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第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第1课时）
一、学习任务分析
本单元的教学主线是“实际问题情境—建立函数以及一次函数模型—探索一次函数及其图象的性质—利用一次函数及其图象解决现实问题”，其中“一次函数的图象”这一节的学习任务主要是研究一次函数的图象以及有关性质，即熟练画出一次函数图象，掌握一次函数及其图象的简单性质，同时通过画图过程初步了解画函数图象的一般步骤，为后续探索其他函数的图象奠定知识基础。
在本节教学中，教材主要采用了从特殊到一般、由简单到复杂的研究方法，因此本节第一课时研究正比例函数的图象及性质，第二课时研究一般的一次函数的图象及性质。本课时主要解决两个问题：一是正比例函数图象的绘制方法及其共性特征；二是不同正比例函数的差异性特征（如增减趋势、变化速率等）及其图象表现。
本节课具体的学习任务是经历画正比例函数图象的过程，初步了解画函数图象的一般步骤，探索并理解正比例函数图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图象；根据图象和表达式y=kx（k≠0），探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况，理解k对函数增减性的影响，并能从图象上识别其特征，总结归纳正比例函数及其图象的简单性质。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生在本节课之前已经学习了函数、正比例函数和一次函数的概念，能够根据条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式，具备了研究一次函数及其图象性质的知识基础。同时，在七年级下册“变量之间的关系”一章，学生已通过表格、关系式和图象等多种方式，初步建立了对变量之间关系的认知，这为后续研究函数图象奠定了重要基础。
学生活动经验基础：在七年级下册“变量之间的关系”一章，学生充分经历了对图象所表示的变量关系的讨论，用语言描述图象所表示的变量的变化过程，积累了分析图象的经验，发展了对图象的理解能力、从图象中获取信息的能力和有条理地进行表达的能力，为研究一次函数的图象积累了研究经验，奠定了能力基础。
三、教学目标
1.经历正比例函数图象的画图过程，初步了解画函数图象的一般步骤；
2.根据图象和表达式y=kx（k≠0），探究k>0和k<0时图象的形状、位置及增减性变化规律，理解k对函数增减性的影响及对应的函数图象特征，运用数形结合的方法进行分析，发展观察、思考问题的意识和能力，培养几何直观。
3.能熟练画出正比例函数的图象，掌握正比例函数及其图象的简单性质。
教学重点：掌握正比例函数及其图象的简单性质。
教学难点：探索并理解k>0和k<0时图象的特征。
四、教学过程设计
【第一环节】情境引入，提出问题
1.活动内容
如图，该图象反映了摩天轮上某一点离地面的高度h（单位：m）与旋转时间t（单位：min）之间的关系，借助图象可以直观地认识函数。
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
提出问题：一次函数y=kx+b的图象是怎样的呢？
作出猜想：教师引导学生回顾前面已经描点连线的函数：V=5.5t，l=22.9－0.5t，猜想一次函数的图象是一条直线。
引发探究：通过前面学习的具体实例，我们直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！
2.活动目的
引入新课，帮助学生理解函数图象能直观呈现变量间的关系和变化趋势，理解函数图象的概念，引发学生对一次函数图象形状的好奇和探究。
3.注意事项
教师需要结合实例帮助学生理解函数图象的概念，通过问题自然引发学生对一次函数图象的好奇。整个环节遵循“提出问题—进行猜想—探究验证”的思维过程。
【第二环节】作图探究，验证图象
1.活动内容
（1）操作·思考
画正比例函数y=2x的图象。
提出问题：如何画正比例函数y=2x的图象？
教学过程：教师引导学生一边分析函数图象的定义，一边经历“列表—描点—连线”绘制正比例函数图象的过程。
列表：首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。
思考：列表时，可以选取自变量x的哪些值呢？x可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？
x … －2 －1 0 1 2 …
y … －4 －2 0 2 4 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。
连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象，它是一条直线。
思考：①这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？
教师引导学生依次把这5个点连起来，从图象上可以观察到线段是共线的。
