资源简介

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第四章一次函数
·次函数的图象（第2课时）
课堂精要·梳理内容
次函数的图象与性质
1.一次函数y=kx十b的图象是一条
,作图时常过点(0，)，(，0)画直线。
2.k的正负决定函数的增减性：
当k>0时，y的值随着x值的增大而
当k<0时，y的值随着x值的增大而
3.b的正负决定直线与y轴交点的位置：
当b
时，直线与y轴交于正半轴；
当b
时，直线与y轴交于负半轴：
当b
时，直线经过原点，函数是正比例函数。
4.对于直线y=k1x十b1和直线y=k2x十b2,当
时，两直线平行；当
时，两直线与y轴交于同一个点。
具果要研·发民能力
基础巩固
1.一次函数y=一x十1的图象大致为()。
o
A
2
2.对于一次函数y=一2x十4，下列结论错误的是(
A.函数值随着自变量的增大而减小
B.函数的图象不经过第三象限
C.函数的图象向下平移4个单位长度得到y=一2x的图象
D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)
3.一次函数y=3x十4的图象不经过(
)。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.已知一次函数y=x十b的图象不经过第二象限，那么函数值y随着自变量x的增大而
。(填“增大”或“减小”)
5.直线y=3x+2是由直线y=3x向
平移
个单位长度得到的。
6.已知点P(m,n)在一次函数y=3.x一2的图象上，则5一6m十2n=
一1一
7.如图所示的是函数y=一2x十4的图象。
(1)求该直线与x轴、y轴的交点A,B的坐标；
(2)若直线上有一点C(-3,n),求△OAC的面积。
(第7题)
强化提高
8.在如图所示的计算程序中，y与x之间的函数图象应为(
)。
/输入x
取相反数
B
×2
+4
02
输出y
D
(第8题)
9.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax十b与y=b.x十a的图象可能是(
A
B
10.已知直线y=(1-3k)x十2k-1。
(1)当k为何值时，直线过原点？
(2)当k为何值时，直线与y轴的交点坐标是(0，一2)？
(3)当k为何值时，直线与x轴交于点（任0）？
(4)当k为何值时，该直线与直线y=一3x一5平行？
-2
第四章一求函数
课堂延伸·提升素养
11.【综合与实践】阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义。下面就两个一次函数的图象，给出它们平
行的定义：设一次函数y=k1x十b(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x十b2(k2≠0)的
图象为直线l2,若k1=k2且b,≠b2,我们就称直线11与直线2互相平行。已知一次函数
y=一2x的图象为直线l1,过点P(1,4)且与已知直线11平行的直线为l2。
解答下面的问题：
(1)求l2对应的函数表达式；
(2)设直线l2与y轴、x轴分别交于点A,B,过坐标原点O作OC⊥AB,垂足为C,求1
和2之间的距离；
(3)在(2)的情况下，若Q为线段OA上一动点，求QP十QB的长度的最小值，并求取得
最小值时点Q的坐标；
(4)在(2)的情况下，在x轴上找一点M,使△BMP是以PB为腰的等腰三角形，请直接
写出点M的坐标。
一3第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章第3节第2课时。引导学生类比正比例函数的图象，通过对应描点法继续探索一次函数图象，进而发现它与正比例函数图象的关系；并结合一次函数的图象，通过一系列递进的探究性问题揭示一次函数的性质。同时，通过数学软件演示强化学生认知，鼓励学生从多角度探索、验证相关问题，为今后学习一次函数与方程、不等式等相关知识提供知识储备，为后续学习反比例函数、二次函数提供探究方法，让学生深入体会“数形结合”思想方法的应用。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了正比例函数的概念、图象、性质及一次函数的概念，并会用“描点法”画函数图象。这为本节课的内容（学习一次函数的图象、理解并掌握一次函数的性质）提供了必要的知识技能基础。
学生活动经验基础：八年级的学生已经具备了一定的实践操作能力，会观察、分析问题，但学生探索函数性质的能力还有待加强。因此，教师在教学过程中，应适当加以点拨，引导学生积极探索，帮助学生突破思维障碍。
三、教学目标
1.能画出一次函数的图象；能根据一次函数的图象和表达式探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况，结合图象初步掌握一次函数的性质。
