现相似的情境，鼓励学生自主观察，进一步锻炼学生的数学观察能力。
5.可改进的方面
鉴于教学时间的限制，数据收集工作需提前进行。然而，在此过程中生成的内容未能得到及时处理。为了弥补这一不足，在教学过程中可以合理引入现代教学技术，以增强科学实验的教学效果。(共10张PPT)
第四章 一次函数
2 认识一次函数（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
情境引入
第四十七届联合国大会作出决议，确定每年的3月22日为“世界水日（World Water Day）”。1988年，《中华人民共和国水法》颁布后，水利部即确定每年的7月1日至7日为“中国水周”，考虑到世界水日与中国水周的主旨和内容基本相同，因此自1994年开始，“中国水周”的时间改为每年的3月22日至28日。2019年4月，经中央深改委审议通过的《国家节水行动方案》印发实施，标志着节水上升为国家意志和全民行动。据调查，2020年，我国人均生活用水量为：城镇（含公共用水）207L/d，农村100L/d。节约用水，人人有责，在生活中做好每一件小事，用行动践行节约用水。
一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流。
思考
将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯。每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表。在坐标纸上描出（t，V）对应的点。你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少
时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
漏水量V/mL
【操作·思考】
情境引入
数据分析
【操作·思考】
（1）各小组展示课前完成的任务，汇报各自收集到的数据，以及在坐标纸上描出的（t，V）对应点的图象，并据此估计：自己小组实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？
（2）分析自己组的实验数据，你能写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？
（3）不同组的实验结果有何异同？
寻找异同
【思考·交流】
分享各组的实验结果，并交流下列问题:
（1）比较各组的实验数据与结果，有什么共同之处，又有什么不同之处
（2）引起各组数据不一致的因素有哪些？这些因素的差别对表格、图象和关系式的影响分别体现在哪些方面
（3）假如水龙头漏水严重一些，表格、图象和关系式可能会发生什么变化 为什么
类比应用
为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下:
（1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出（t，l）对应的点。
（2）估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由。
（3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由。
（4）试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式。
限时：4 min。
燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 …
香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 …
【操作·思考】
类比应用
在小颖的实验中，燃烧时间每增加1 min，香可燃烧部分的长度就减少0.5 cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢 与同伴进行交流。
【思考·交流】
课堂小结
特殊的变化规律——均匀变化。
特殊的函数—— 一次函数 。
表示方式（表格、图象和关系式）的特殊性。
即将学习
布置作业
1. 根据下列信息，判断是否为“均匀”变化。
（1）
（2）
2. “驱蚊线香可燃烧的时间”问题中，为什么香的燃烧会“均匀”变化？
3. 生活中还有哪些“均匀”变化的现象？试举两例。
自变量x 0.5 1 1.5 2 2.5 …
因变量y －1 －1.8 －2.6 －3.4 －4.2 …
（3） 。
谢谢

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