教师用数学软件绘图，再绘制10个满足y=2x的点，依次连接各点，引导学生观察这些点，发现它们在一条直线上。
思考：②其他满足y=2x的点（x，y）也在画出的直线上吗？请在平面直角坐标系中任意画两个坐标满足y=2x的点，看它是否也在这条直线上，和同伴交流你的发现。
总结：正比例函数y=2x的图象是一条直线。画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线。
（2）思考·交流
画正比例函数y=－3x的图象。
仿照前面画图经验，按照“列表、描点、连线”的步骤，建立平面直角坐标系，画出y=－3x的图象。教师在学生作图过程中进行巡视，并对学生作图过程中存在的问题进行及时指导。
提出问题：正比例函数y=2x和y=－3x的图象有什么共同特点？一般地，正比例函数y=kx的图象有何特点？与同伴进行交流。
教师引导学生从图象的形状和位置等角度观察图象，初步感知正比例函数图象的形状是一条直线，并且经过原点，从而归纳得出正比例函数y=kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。
反思画图：如何更快地画出正比例函数y=kx的图象呢？
因为正比例函数的图象是一条直线，两点可以确定一条直线，所以画正比例函数的图象时，只需要再确定一个点，例如（1，k），过这个点和原点画直线就可以了。
2.活动目的
通过让学生经历描点画图的过程，使学生初步了解画函数图象的一般步骤，让学生在画图并探究函数图象性质的过程中，亲身感受正比例函数的图象是一条直线。在设问时，通过引导学生思考图象上的点和满足函数关系式的点之间的对应关系，帮助学生更好理解正比例函数图象是一条直线，理解函数图象和函数表达式的对等关系，为后续学习一次函数、二元一次方程组等知识奠定认知基础，同时发展学生的数形结合意识和几何直观素养。
3.注意事项
教师在课堂上要让学生充分经历描点画图的过程，表达自己对图象的认识，教师通过问题引导学生重点观察图象的形状与位置，以此渗透研究函数的一般方法，同时引导学生从形和数两个方面理解正比例函数图象是一条直线，发展学生数形结合的意识和能力。
【第三环节】研究图象，归纳性质
1.活动内容
（1）尝试·思考
①在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y=x，y=3x，，y=－4x的图象，并分析y=kx中k对函数图象的影响。
教学过程：教师引导学生按照只算一个点坐标，再画该点和原点所在直线的方式来画正比例函数图象，快速画好4个函数图象，然后引导学生思考下面的问题。
②上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？
教师引导学生在函数图象上任取3个点，观察随着横坐标x的增大，这三个点的纵坐标y如何变化，从而得到函数因变量y的值随自变量x值变化而变化的趋势：函数y=x和y=3x中，y的值随着x值的增大而增大；函数y=－4x和中，y的值随着x值的增大而减小。
教师利用数学软件绘制正比例函数图象，通过改变k的值，引导学生发现k对函数y=kx图象的影响。
归纳：在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大；当k<0时，y的值随着x值的增大而减小。
（2）思考·交流
①正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大，y的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能解释其中的道理吗？
②类似地，正比例函数和y=－4x中，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流。
③通过函数表达式y=x，y=3x，，y=－4x能说明上述结论吗？
教师引导学生分别从形和数两个角度认识函数值增减速度与 |k| 的内在关系。先从图象上观察，|k| 越大，直线越陡，相应函数值上升或下降得越快。同时，教师可利用数学绘图软件动态演示改变参数k的值时（分别针对k > 0 和k < 0 的情形）函数图象的变化过程，辅助学生理解变化规律。再从函数关系式来看，x每增加或减少1，y的值就增加或减少 |k|，|k| 越大，相应函数值增大或减小得就越快。
归纳：|k|越大，相应函数值增大或减小得越快。
2.活动目的
通过让学生在同一平面直角坐标系中画出若干正比例函数图象，让学生掌握画正比例函数图象的方法；通过观察和比较k值不同的正比例函数图象，归纳正比例函数中 |k| 对函数增减性的影响，落实本节课的知识性目标，同时发展学生的几何直观，让学生从数和形的角度认识函数值增减速度与 |k| 的内在关系，培养学生数形结合的意识和能力。
3.注意事项
教师在设计问题时，要引导学生把函数图象特征解析成变量的对应关系和变化规律，按照“图象→图象上点的运动规律→图象上动点的坐标变化规律→函数增减性规律”的顺序逐步形成对图象的数量化解析。在分析图象的过程中，一要看自变量的变化，如自变量增大→对应图象上点的横坐标增大→图象上点向右移动；二要看图象上每个点对应的函数值的变化，即当自变量（横坐标）增大时，函数值（纵坐标）怎样变化。分析图象时，引导学生用运动的观点观察图象。
【第四环节】应用性质，解决问题