2.通过研究图象，经历知识的归纳、探究过程，培养观察、类比、概括的能力；感受类比、分类讨论、数形结合、从特殊到一般的数学思想，发展几何直观。
3.在动手操作过程中，形成合作交流意识，培育乐于探究的良好品质。
教学重点：能画出一次函数的图象，理解一次函数的性质，以及有关参数对一次函数图象的影响。
教学难点：探索并理解k>0和k<0时，一次函数图象的变化情况。
四、教学过程设计
【第一环节】知识回顾
1.活动内容
上节课我们研究了正比例函数及其图象，我们先来回顾上节课所学知识。
（1）形如y＝kx（k≠0）的函数叫作正比例函数；形如y＝kx+b（k≠0）的函数叫作一次函数；当b＝0时，y＝kx+b（k≠0）就变成了 y＝kx（k≠0），所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
（2）正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k>0时，图象过第一、三象限，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，图象过第二、四象限，y的值随x值的增大而减小。
（3） |k| 决定了直线的倾斜程度，|k| 越大，直线越陡，相应的函数值增大或减小得越快。
正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线，那么一次函数y=kx+b的图象又是怎样的呢 与正比例函数的表达式相比，一次函数的表达式多了一个b，b对函数图象会有什么影响 请你先猜想一下，并带着这个猜想继续一次函数图象的学习。
2.活动目的
引导学生复习正比例函数的相关内容，为类比探究一次函数的图象及性质做好铺垫，明确本课时的主要任务：研究一般的一次函数y = kx + b 的图象，以及参数b 对图象的影响。
3.注意事项
教师可引导学生比较一次函数与正比例函数的表达式，对一次函数的图象进行合理的猜测。对于学生的猜想，此时不必急于评判，教师可给予鼓励和引导。
【第二环节】操作思考
1.活动内容
操作·思考
（1）用列表、描点、连线的方法画一次函数y＝2x＋1的图象。
（2）一次函数y＝2x＋1的图象真的是一条直线吗？
（3）一次函数y＝2x＋1的图象与正比例函数y＝2x的图象有什么关系？
（4）一般地，一次函数y＝kx＋b的图象与正比例函数y＝kx的图象有什么关系？
归纳小结：一次函数y＝kx＋b的图象是一条直线，它与正比例函数y＝kx的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b。
2.活动目的
学生已经知道正比例函数的图象是一条直线，在此基础上，通过引入点的变换，让学生在描点的过程中体验一次函数图象和正比例函数图象之间的关系，从而猜想并验证一次函数y＝kx＋b的图象也是一条直线。通过一系列富有层次、探究性的问题揭示知识的形成过程，加深学生对一次函数的理性认识。
3.注意事项
在学生作图探究函数图象的过程中，教师应注意设问的层次性，引导学生经历猜想与验证一次函数图象的过程，使其完成从感性到理性的认知跃升；在实践“两点作图法”时，应注意取点的灵活性。
【第三环节】尝试归纳
1.活动内容
尝试·思考
在一次函数y＝3x＋1，y＝－x＋1，y＝3x－2，y＝4x－3 中，
（1）哪个函数y的值随着x值的增大而增大？哪个函数y的值随着x值的增大而减小？
（2）随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个？
（3）哪两个函数的图象相互平行？
（4）图象与y轴相交于同一点的函数有哪些？
（5）画出这四个函数的图象，验证你的结论。
思考·交流
对于一次函数y＝kx＋b的图象，你有哪些结论？梳理一下，并与同伴进行交流。
2.活动目的
“尝试·思考”中的问题是本节课研究的重点问题，各有侧重。问题（1）主要讨论k的正负对函数增减性的影响；问题（2）讨论 |k| 对y值增大（减小）速度的影响；问题（3）讨论k相同的一次函数之间的关系；（4）讨论b的几何意义。
“尝试·思考”是“思考·交流”的基础。学生将“尝试·思考”的内容梳理总结后，就可以解决“思考·交流”中的问题。
3.注意事项
这几个问题是本节课的重点，应充分让学生展开讨论。教师可借助数学软件，引导学生自主总结k，b的改变对图象的影响，然后教师再进行补充完善，加深学生对图象的理解，让学生能通过函数表达式想象对应的函数图象，也能通过函数图象得到k，b应满足的条件，充分感受数形结合思想，发展几何直观。
【第四环节】巩固运用
1.活动内容
学生在课堂上独立完成练习题，教师巡视并进行指导，针对典型问题进行讲评。
（1）在直线y＝3x＋6上，对于点A(3，y1)和B(2，y2)，y1 y2。（填写大小关系）