1.活动内容
学生独立作图，教师巡视进行指导，让学生回答y随x的变化情况。
例 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数，，和的图象，并指出随着x值的增大，y的值分别如何变化。
随堂练习
下列正比例函数中，y的值随着x值的增大而减小的有哪些？你是怎么判断的？
① y=8x；② y= 0.6x；③；④。
2.活动目的
通过例题，让学生进一步熟悉画正比例函数图象的方法，掌握正比例函数图象的性质，培养学生数形结合的意识和能力。随堂练习考察k的正负与函数增减性的关系，是本节课的重点。
3.注意事项
教师要给学生预留充足的时间独立完成随堂练习。教师对题目进行讲评时，可以让学生充分表达思考过程。在回答解题思路的过程中，不断巩固对正比例函数图象的性质的理解。
【第五环节】课堂小结，学后反思
1.活动内容
学生思考总结回答，教师对不足的地方进行补充和强调。
通过本节课，你会画正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象吗？
你能说出正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象特征吗？k对函数增减性和增减速度有什么影响？
小结：（1）画正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象，只需要画出其中一个点（非原点），例如（1，k），然后过这个点与原点画直线即可。
（2）正比例函数图象的性质总结如下：
函数 y=kx(k>0) y=kx(k<0)
图象 过原点的直线，位于第一、三象限 过原点的直线，位于第二、四象限
增减性 y的值随着x值的增大（减小）而增大（减小） y的值随着x值的增大（减小）而减小（增大）
增减速度 |k|越大，函数值增大得越快 |k|越大，函数值减小得越快
2.活动目的
通过提问的方式，引导学生回顾和总结本节课的知识与收获，加深对本节课知识的理解，养成“学习—总结—反思”的良好学习习惯，发挥自我评价的积极作用，进一步培养学生的数学表达能力。
3.注意事项
教师要通过问题引导学生思考总结，让学生充分表达，及时给予适当的肯定，对不足的地方进行及时补充和强调。同时，把重点内容在课件上进行投放或者在黑板上进行板书，进一步强化学生的理解和记忆。
【第六环节】课后思考，拓展提升
1.活动内容
小明是这样理解“函数y=x的图象是一条经过原点的直线”的：如图，当x=0时，y=0，所以原点（0，0）在函数y=x的图象上；当x=t时，y=t，即MN=ON，∠ MON=45°，而这个结论对任意的t值都成立，所以函数y=x的图象是一条经过原点、与横轴成45°角的直线。请你解释他的想法。
2.活动目的
通过本题帮助学生从几何的角度理解正比例函数图象是一条直线，同时将直线与特殊的直角三角形建立起联系，发展学生数形结合的思想。
3.注意事项
教师要让学生充分表达思考过程，包括书面表达和口头表达。
五、教学反思
1.学习活动的设计注重数形结合与几何直观，发展学生核心素养
本节课学生在画正比例函数图象探索函数性质的过程中，按照“图象—图象上的点—图象上点的坐标变化规律—函数自变量与因变量之间的变化关系—函数增减性”的研究顺序，由函数图象特征得出函数性质，实现了对图象的数量化分析，通过观察 |k| 的大小与直线倾斜程度的关系，归纳出 |k| 对函数增减速度的影响。通过以上学习活动，培养学生数形结合地解决问题的意识和能力，发展学生的几何直观。
2.巧用信息技术设计探究活动，提升探究学习效率
本节课第三环节“研究图象，归纳性质”中，教师先设计活动1让学生通过画出4个具体的正比例函数图象，对比观察y随x变化而变化的趋势与k的关系，再归纳正比例函数图象的性质。在此过程中，学生不免有疑问“其他正比例函数是否也有这样的性质？”因此，教师在活动2中巧用信息技术创新探究活动形式，通过数学软件绘图实现了在动态改变k值的同时，实时绘制出对应的正比例函数y=kx的图象，让学生能更直观地观察k的变化对函数图象的影响，从而归纳并理解正比例函数图象的性质。
3.可以根据学生学情进行教学调整
本节课容量偏大，对于一般班级，可以去掉通过函数表达式理解k对函数增减速度的影响，第四环节中的随堂练习可以作为课后练习。
对于学有余力的学生，教师在本节课画函数图象探究性质的过程中，还可以引导学生体会利用函数图象研究函数增减性的基本思路，即“描点画图—观察图象形状及坐标变化特征—函数增减性”。教师还可以引导学生从“数”的角度理解函数图象的特征和性质，即随着自变量的增加，一次函数的函数值是“均匀”变化的，据此理解函数图象是一条直线；通过正比例函数y=kx中“x每增加1，y的值增加k”理解 |k| 越大，函数值增大或减小得越快。(共27张PPT)
第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第1课时）
北师大版 数学 八年级上册
情境引入，提出问题
如图，该图象反映了摩天轮上某一点离地面的高度h（单位：m）与旋转时间 t（单位：min）之间的关系，借助图象可以直观地认识函数。
情境引入，提出问题
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。