（2）①判断直线与的位置关系。
②已知直线y＝2x＋5与直线相交于y轴上一点，则b的值为________。
（3）将直线y＝－x向下平移5个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为______________。
（4）（选做）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。
x －1 0 1 2
y 3 2 －2 －6
2.活动目的
通过习题及时巩固新知，帮助学生理解一次函数图象的性质，灵活运用性质解决问题。
3.注意事项
对于第（4）题，有多种思考方法。教学中，应鼓励学生表达自己的想法，并进行说明，让学生在展示交流中加深对一次函数的理解。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
通过本节课的学习，你对一次函数的图象有哪些认识？你是怎样研究一次函数的图象的？
2.活动目的
引导学生对前面的学习过程及获得的结论进行梳理，巩固知识的同时，总结研究函数图象的经验。
3.注意事项
教学中，让学生充分表达意见，及时给予适当的肯定，对不足的地方进行及时补充和强调。
【第六环节】作业布置
1.活动内容
（1）基础性作业：教科书习题4.3第3，4，7，9题。
（2）拓展性作业：
学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法。小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x|－3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整。
①列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －1 －2 －3 a －1 b 1 …
则a＝______，b＝______。
②描点并画出该函数的图象。
③a.判断：函数y＝|x|－3的图象______（填“是”或“不是”）轴对称图形。
b.观察函数图象，当－3≤y≤－1时，x的取值范围是______。
c.观察函数图象，试判断函数y＝|x|－3是否存在最小值，若存在，直接写出最小值。
2.活动目的
通过课后习题，及时巩固新知，让学生进一步理解一次函数图象的性质；学有余力的学生可以自主研究新的函数，发展高阶思维。
五、教学设计反思
1.教学目标
知识与技能目标落实得比较到位，学生能够较好地理解掌握所学知识，动手操作能力、合作探究能力均能得到进一步提升。本节课在教学引导、合作探究、归纳总结以及数学思想方法方面都进行了积极的构思设计，教学实践与教学设计基本符合。但是本节课的容量较大，根据学生学情，课堂练习可进行适当删减或调整；对于学有余力的学生，也可根据学情灵活进行拓展。
2.学科融合
本节课在研究k，b对一次函数图象及性质的影响这两个环节采用数学软件辅助教学，动态演示图象的变化过程，化抽象为形象直观，有利于学生理解和掌握。让学生在“以图表示数，以数解释形”的过程中发展几何直观，进一步感知数形结合、从特殊到一般的数学思想。
3.评价方式
根据新课标的评价理念，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方式的多样化。在自主探索及小组合作中，教师应关注学生的参与程度和表现出的思维水平差异。要让每个学生都有参与的机会，要充分调动学生的学习积极性与主动性；对于学生的回答，教师应给予恰当的评价和鼓励，帮助学生认识自我、建立自信，发挥评价的教育功能。(共16张PPT)
第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
知识回顾
正比例函数
一次函数
图象： ？
性质： ？
解析式：y=kx(k≠0)
图象：经过原点（0，0）的一条直线。
k > 0
k < 0
x
y
O
x
y
O
性质：
k > 0，y的值随x值的增大而增大；
k < 0，y的值随x值的增大而减小；
|k|决定了直线的倾斜程度。
解析式：y=kx+b(k≠0)
操作思考
（1）用列表、描点、连线的方法画一次函数 y=2x+1的图象。
（2）一次函数 y=2x+1的图象真的是一条直线吗？
（3）一次函数 y=2x+1的图象与正比例函数 y=2x的图象有什么关系？
（4）一般地，一次函数 y=kx+b的图象与正比例函数 y=kx的图象有什么关系？
【操作·思考】
x … －2 －1 0 1 2 …
y=2x （－2，－4） （－1，－2） （0，0） （1，2） （2，4）
y=2x+1 （－2，－3） （－1，－1） （0，1） （1，3） （2，5）










思考：
1. 两个函数图象上每组点坐标之间的关系；
2. 通过坐标关系确定每组点之间的位置变换规律；