情境引入，提出问题
在前一节的学习中，我们已经通过几个具体实例直观感受到一次函数的图象好像是一条直线，真是这样吗？我们先从简单的正比例函数图象开始探究吧！
一次函数 y＝kx＋b 的图象是怎样的呢？
作图探究，验证图象
列表：首先需要选取一些自变量的值，并将自变量的值及其对应的函数值用表格表示。
x … －2 －1 0 1 2 …
y … …
－4
－2
0
2
4
思考：列表时，可以选取自变量x的哪些值呢？x可以取0吗？可以取正数吗？可以取负数吗？
【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。
描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在平面直角坐标系中描出相应的点。
作图探究，验证图象
思考：
（1）这些点真的在一条直线上吗？你能画出这条直线吗？
【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。
连线：把这些点依次连接起来，得到y＝2x 的图象（如图），它是一条直线。
作图探究，验证图象
老师用数学软件绘图，多取一些满足 y＝2x 的点(x，y)，依次连接各点。
【操作·思考】画正比例函数 y＝2x的图象。
作图探究，验证图象
思考：
（2）其他满足y＝2x的点（x，y）也在画出的直线上吗？请在平面直角坐标系中任意画两个坐标满足y＝2x 的点，看它是否也在这条直线上，和同伴交流你的发现。
描点法画函数图象的步骤
列表
描点
连线
选取一些自变量的值，求出其对应函数值并用表格表示。
在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出表格中对应的各点。
把这些点依次连接起来。
作图探究，验证图象
小结
仿照前面画图经验，按照“列表、描点、连线”的步骤，建立平面直角坐标系，画出
y＝－3x的图象。
作图探究，验证图象
【思考·交流】画正比例函数y＝－3x的图象。
作图探究，验证图象
思考：
（1）正比例函数y＝2x和y＝－3x的图象有什么共同特点？
（2）一般地，正比例函数y＝kx的图象有何特点？与同伴进行交流。
作图探究，验证图象
正比例函数的图象特点
小结
正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。
在同一平面直角坐标系中画出正比例函数 y＝x，y＝3x， 和 的图象。
x 0 1
y＝x 0 1
y＝3x 0 3
y＝x 0
y＝4x 0 4
由于两点确定一条直线，所以画正比例函数图象时，我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可。
两点
作图法
研究图象，归纳性质
【尝试·思考】
研究图象，归纳性质
思考：
上述四个函数中，随着x 值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？
函数图象 x y
y＝x 增大
y＝3x 增大
y＝x 增大
y＝4x 增大
增大
增大
在正比例函数y＝kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
x逐渐增大
y逐渐增大
函数图象 x y
y＝x 增大
y＝3x 增大
y＝x 增大
y＝4x 增大
研究图象，归纳性质
在正比例函数y＝kx中：
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小。
x逐渐增大
y逐渐减小
减小
减小
增大
增大
思考：
上述四个函数中，随着x 值的增大，y的值分别如何变化？相应图象上的点的变化趋势如何？
研究图象，归纳性质
利用数学软件绘制正比例函数的图象（如图），并通过改变 k的值发现 k 对函数图象的影响。
y＝kx
图象
经过的象限
增减性
研究图象，归纳性质
正比例函数的图象性质
小结
第一、三象限
第二、四象限
y的值随着x值的增大而增大
y的值随着x值的增大而减小
k>0
k<0
研究图象，归纳性质
（1）正比例函数 y＝x 和 y＝3x 中，随着 x 值的增大，y 的值都增大了，其中哪一个增大得更快？你能解释其中的道理吗？
（2）类似地，正比例函数 和
中，随着 x 值的增大，y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？与同伴进行交流。
【思考·交流】
研究图象，归纳性质
|k| 越大，直线与 x 轴的夹角（锐角）就越大，直线越陡，相应函数值增大或减小得越快。
y＝kx
图象
经过的象限
增减性
增减速度
k>0
k<0
研究图象，归纳性质
正比例函数的图象性质
小结
第一、三象限
第二、四象限
y的值随着x值的增大而增大
y的值随着x值的增大而减小
|k|越大，函数值增大得越快
|k|越大，函数值减小得越快
应用性质，解决问题
例 在同一平面直角坐标系中画出正比例函数y＝x，y＝x，y＝－x和 y＝－x 的图象，并指出随着 x 值的增大，y 的值分别如何变化。
解：对于 y＝x 和 y＝x，y 的值随着 x 值的增大而增大；
对于 y＝－x 和 y＝－x，y 的值随着 x 值的增大而减小。
y＝x
y＝x
y＝-x
y＝-x
应用性质，解决问题
随堂练习：下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的有哪些？你是怎么判断的？
（1）y＝8x；（2）y＝－0.6x；（3） ；（4） 。
解：y 的值随着 x 值的增大而减小的有（2）y＝－0.6x；（4） 。
描点法画函数图象的步骤
列表
描点
连线
选取一些自变量的值，求出其对应函数值并用表格表示。
在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中对应的各点。
把这些点依次连接起来。
课堂小结，学后反思
小结1
课堂小结，学后反思
正比例函数的图象特点
小结2
正比例函数y＝kx的图象是一条经过原点（0，0）的直线。
因此，画正比例函数图象时，只要再确定一个点，过这个点与原点画直线就可以了。
y＝kx
图象
经过的象限
增减性
增减速度
k>0
k<0
课堂小结，学后反思
正比例函数的图象性质
小结3
第一、三象限
第二、四象限
y的值随着x值的增大而增大
y的值随着x值的增大而减小
|k|越大，函数值增大得越快
|k|越大，函数值减小得越快
课后思考，拓展提升
小明是这样理解“函数 y＝x 的图象是一条经过原点的直线”的：如图，当 x＝0 时，y＝0，所以原点（0，0）在函数 y＝x 的图象上；当 x＝t 时，y＝t，即MN＝ON，∠MON＝45°，而这个结论对任意的 t 值都成立，所以函数 y＝x 的图象是一条经过原点、与水平方向成 45°角的直线。请你解释他的想法。
谢谢<<<<<<<<
第四章一次函数
·次函数的图象（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.函数图象
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的
和
,在
平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的
画函数图象的一般步骤：
2.正比例函数y=k.x的图象和性质
图象是一条经过(0，)和(1，)的直线。
当k>0时，y的值随着x值的增大而
;当k<0时，y的值随着x值的增大而
越
,直线越陡，相应的函数值增大或减小得越
越
,直线越平缓，相应的函数值增大或减小得越
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.当k>0时，正比例函数y=kx的图象大致是(
)。
B
2.函数y=2x,y=一3x,y=一
x的共同特点是(
A.图象位于同样的象限
B.y的值随着x值的增大而减小
C.y的值随着x值的增大而增大
D.图象都过原点
3.已知点P(1,m)在正比例函数y=2x的图象上，那么点P的坐标是(
)。
A.(1,2)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(-1,2)
4.对于正比例函数y=0.5.x,下列说法错误的是(
）。
A,y的值随着x值的增大而增大
B.图象是经过点(0,0)，(1,0.5)的一条直线
C.图象不经过第二象限
D.y的值随着x值的增大而减小
学人车级上研
5.
如果正比例函数y=mx的图象经过点（一1,2），那么这个函数的表达式为(
。1
A.y=2
B.y=-27
1
C.y=2x
D.y=-2.x
6.正比例函数y=一3x的图象经过第
象限
7.已知正比例函数y=x(k≠0)，点(2，一3)在此函数的图象上，则y的值随着x值的增大
而
。(填“增大”或“减小”)
8.若正比例函数y=(a一1)x“-3的图象经过第一、三象限，则a=
强化提高
9.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=一x图象上的两点，则下列判断正确的是
()。
A.y>y2
B.yC.当x1y2
D.当x110.如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x,y=k2x,y=k3x,y=k1x的图象分别
为直线11，l2,l3,l4,则下列关系正确的是(
)。
A.kB.k2C.kD.k2B3/1
(第10题)
(第11题)
11.如图，已知直线l:y=2x,分别过x轴上的点A1(1,0),A2(2,0),…,A(n,0)作垂直于x
轴的直线交I于点B1,B2,…,Bn,将△OA1B1、四边形A1A2B2B1、…、四边形Am-1AB
Bn-1的面积依次记为S1,S2,…,Sm,则S等于()。
A.n2
B.2n+1
C.2n
D.2n-1
12.(1)点P的坐标为(x,y),若x=y,则点P在坐标平面内的位置是
若x十y=0,则点P在坐标平面内的位置是
(2)已知点Q的坐标为(2一2a,a十8)，且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标为
13.如图所示的是甲、乙两人在一次赛跑中路程y(m)与时间x(s)之间的关系，看图回答下
列问题：
(1)这是一次多少米的赛跑？
2

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