3. 猜想 y=2x+1的函数图象。
操作思考
一次函数 y=2x+1的图象
一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，它与正比例函数 y=kx的图象相互平行。因此，画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点画直线就可以了。一次函数y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b。
y=kx+b


操作思考
归纳小结
在一次函数 y=3x＋1，y=－x＋1，y=3x－2，y=4x－3中，
（1）哪个函数 y 的值随着 x 值的增大而增大；哪个函数 y 的值随着x 值的增大而减小？
（2）随着 x 值的增大，y 的值增大速度最快的函数是哪个？
（3）哪两个函数的图象相互平行？
（4）图象与 y 轴相交于同一点的函数有哪些？
（5）画出这四个函数的图象，验证你的结论。
尝试归纳
【尝试·思考】
一次函数 y=kx+b(k≠0) 图象 必过点(0，b), 常数项决定一次函数图象与y轴交点的位置 k > 0 k < 0 b > 0 b = 0 b < 0 b > 0 b = 0 b < 0
性质 k > 0时，y的值随x值的增大而增大，图象必经过第一、三象限； k < 0时，y的值随x值的增大而减小，图象必经过第二、四象限。






尝试归纳
归纳小结
当k > 0时，k 值越大，直线与 x 轴正方向所成的锐角越大，函数值增大得越快。
当k < 0时， k 值越小，直线与 轴负方向所成的锐角越大，函数值减小得越快。
总结：决定了一次函数图象与 x 轴所成倾斜角大小；越大，倾斜角越大，图象变化得越快。
尝试归纳
归纳小结
在同一平面内，不重合的两条直线：
l1：y1＝k1x+b1，l2：y2＝k2x+b2(k1k2≠0)。
当k1＝k2， b1≠b2时，两直线平行；
当k1≠k2时，两直线相交。
尝试归纳
归纳小结
对于一次函数 y=kx+b 的图象，你有哪些结论？梳理一下，并与同伴进行交流。
尝试归纳
【思考·交流】
1. 在直线 y=3x+6上，对于点 A(3，y1) 和点 B(2，y2) ， y1 y2。（填写大小关系）
2.（1）判断直线 与 的位置关系。
（2）已知直线 y=2x+5与直线 相交于 轴上一点，则 的值为 。
3.将直线 向下平移5个单位长度，得到一个一次函数的图象，这个一次函数的表达式为 。
平行。
y＝－x－5
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巩固运用
随堂练习
4.（选做）小明画某一次函数图象，在列表时他将其中一个函数值算错了，试在下表中找出这个算错的函数值，并写出这个函数的表达式。
解：当 x = 1 时，y 的值应为6；
函数的表达式是 y = 4x + 2。
巩固运用
随堂练习
课堂小结
一次函数 y=kx+b(k≠0) 图象 必过点(0，b), 常数项决定一次函数图象与y轴交点的位置 k > 0 k < 0 b > 0 b = 0 b < 0 b > 0 b = 0 b < 0
性质 k > 0时，y的值随x值的增大而增大，图象必经过第一、三象限； k < 0时，y的值随x值的增大而减小，图象必经过第二、四象限。






课堂小结
决定了一次函数图象与x轴所成倾斜角的大小；越大，倾斜角越大，图象变化得越快。
在同一平面内，不重合的两条直线：
l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2(k1k2≠0)。
当k1＝k2， b1≠b2 时，两直线平行；
当k1≠k2 时，两直线相交。
作业布置
1.习题4.3 第3，4， 7，9题。
2.课外探究：学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法。小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数y＝|x|－3的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整。
（1）列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －1 －2 －3 a －1 b 1 …
则a=____，b=_____。
（2）描点并画出该函数的图象。
（3）①判断：函数y＝|x|－3的图象_____(填“是”或“不是”)轴对称图形；
②观察函数图象，当－3≤y≤－1时，x的取值范围是______ ；
③观察函数图象，试判断函数y＝|x|－3是否存在最小值，若存在，直接写出最小值。
谢谢

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